Table des matières

Université Paris-Dauphine 2021-2022

Cours de “Intégrale de Lebesgue et probabilités” Novembre 2021

Chapitres 6 - Intégration dans R^d : convolution, densité, transformation de Fourier

Table des matières

1 Convolution dansC_c^k(R^d),L¹(R^d)et M₊¹(R^d) 1

2 Régularité de la mesure de Lebesgue 8

3 Densité dansL¹(R^d)etC(K) 10

4 Transformation de Fourier dansM₊¹(R^d)et L¹(R^d) 14

5 Autres transformations 18

Sont écrites en rougeles parties hors programme et en violetles parties traitées en TD (résultats à connaitre pour sa culture). Dans ce chapitre, on munit (R^d,B(R^d))de la mesure de Lebesgue, notéedλou simplement dxou parfois d’une mesure positive bornée.

1 Convolution dans C

( R

), L

( R

) et M

( R

)

Pour deux fonctionsf etgdéfinies surR^d, la convolée (ou produit de convolution)f∗gest définie par

(1) (f ∗g)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)g(y)dy, x∈R^d,

lorsque cette dernière expression a un sens. Nous donnons quelques résultats sur cette opération remarquable et la nouvelle fonction obtenue. Beaucoup de résultats peuvent être obtenus en jouant sur les espaces fonctionnels dans lesquels vivent les arguments, et pour n’en citer que quelqu’uns, on peut démontrer

(A)C_c^k∗C_c^{`</sup>⊂C<sub>c</sub><sup>k+`};

(B)E∗ L¹⊂E pour de nombreux espaces fonctionnelsE, on retiendra en particulier (B⁰)C_b^k∗ L¹⊂C_b^k; (B⁰⁰)L¹∗ L¹⊂L¹; (B⁰⁰⁰)L^p∗ L¹⊂L^p;

(C) L^p∗ L^q ⊂L^r siq≤p⁰ avec1/r:= 1/p+ 1/q−1, et plus précisément⊂C0 siq=p⁰∈]1,∞[, on retiendra en particulier

(C⁰)L¹∗ L¹⊂L¹ (c’est (B⁰)) ; (C⁰⁰)L¹∗ L^p⊂L^p (c’est (B⁰⁰)) ; (C⁰⁰⁰)L^p∗ L^p0 ⊂L^∞; (D)E∗M₊¹ ⊂E pour de nombreux espaces fonctionnelsE, on retiendra en particulier

(D⁰)C_b^k∗M₊¹ ⊂C_b^k; (D⁰⁰)M₊¹ ∗M₊¹ ⊂M₊¹.

Nous ne démontrerons que certains de ces résultats, et plus précisément les résultats (A), (B⁰), (B⁰⁰) et (D⁰). D’autres résultats seront vus en TD ou dans le cours deTopologie et analyse fonctionnelle du second semestre. Il est important de noter que la définition (1) n’est pertinente que lorsque les deux arguments sont des fonctions (résultats (A) à (C)). Lorsqu’au moins un des arguments est

une mesure, il conviendra d’adapter la définition de la convolution à l’aide de (3) pour (D⁰) et (4) pour (D⁰⁰).

Les espaces de fonctions continues introduits ci-dessus sont définis de la manière suivante : -Cb(R^d)est l’espace des fonctions continues et bornées, et de la même manière,C_b^k(R^d),k∈N∪ {∞}, est l’espace des fonctionskfois dérivable telles que toutes les dérivées partielles appartiennent à C_b(R^d);

-C0(R^d)est l’espace des fonctions continues f :R^d→Rtelles quef(x)→0 lorsque|x| → ∞, et de la même manière,C₀^k(R^d),k∈N∪ {∞}, l’espace des fonctionskfois dérivable telles que toutes les dérivées partielles appartiennent àC0(R^d);

-C_c(R^d)est l’espace des fonctions continues à support compact et de la même manière,C_c^k(R^d), k ∈ N∪ {∞}, est l’espace des fonctions k fois dérivable telles que toutes les dérivées partielles appartiennent à Cc(R^d). Pour une fonction f : R^d →R continue, on définit son support suppf, comme l’ensemble

suppf :={x∈R^d; f(x)6= 0} ⊂R^d,

en particulierf(x) = 0six /∈suppf. Puisque par définition suppf est fermé, une fonction continue est à support compact si, et seulement si, il existe une boule BR centrée en0 et de rayon R ≥0 tel que suppf ⊂BR.

