G160. Un gros rhume
En hiver quand j’attrape un gros rhume, mon nez coule comme une fontaine et je prends la précaution de préparer chaque matin deux paquets de n mouchoirs en papier chacun que je mets respectivement dans la poche droite et dans la poche gauche de ma veste. Quand j’ai besoin d’un mouchoir, je choisis au hasard l’une des poches et je prends un mouchoir qui s’y trouve jusqu’au moment où je constate pour la première fois qu’une poche est vide quand j'y cherche un mouchoir.
Q1 Quelle est la plus petite valeur de n qui me donne plus de 3 chances sur quatre de trouver au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche afin d’avoir le temps de remplir à nouveau mes poches ?
Q2 Calculer pour cette valeur de n, l’espérance mathématique du nombre de mouchoirs qui restent dans la deuxième poche.
Solution proposée par Paul Voyer
Le processus est similaire à une partie de pile ou face.
La probabilité du nombre de mouchoirs extraits d'une poche au bout de k tirages suit une loi binomiale (distribution de Bernoulli).
On l'obtient par un triangle de Pascal.
Q1
L'énoncé demande que lorsque l'on échoue à l'extraction du nième mouchoir d'une poche il reste au plus n-4 mouchoirs dans l'autre poche avec une probabilité 3/4.
Les cas d'échec correspondent à [n-3, n-2, n-1, n] mouchoirs déjà extraits de l'autre poche, avec une probabilité inférieure à 1/4 :
P(n si 2n)+P(n si 2n-1)+P(n si 2n-2)+P(n si 2n-3)<1/4
Une valeur approchée pour n est
256
soit de l'ordre de 81 mouchoirs.Le triangle de Pascal sous tableur confirme la valeur 81 mouchoirs , qui donne une probabilité de trouver au moins 4 mouchoirs dans l'autre poche = 0.75119…
Q2
Avec 81 mouchoirs dans chaque poche au départ, quand l'une est trouvée vide, il reste : 0 mouchoir dans l'autre avec une probabilité (162, 81)/2^162,
1 mouchoir dans l'autre avec une probabilité (161, 81)/2^161, 2 mouchoirs dans l'autre avec une probabilité (160, 81)/2^160
…
81 mouchoirs dans l'autre avec une probabilité (81, 81)/2^81.
Le triangle de Pascal sous tableur donne le résultat : E = 9.20234…
Annexe Triangle de Pascal (extrait)
