Exercice 2: R´esoudre les ´equations suivantes : 1

Universit´e du Qu´ebec `a Chicoutimi lundi 7 f´evrier 2011.

S´erie 3

Exercice 1: R´esoudre les ´equations suivantes : 1. x+ 1 =−1. On obtientx=−2.

2. −3x−1 = 0. On obtientx=−¹₃. 3. +4x−3 =−1. On obtientx= ¹₂.

Exercice 2: R´esoudre les ´equations suivantes :

1. |x+ 1|=−1. Solution: impossible car une valeur absolue est toujours positive.

2. | −3x−1|=−1. Solution: ´egalement, impossible car une valeur absolue est toujours positive.

3. |4x−3|=x+ 1.

R´eponse: Consid´erons deux cas selon que la valeur absolue de (4x−3) soit n´egative ou positive.

Cas 1: 4x−3≥0, c’est-`a-dire que x≥3/4. Dans ce cas, nous avons:

|4x−3|= 4x−3 donc nous aurons aussi: 4x−3 =x+ 1.

Ce qui nous donne comme solution: x= 4/3. Comme x≥3/4, alors il n’y pas de contradcition avec la solution trouv´eex= 4/3.

Cas 2: 4x−3<0, c’est-`a-dire que x <3/4. Dans ce cas, nous avons:

|4x−3|=−(4x−3) =−4x+ 3, donc nous aurons aussi: −4x+ 3 =x+ 1.

Ce qui nous donne comme solution: x= 2/5. Comme x <3/4, alors il n’y pas de contradcition avec la solution trouv´eex= 2/5.

Conclusion: il existe deux solutions `a l’´equation de d´epart: x= 3/4 ou x= 2/5.

4. |+ 4x−3| =|x+ 1|. Dans ce cas, nous aurons 4 cas `a consid´erer selon que les expressions 4x−3 et x+ 1 soient positives ou n´egatives.

Cas 1: 4x−3≥0 et x+ 1≥0: Cela nous donnex≥3/4 etx≥ −1. Donc, on aura comme contrainte finale: x≥3/4. Si on trouve une solution dans ce qui suit o`u la valeur dex <4/3. Alors on dira qu’il n’y pas de solution pour ce cas-l`a.

Dans ce cas, nous avons:

|+ 4x−3|= 4x−3 et|x+ 1|=x+ 1. Donc l’´equation avec les valeurs absolues devient:

4x−3 = x+ 1. Ce qui donne: 3x = 4 ou bien x = 4/3. Cette solution est en concordance avec la contraintex≥4/3. Par cons´equent,x= 4/3 est solution pour ce cas.

Cas 2: 4x−3≥0 etx+ 1<0: Cela nous donnex≥3/4 etx <−1. Impossible que ce cas se pr´esente.

Cas 3: 4x−3<0 etx+ 1≥0: Cela nous donnex <3/4 etx≥ −1. Donc, on aura comme contrainte finale: x <−1. Si on trouve une solution dans ce qui suit avec la valeur dex >−1, alors on dira qu’il n’y pas de solution pour ce cas-l`a.

Dans ce cas, nous avons:

|+ 4x−3|=−(4x−3) =−4x+ 3 et|x+ 1|=x+ 1. Donc l’´equation avec les valeurs absolues devient:

−4x+ 3 =x+ 1. Ce qui donne: 5x= 2 ou bien x = 5/2. Mais nous savons que x <−1. Ce qui est impossible. Donc, il n’y pas de solution pour ce cas-l`a.

Cas 4: 4x−3<0 etx+ 1<0: Cela nous donnex <3/4 etx <−1. Donc, on aura comme contrainte finale: x < −1. Si on trouve une solution dans ce qui suit o`u la valeur de x > −1, alors on dira qu’il n’y pas de solution pour ce cas-l`a.

Dans ce cas, nous avons:

|+ 4x−3|=−(4x−3) =−4x+ 3 et |x+ 1|=−(x+ 1) = −x−1. Donc l’´equation avec les valeurs absolues devient:

−4x+ 3 =−x−1. Ce qui donne: 3x= 4 ou bien x = 4/3. Mais nous savons quex >−1. Ce qui est en concordance avec la soution trouv´ee. Donc, x= 4/3 est solution.

Conclusion: Les solutions `a l’´equation de d´epart sont: x= 4/3;x= 5/2.

Exercice 3: R´esoudre les ´equations suivantes : 1. x²+ 2x−1 = 0.

Solution: a= 1;b= 2;c=−1.

∆ =b²−4ac= 2²−4(1)(−1) = 8 = 2³ >0. Donc, il existe deux racines distinctes:

x1 = ^−b−

√∆

2a = ⁻²⁻

√ 2³

2 =−1−√

2.

x₁ = ^−b+

√

∆

2a = ⁻²⁺

√ 2³

2 =−1 +√

2.

2. 4x²−9 = 0. Solution: a= 4;b= 0;c=−9.