Il est important d’observer que Cc(R^d) ⊂ C0(R^d) ⊂ Cb(R^d) ⊂ L^∞(R^d) et que tous ces espaces sont munis de la norme uniform k · k_∞. Ainsi définis les evn C0(R^d)et Cb(R^d) sont des espaces de Banach et Cc(R^d)n’est pas complet mais Cc(R^d)⊂L¹(R^d) etCc(R^d)est dense dansC0(R^d).

Pouri∈ {1, . . . , d}et f ∈C_c¹(R^d), on note

∂if := ∂f

∂xi

.

On peut généraliser la notation de la manière suivante. Pour α = (α₁, . . . , α_d) ∈ N^d, on note

|α|=α₁+· · ·+α_d, et pourβ = (β₁, . . . , β_d)∈N^d, on noteα+β := (α₁+β₁, . . . , α_d+β_d)∈N^d. Dire quef ∈C^k(R^d),k∈N∪ {∞}, signifie que les dérivées partielles

∂^αf(x) := ∂^|α|f

∂^α1x₁. . . ∂^αdx_d(x) sont successivement définies pour toutα∈N^d,|α| ≤k.

On note enfin

-M₊¹(R^d)l’ensemble des mesuresµpositives et bornées, au sens oùµ(R^d)<∞. En particulier, en notantP(R^d)l’ensemble des mesures de probabilité surR^d, on a P(R^d)⊂M₊¹(R^d).

Commençons par un premier résultat dans un cadre simple qui néanmoins inclus la plupart des propriétés et des arguments qui vont être développés par la suite.

Théorème 1.1 (C_c^k∗C_c^{`</sup>⊂C<sub>c</sub><sup>k+`}). Soient f ∈C_c^k(R^d) etg∈C_c^{`</sup>(R<sup>d</sup>). Alors f∗g=g∗f ∈C<sub>c</sub><sup>k+`}(R^d), supp(f∗g)⊂suppf+suppg et

kf∗gk_L^∞ ≤ kfk_L^∞kgk_L1, kf ∗gk_L1 ≤ kfk_L1kgk_L1. En dimension d= 1pour simplifier, on a

∀k⁰, `<sup>0</sup>∈N, k<sup>0</sup> ≤k, `⁰≤`, (f∗g)<sup>(k0+`0)</sup>=f^(k0)∗g^(`0). En dimension d≥1, on a

∀α, β∈N^d, |α| ≤k, |β| ≤`, ∂^α+β(f∗g) = (∂^αf)∗(∂^βg) ou plus simplement

∀i∈ {1, . . . , d} ∂i(f∗g) = (∂if)∗g, si f ∈C_c¹(R^d).

Preuve du Théorème 1.1. • Pourx, y∈R^d, on note Fx(y) :=f(x−y)g(y). Pour toutx∈R^d, on observe que

(i)∀y∈R^d,|Fx(y)| ≤ kfkL^∞g(y)∈L¹(R^d),

et y7→Fx(y)est continue, donc mesurable. Ainsi Fx est intégrable, (1) est bien défini, et

∀x∈R^d, Z

R^d

f(x−y)g(y)dy

≤ kfkL^∞

Z

R^d

|g(y)|dy, ce qui prouve la première inégalité fonctionnelle. On observe également que

(ii)Fx⁰ →Fx ponctuellement six⁰→x,

de sorte que x7→(f∗g)(x)est continue d’après le Théorème de continuité sous le signe somme (Proposition III-2.3 de continuité par rapport au paramètre). A ce stade, on a ainsi démontré Cc∗Cc⊂Cb.

