G160. Un gros rhume
En hiver quand j’attrape un gros rhume, mon nez coule comme une fontaine et je prends la précaution de préparer chaque matin deux paquets de n mouchoirs en papier chacun que je mets respectivement dans la poche droite et dans la poche gauche de ma veste. Quand j’ai besoin d’un mouchoir, je choisis au hasard l’une des poches et je prends un mouchoir qui s’y trouve jusqu’au moment où je constate pour la première fois qu’une poche est vide quand j'y cherche un mouchoir.
Quelle est la plus petite valeur de n qui me donne plus de 3 chances sur quatre de trouver au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche afin d’avoir le temps de remplir à nouveau mes poches ? Calculer pour cette valeur de n, l’espérance mathématique du nombre de mouchoirs qui restent dans la deuxième poche.
Solution proposée par David Amar
Je dispose de mouchoirs dans une poche, et dans l’autre, on notera la
probabilité qu’il me reste mouchoirs dans une poche quand l’autre est vide. J’ai donc pioché au total mouchoirs dans les deux poches, pour ensuite piocher dans la poche vide.
Sous réserve que soit inférieur à et à , je peux finir les mouchoirs d’une poche ou de l’autre. Si je termine avec mouchoirs dans la seconde poche, j’ai donc pioché mouchoirs dans la première, et dans la seconde ; pour finir un dernier « piochage » dans la première poche.
La probabilité est donc de , à savoir une chance sur 2 pour chaque mouchoir, une chance sur deux pour tomber sur la poche vide, et un total de combinaisons différentes pour choisir dans la première poche fois parmi les piochages. On peut faire de même sur la seconde poche à la place de la première : on trouve alors
Pour un nombre égal de mouchoirs dans chaque poche, noté , la probabilité d’avoir mouchoirs restants dans une poche quand je remarque que l’autre est vide est .
Je souhaite avoir au moins quatre mouchoirs avec une probabilité de 3/4 au moins, autrement dit la somme des probabilités d’avoir 0, 1, 2 ou 3 mouchoirs ne dépasse pas 1/4
On peut utiliser les relations et pour simplifier un peu ça, mais ça ne nous aidera pas pour autant à la résoudre.
Cette équation est trop complexe pour être résolue manuellement, mais rien n’empêche de tester les solutions pour trouver la plus petite. Grâce à un bon tableur, on trouve très vite .
Il faut donc 81 mouchoirs dans chaque poche pour en avoir, quand une poche est vide, au moins 4 dans l’autre avec une probabilité supérieure à 3/4. Ca fait tout de même un sacré paquet de mouchoir, même enrhumé je pense avoir le temps de voir venir si je sors avec 162
mouchoirs sur moi (et ne parlons pas de la taille et de la déformation de mes poches dans cette histoire…).
Toujours avec le même tableur, on peut calculer l’espérance de la variable aléatoire qui décrit le nombre de mouchoirs restant dans une poche, puisqu’on a la probabilité pour chaque valeur de la variable: on trouve 9,202343823