∆ =b²−4ac= 0²−4(4)(−9) = 16×9>0. Donc, il existe deux racines distinctes:

x1 = ^−b−

√∆

2a = ⁻⁰⁻

√16×9

8 =−3/2.

x₁ = ^−b+

√

∆

2a = ⁻⁰⁺

√16×9

8 = 3/2.

3. x²−4x+ 6 = 0.

4. (2x−4)²−3x+ 6 = 0: Avant tout, il faut ´ecrire cette ´equation sous la forme deax²+bx+c= 0. Pour ce faire, d´eveloppons d’abord et rassemblons lesx²,x et les constantes. On aura donc:

(2x−4)²−3x+ 6 = 4x²−16x+ 16−3x+ 6 = 4x²−19x+ 22 = 0. Dans cas, nous avonsa= 4,b=−19 etc = 22. Appliquons la m´ethode du ∆. On obtient: ∆ = 19²−4(4)(22) = 361−352 = 9>0. Par cons´equent, il existe deux racines que voici:

x₁ = ^−b−

√

∆

2a = ¹⁹⁻

√ 9 8 = 2.

x₁ = ^−b+

√

∆

2a = ¹⁹⁺

√ 9

8 = 11/2.

5. x²−3x+ 1 = 0. Dans ce cas, nous avons a= 1, b= −3, c= 1. ∆ = (−3)²−4(1)(1) = 5 >0. Deux racines distinctes:

x1 = ^−b−

√∆

2a = ³⁻

√5 2 . x2 = ^−b+

√

∆

2a = ³⁺

√5 2 .

Exercice 4: D´eterminer les valeurs suivantes : 1. log₈2 = ^{log 2}_{log 8} = _{log 2}^{log 2}3 = _{3 log 2}^{log 2} = ¹₃.

2. log₅625 = ^{log 625}_{log 5} = ^{log 5}_{log 5}⁴ = ^{4 log 5}_{log 5} = 4.

3. log₈512 = ^{log 512}_{log 8} = ^{log 8}_{log 8}³ = ^{3 log 8}_{log 8} = 3 .

Exercice 5: V´erifiez les ´egalit´es suivantes:

1. log_ab×log_bc= log_ac.

Solution: Nous avons par d´efinition du logarithme ce qui suit:

log_ab= ^log_loga^b et log_bc= ^log_log^c_b. Par cons´equent:

log_ab×log_bc= ^log_loga^b × ^log_log^c_b = _log^log_a^c = log_ac.

2. a^logb = b^loga. Consid´erons le premier terme et pr´ec´edons le d’un log. Nous avons bien loga^logb = logbloga.

Faisons la mˆeme chose pour l’autre membre, et on trouve: logb^loga= logalogb. Nous avons bien:

loga^logb= logb^loga. Par cons´equent, on peut d´eduire quea^logb=b^loga.

Exercice 6: Ecrire sous la forme d’un seul logarithme les expressions suivantes: :´

1. log_b5 + log_b2 + log_b3 = log_b(5×2×3) = log_b30.

2. ³₂log₈2 + 2 log₈2 = log₈2^3/2+ log₈2 = log₈(2^3/2×2) = log₈2^3/2+1= log₈2^5/2. 3. 2 log₅3−3 log₅2 = log₅3²−log₅2³ = log₅3²+ log_{5 2}¹3 = log₅ ³₂²3 = log₅ ⁹₈. 4. ¹₄log₃5 + 7 log₃ ¹₅ = log₃5¹⁴ + log_{3 5}¹7 = log₃ ⁵

1 4

5⁷ = log₃5¹⁴⁻⁷= log₃5⁻²⁷⁴ .

5. 2 log 5−7 log 3 + 4 log¹₂ −log¹₇ = log 5²+ log₃¹7 + log₂¹4 + log 7 = log₃⁵7².2^.74 = log_1594323¹⁷⁵ .

Exercice 7: Ecrire les logarithmes suivants sous forme d’une some ou d’une diff´´ erence:

1. log_b5x= log_b5 + log_bx.

2. log_b2y^x = log_bx+ log_b2y¹ = log_bx−log_b2y= log_bx−log_b2−log_by . 3. log 8√

2x+ 1 = log₈(2x+ 1)^1/2 = 1/2 log_b(2x+ 1).

4. logq _x−1

(x+2)² = log(_(x+2)^x−12)^1/2 = 1/2 log_(x+2)^x−12 = 1/2 log(x−1)−log(x+ 2)²

=

= 1/2 (log(x−1)−2 log(x+ 2)) = 1/2 log(x−1)−log(x+ 2).

Exercice 8: R´esoudre les ´equations suivantes :

1. 2^x+1= 64, et donc: 2^x+1= 2⁶. Par cons´equent: x+ 1 = 6 et on on obtient comme solution: x= 5.

2. 2^3x = 36, et donc on a: log 2^3x = log 36. Par cons´equent: 3xlog 2 = log 36 et on obtient: x= _{3 log 2}^{log 36} =

= ^log₃²³⁶ .

3. 3^x−5 = 8, et donc on a: log 3^x−5 = log 8. Par cons´equent: (3x −5) log 3 = log 8 et on obtient:

(3x−5) = log₃8.

