La fonction φ appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Q₁ Déterminer toutes les solutions des équations :
1ère équation : φ(n) = 32, 2ème équation : φ(n) = 256,3ème équation : φ(n) = 1024
Q₂ Pour les très courageux : pour m ≤ 2³², déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation φ(n) = 2m
Pour tout nombre premier p, φ(p)=p-1, φ(pk)=pk-1(p-1), donc φ(2k)=2k-1; de plus, si a et b sont premiers entre eux, φ(ab)=φ(a)φ(b).
Les seuls nombres premiers p connus tels que φ(p) soit une puissance de 2 sont les 5 nombres de Fermat Fi=2j+1 avec j=2i pour i=0, 1, 2, 3 et 4 : F0=3, F1=5, F2=17, F3=257 et F4=65537, soit φ(3)=2, φ(5)=22, φ(17)=24, φ(257)=28, φ(65537)=216. Les nombres correspondants à 5≤i≤32 sont composés.
Si abcde est l’écriture de l’entier k≤31 en base 2 (a, b, c, d, e valent 0 ou 1) Pk=F4aF3bF2cF1dF0e est l’unique produit de nombres de Fermat tel que φ(Pk)=2k. On peut donc répondre directement à la deuxième question :
Q2 : Pour m≤31, il y a m+2 solutions : Pm, et 2m-k+1Pk pour 0≤k≤m Pour 32≤m≤232, il y a 32 solutions 2m-k+1Pk pour 0≤k≤31
Q1 : Dans le détail,
φ(n)=32=25 : 7 solutions : 26, 25*3, 24*5, 23*3*5, 22*17, 2*3*17, 3*17
φ(n)=256=28 : 10 solutions : 29, 28*3, 27*5, 26*3*5, 25*17, 24*3*17, 23*5*17, 22*3*5*17, 2*257, 257.
φ(n)=1024=210 : 12 solutions : 211, 210*3, 29*5, 28*3*5, 27*17, 26*3*17, 25*5*17, 24*3*5*17, 23*257, 22*3*257, 2*5*257, 5*257.