En effectuant le changement de variablesz:=x−y,dz:=dy, on obtient (f∗g)(x) =

Z

R^d

f(x−y)g(y)dy= Z

R^d

f(z)g(x−z)dz= (g∗f)(x).

Plus précisément, pour x ∈ R^d fixé, on définit φx : R^d → R^d, y 7→ φx(y) := x−y, qui est évidemment un difféomorphisme puisque de classe C^∞ et d’inverse φ⁻¹_x = φx. On applique le théorème de changement de variables

Z

R^d

f(x−y)g(y)dy = Z

R^d

f(φx(y))g(φ⁻¹_x (φx(y))|Jφ_x(y)|dy

= Z

φx(R^d)

f(z)g(φ⁻¹_x (z))dz= Z

R^d

f(z)g(x−z)dz,

puisque φx(R^d) =R^d,Dφx=−I et donc|Jφ_x(y)|=|detDφx(y)|= 1.

On se restreint maintenant à la dimension d= 1. On supposek≥1 et on observe que

(iii) pour tout y ∈ R, x7→F_x(y) est de classe C¹ et ∂_xF_x(y) = f⁰(x−y)g(y), avec pour tout x∈R,|∂_xF_x(y)| ≤ kf⁰k_L^∞g(y)∈L¹(R).

Combiné à (i), cela permet d’appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme et de conclure que (f∗g)⁰ =f⁰∗g. Par récurrence, on a ainsi (f∗g)^(k0) =f^(k0)∗g =g∗f^(k0). On peut alors itérer l’argument et on obtient

(f∗g)^{(k0+`0)</sup>= (g∗f<sup>(k0)</sup>)<sup>(`0)}=g^{(`0)</sup>∗f<sup>(k0)</sup>=f<sup>(k0)</sup>∗g<sup>(`0)}, ce qui conclut la preuve def∗g∈C_b^k+`(R).

• On revient au cas de la dimension d ≥ 1 quelconque et on démontre la deuxième inégalité fonctionnelle. On applique le Théorème de Fubini-Tonelli

Z

R^d

Z

R^d

f(x−y)g(y)dy dx ≤

Z

R^d

Z

R^d

|f(x−y)g(y)|dy dx

= Z

R^d

hZ

R^d

|f(x−y)|dxi g(y)dy

= Z

R^d

hZ

R^d

|f(z)|dzi

|g(y)|dy=kfkL¹kgkL¹,

où on a effectué le changement de variablex7→z=x−yà la dernière ligne.

• On démontre afin la propriété des supports. Soitx∈R^d. La conditionx /∈A:=suppf+suppg signifie quex−y /∈suppf siy∈suppg et donc

1suppf(x−y)1suppg(y) = 0, ∀y∈R^d.

On en déduit que

|(f ∗g)(x)| ≤ kfkL^∞kgkL^∞

Z

R^d

1_suppf(x−y)1_suppg(y)dy= 0,

pour toutx /∈suppf +suppg. Par passage à la contraposée, on a {x∈R^d,(f∗g)(x)6= 0} ⊂suppf+suppg, et on conclut à supp(f∗g)⊂suppf +suppg en prenant l’adhérence.

Une adaptation de la preuve du Théorème 1.1 permet d’obtenir les deux variantes suivantes.

Proposition 1.2 (C_b^k∗ L¹ ⊂C_b^k). Si maintenant f ∈C_b^k(R^d)et g∈L¹(R^d), alors on af ∗g= g∗f ∈C_b^k(R^d).

Preuve de Proposition 1.2. Il suffit d’observer que tous les arguments développés dans le premier point du Théorème 1.1 peuvent être utilisés sans modification dans le présent cadre (en posant

`:= 0).

Théorème 1.3 (L¹∗ L¹ ⊂ L¹). Soient f, g ∈ L¹(R^d). Pour presque tout x ∈ R^d, la fonction y7→f(x−y)g(y)est intégrable surR^d, de sorte que(f∗g)(x)est presque partout définie. De plus, f∗g=g∗f ∈L¹(R^d)et

(2) kf∗gkL¹≤ kfkL¹kgkL¹.