Par consequent: 3x= log₃8 + 5. Par cons´equentx= ^log3₃⁸⁺⁵.

4. 10^2x−7 = 125, et donc on a: log 10^2x−7 = log 125. Par cons´equent: (2x−7) log 10 = log 125 et, comme log 10 = 1,

on obtient: 2x−7 = log 125. Par cons´equent x= ^{log 125+7}₂ .

5. 5^x2−2x = 125, et donc on a: log 5^x2−2x = log 125. Par cons´equent: (x²−2x) log 5 = log 125 et, comme log 125 = 3 log 5, on obtient: x²−2x= 3. Cette ´equation est de degr´e 2, donc nous pourrons la r´esoudre

`

a l’aide de la m´ethode du ∆.

Exercice 9: R´esoudre les ´equations suivantes :

1. log 7^x= log 4. Nous avons donc: xlog 7 = log 4; Par cons´equent,x= log₇4.

2. log 22^x = log 144. De la mˆeme mani`ere: log 2^x+1 = log 144; (x+ 1) log 2 = log 144. Par cons´equent, x= log₂144−1.

3. 4^x+ 4 = 2^x+2 = (2²)^x + 4 = 2^x.2² = (2^x)²+ 4 = 42^x. Posons maintenant y = 2^x. On aura donc l’´equation ´equivalente du second degr´e `a r´esoudre:

y² + 4 = 4y. Autrement ´ecrit: y² −4y+ 4 = 0. Si on applique, la m´ethode du ∆ `a cette nouvelle

´equation eny, on obtient ce qui suit:

a= 1;b=−4, c= 4. ∆ = (−4)²−4(1)(4) = 0. Comme ∆ = 0, on aura une racine double donn´ee par la formule suivante:

y=−_2a^b = ⁴₂ = 2. En revenant `a la variablex, nous avons maintenant:

y = 2 = 2^x. On d´eduit donc: log 2 = log 2^x = xlog 2. Par cons´equent, on obtient la solution finale suivante: x= 1.

4. 2 lnx−ln(x+³₂) = lnx²+ ln_x+¹3 2

= ln_x+^x23 2

= ln 2 . Donc, nosu avons bien:

x²

x+³₂ = 2. Par cons´equent, x² = 2x+ 3. Autrment ´ecrit: x²−2x−3 = 0. La r´esolution par la m´ethode du ∆ nous done ce quit suit:

a= 1;b=−2, c= 3. ∆ = (−2)²−4(1)(−3) = 16>0. Deux racines distinctes qui sont comme suit:

x₁ = ^−b−

√

∆

2a = ²⁻

√ 16

2 =−1.

x₂ = ^−b+

√

∆

2a = ²⁺

√ 16 2 = 2.

Exercice 10: Mettre sous forme d’un produit de facteurs:

R´eponse: Rappellons que six1 etx2 sont les racines deax²+bx+c, alors on peut ´ecrire:

ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂).

la d´emarche `a suivre est: trouver d’abord les racines en r´esolvant l’´equation ax<sup>2</sup>+bx+c = 0, et ensuite passer `a la factorisation comme ci-dessous.

Par ailleurs, si le ∆ de cette ´equation est n´egatif, alors on peut conclure que ax² +bx+c n’est pas factorisable.

1. x²−x−6.

R´esolvons d’abord: x²−x−6 = 0. Cela nous donne:

a= 1;b=−1, c=−6.

∆ = (−1)²−4(1)(−6) = 25>0 Deux racines disctintes:

x1 = ^−b−

√

∆

2a = ¹⁻

√ 25

2 =−2.

x₂ = ^−b+

√

∆

2a = ¹⁺

√ 25 2 = 3.

Par cons´equent:

x²−x−6 = 1(x−(−2))(x−3) = (x+ 2)(x−3).

2. x²+x−6.

3. x²+ 5x−6.

4. −x²−5x+ 66.

5. −3x²+x+ 14.

Exercice 11: R´esoudre les ´equations suivantes : 1. log₂8 + log₂16 = log₂x.

log₂8 + log₂16 = log₂8×16 = log₂x. Donc, nous avons bien: x= 8×16 = 128.

2. log₃9 +¹₂log₃2 = log₃x.

log₃9 +¹₂log₃2 = log₃9 + log₃2¹² = log₃(9×2¹²) = log₃x.

Par cons´equent: x= 9×2¹² = 9√ 2.

3. log₃x= log₅125 = log₅5³ = ^{3 log 5}₅ = 3 = 3 log₃3 = log₃3³. Par cons´equent, on obtient:

x= 3³ = 27.

4. log₂8−log₃9 = log₆x;^{log 2}_{log 2}³ −³₃² = 3−2 = 1 = log₆6 = log₆x. Donc, on obtient: x= 6.

5. log₃16 = log₃x+ log₃ ¹₂. En l’´ecrivant autrement, on obtient:

log₃16−log₃ ¹₂ = log₃16 + log₃2 = log₃16×2 = log₃32 = log₃x. Par cons´equent, on aura: x= 32.