A1717. Du rififi chez les phi (1`ere ´episode) De la propri´et´e multiplicative de la fonction

A1717. Du rififi chez les phi (1` ere ´ episode)

De la propri´et´e multiplicative de la fonctionϕ, il r´esulte que les seuls nombres N tels que ϕ(N) = 2^p sont soit des nombres premiers en 2^p + 1, soit des produits de tels nombres.

Les seuls nombres premiers en2^p+ 1connus sont les5plus petits nombres de Fermat :

2¹+ 1 = 3 2²+ 1 = 5 2⁴+ 1 = 17 2⁸+ 1 = 257 2¹⁶+ 1 = 65537

On peut donc ´etablir la table pourϕ(N) = 2^p avec1≤ p≤ 32, en laissant provisoirement de cˆot´e les multiples de2:

N 2 3 5 3*5 17 3*17 5*17 3*5*17 257 3*257 5*257 ϕ(N) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

N 3*5*257 17*257 3*17*257 3*5*17*257 65537 3*65537 5*65537

ϕ(N) 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072

N 3*5*65537 17*65537 3*17*65537 5*17*65537 3*5*17*65537 257*65537

ϕ(N) 262144 524288 1048576 2097152 4194304 8388608

N 3*257*65537 5*257*65537 3*257*65537 5*257*65537 3*5*257*65537 ϕ(N) 16777216 33554432 67108864 134217728 268435456

N 17*257*65537 3*17*257*65537 5*17*257*65537 3*5*17*257*65537 ϕ(N) 536870912 1073741824 2147483648 4294967296

Pour chaque valeur dep, la liste compl`ete des solutions deϕ(x) = 2^psera con- stitu´ee du nombre N indiqu´e dans le tableau, de 2N (parce que ϕ(2) = 1), et du double de toutes les solutions pourp−1sauf la valeur indiqu´ee dans le tableau pourp−1(son double est solution pourp−1, mais son quadruple est solution pourp).

On peut maintenant ´etablir la liste des solutions pour les ´equationsϕ(n) = 2⁰

`

a ϕ(n) = 2¹².

1

ϕ(n) = 1 1/2 ϕ(n) = 2 4 3/6 ϕ(n) = 4 8 12 5/10

ϕ(n) = 8 16 24 20 15/30

ϕ(n) = 16 32 48 40 60 17/34

ϕ(n) = 32 64 96 80 120 68 51/102

ϕ(n) = 64 128 192 160 240 136 204 85/170

ϕ(n) = 128 256 384 320 480 272 408 340 255/510

ϕ(n) = 256 512 768 640 960 544 816 680 1020 257/514 ϕ(n) = 512 1024 1536 1280 1920 1088 1632 1360 2040 1028 ϕ(n) = 1024 2048 3072 2560 3840 2176 3264 2720 4080 2056 ϕ(n) = 2048 4096 6144 5120 7680 4352 6528 5440 8160 4112

ϕ(n) = 512 771/1542

ϕ(n) = 1024 3084 1285/2570

ϕ(n) = 2048 6168 5140 3855/7710

Nota : les valeurs ”de base” et leur double sont group´ees dans une mˆeme case.

On pourrait ainsi continuer jusqu’`a ϕ(n) = 2<sup>32</sup>. Au-del`a, il se peut que le nombre de solutions n’augmente plus.

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