A 1717 Du rififi chez les phi

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A 1717 Du rififi chez les phi

Solution proposée par Pierre Renfer

L'indicatrice d'Euler est multiplicative

C'est-à-dire si a et b sont des entiers premiers entre eux : (ab)(a)(b) Pour un nombre primaire p^, où p est premier : (p^)p^^¹(p1)

Soit F_k 2²^k 1, pour k entier naturel.

C'est la suite des nombres de Fermat, dont certains sont premiers et d'autres composés.

Si F_k est premier, alors (F_k)2²^k

On sait que F est premier pour _k 0k4 : F₀ 3, F₁ 5, F₂ 17, F₃ 257, F₄  65537 On sait que F est composé pour _k 5k32

Pour que (n) soit une puissance de 2, il faut et il suffit que la décomposition en facteurs premiers de n comporte des facteurs 2 en nombre quelconque et des nombres premiers de Fermat chacun en un seul exemplaire.

QUESTION 1

1) Equation (n)32

Les solutions n sont à chercher sous la forme : n2^3^5^ 17^, où ,, valent 0 ou 1 On va examiner toutes possibilité pour le triplet (,,) :

- Si (,,)(0,0,0) alors 6 et n64

- Si (,,)(0,0,1) alors 2 et n41768 - Si (,,)(0,1,0) alors 4 et n16580 - Si (,,)(0,1,1) alors il n'y a pas de solution pour n - Si (,,)(1,0,0) alors 5 et n32396

- Si (,,)(1,0,1) alors 0ou1 et n31751 ou2317102 - Si (,,)(1,1,0) alors 3 et n835120

- Si (,,)(1,1,1) alors il n'y a pas de solution pour n

(2)

2) Equation (n)256

Les solutions n sont à chercher sous la forme : n2^3^5^17^,257^, où ,,, valent 0 ou 1 On va examiner toutes possibilité pour le quadruplet (,,,)

- Si 1 alors 0ou1 et n257ou2257514 - Si (,,,)(0,0,0,0) alors 9 et n512

- Si (,,,)(0,0,1,0) alors 5 et n3217544 - Si (,,,)(0,1,0,0) alors 7 et n1285640 - Si (,,,)(0,1,1,0) alors 3 et n8517680 - Si (,,,)(1,0,0,0) alors 8 et n2563768 - Si (,,,)(1,0,1,0) alors 4 et n16317816 - Si (,,,)(1,1,0,0) alors 6 et n6435960 - Si (,,,)(1,1,1,0) alors 2 et n435171020

3) Equation (n)1024

Les solutions n sont à chercher sous la forme : n2^3^5^17^,257^, où ,,, valent 0 ou 1 On va examiner toutes possibilité pour le quadruplet (,,,)

- Si (,,,)(0,0,0,0) alors 11 et n2048

- Si (,,,)(0,0,0,1) alors 3 et n82572056 - Si (,,,)(0,0,1,0) alors 7 et n128172176 - Si (,,,)(0,0,1,1) alors il n'y a pas de solution pour n - Si (,,,)(0,1,0,0) alors 9 et n51252560

- Si (,,,)(0,1,0,1) alors 0ou1 et n52571285oun252572570 - Si (,,,)(0,1,1,0) alors 5 et n325172720

- Si (,,,)(0,1,1,1) alors il n'y a pas de solution pour n - Si (,,,)(1,0,0,0) alors 10 et n102433072 - Si (,,,)(1,0,0,1) alors 2 et n432573084 - Si (,,,)(1,0,1,0) alors 6 et n643173264 - Si (,,,)(1,0,1,1) alors il n'y a pas de solution pour n

- Si (,,,)(1,1,0,0) alors 8 et n256353840 - Si (,,,)(1,1,0,1) alors il n'y a pas de solution pour n

- Si (,,,)(1,1,1,0) alors 4 et n1635174080 - Si (,,,)(1,1,1,1) alors il n'y a pas de solution pour n

(3)

QUESTION 2

On considère d'abord les entiers m strictement inférieurs à 2³² pour l'équation (n)2^m

Les solutions n sont de la forme : n2^3^5^ 17^257^65537^, où ,,,, valent 0 ou 1

Tout entier k2³² s'écrit en base 2 : k 22²2³2⁴ On associe alors à k le sextuplet s(k)(,,,,)

Il existe deux solutions n avec le sextuplet s(m), avec le choix 0ou1

Pour les sextuplets s(k), avec 0km-1, il existe une seule solution n, avec m-k1 Pour les sextuplets s(k), avec km, il n'y a pas de solution pour n.

Le nombre total de solutions de l'équation (n)2^mest donc m+2.

Pour m2³², le nombre de solutions serait 2³² 2, si le mombre de Fermat F était premier, car ₅ alors on aurait les solutions F et ₅ 2F₅, avec 0ou1.

Mais comme F est composé, ces deux valeurs ne sont pas solutions et le nombre de solutions ₅ s'abaisse à 32

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