D´epartement de math´ematiques
Module Alg`ebre 1 AU :2016/2017
dur´ee : 1 heure 30
Devoir surveill´e num´ero 1
Nom et pr´enom :...
Groupe :...
Exercice 1 (6 pts). Soient E un ensemble non vide et A, B ∈ P(E) et f :E →F une application.
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses : Vrai Faux 1. P(A∪B) =P(A)∪P(B)
2. f surjective ⇒f A surjective
3. Card(A∪B) = Card(A) +Card(B)
Exercice 2 (4 pts). Soit (G,∗) un groupe,montrer que :
∀x, y ∈E,(x∗y)−1 =y−1∗x−1 On d´efinit l’application ϕ par :
ϕ: (G,∗) → (G,∗)
x → ϕ(x) = x−1 avecx−1 sym´etrique de x Prouver que : [ϕmorphisme de groupe] ⇔[Gab´elien]
Exercice 3 (5 pts). Soit E un ensemble non vide et soient A, B ∈ P(E) non vides fA:P(E) → P(E)
X 7→ X∪A
1. A quelle condition l’´equationX∪A =B admet elle au moins une solution dans P(E) 2. R´esoudre l’´equation X∪A =B
3. En d´eduire que l’application fA n’est pas injective 1
Exercice 4 (5 pts). Soit A,B deux parties deR de cardinal infini.
f :A → B
x 7→ x2−2x+ 3 1. D´eterminer A, B pour que f soit une application bijective.
2. D´eterminer dans ce cas l’application r´eciproque f−1
Bonne chance
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