Preuve du Théorème 1.3. On reprend et adapte le second point du Théorème 1.1. Pourx, y∈R^d, on noteF(x, y) :=f(x−y)g(y). Pour (presque) touty∈R^d, on a

Z

|F(x, y)|dx= Z

|f(x−y)|dx|g(y)|=kfk_L1|g(y)|<∞

et Z hZ

|F(x, y)|dxi

dy=kfk_L1kgk_L1.

Appliquant le Théorème V.3.2 de Tonelli on obtient F ∈ L¹(R^d ×R^d). Appliquant ensuite le Théorème V.3.3 de Fubini, on a

Z

|F(x, y)|dy <∞, p.p. x∈R^d, Z

F(x, y)dy∈ L¹(R^d)

et Z

Z

F(x, y)dy

dx≤ kfk_L1kgk_L1, ce qui est exactement la conclusion recherchée.

Exemple 1 : DansR, on définit les fonctions gaussiennes (centrées) par Gλ(x) := (2πλ)^−1/2exp(−x²/(2λ)).

On appelle gaussienne standardG:=G₁. On a alors

G_s∗G_t=G_s+t, ∀s, t >0.

On commence par observer que e^{−(x−y)22s} e^−y

2

2t = expn

−1 2

h x²

s+t + 1 s+1

t 1/2

y−1 s

1 s+1

t −1/2

x²io ,

de sorte qu’en effectuant successivement deux changements de variables Z

R

e^{−(x−y)22s} e^−y

2

2t dy = exp

−1 2

x² s+t

Z

R

exp

−1 2

1 s+1

t y²

dy

= exp

−1 2

x² s+t

√ 2π 1

s+1 t

^−1/2 .

On conclut alors aisément.

Corollaire 1.4 (L^∞∗ L¹⊂L^∞). Sif ∈ L^∞(R^d)etg∈ L¹(R^d), alors f∗g=g∗f ∈L^∞(R^d)et kf∗gk∞≤ kfk∞kgk1.

Preuve du Corollaire 1.4.Pourx, y∈R^d, on noteF(x, y) :=f(x−y)g(y),G(x, y) :=f(y)g(x−y), et on observe que

Z

|F(x, y)|dy ≤ Z

|g(y)|dykfk∞=kgk1kfk∞, ∀x∈R^d, Z

|G(x, y)|dy ≤ Z

|g(x−y)|dykfk∞=kgk1kfk∞, ∀x∈R^d.

Ainsi F(x,·) et G(x,·) sont intégrables pour tout x ∈ R^d, ce qui permet de définir les produits de convolution f ∗g et g∗f, et les bornes uniformes proviennent des inégalités précédentes. En effectuant le changement de variablesz:=x−y,dz:=dy, on obtient

(f∗g)(x) = Z

R^d

f(x−y)g(y)dy= Z

R^d

f(z)g(x−z)dz= (g∗f)(x).

Pour être plus précis, on définit y 7→ z = φ_x(y) := x−y et on calcule Dφ_x = −I puis la valeur absolue du Jacobien |detDφ_x(y)| = 1. Pour justifier le fait que g∗f est mesurable, et donc appartient à L^∞, on peut par exemple invoquer un argument d’approximation. On note f_R:=f1_B(0,R)∈ L¹∩ L^∞. Le calcul précédent et le Théorème 1.3 impliquent quef_R∗g∈ L¹∩ L^∞ (le caractère mesurable provenant du théorème de Fubini utilisé dans la preuve du Théorème 1.3).

Par ailleurs, pour toutx∈R^d, on calcule

|(f∗g)(x)−(f_R∗g)(x)| ≤ kfk∞

Z

|x−y|≥R

|g(y)|dy

≤ kfk_∞ Z

|y|≥R−|x|

|g(y)|dy−→0,

lorsqueR→ ∞, grâce au théorème de convergence dominée. Doncf ∗g= limf_R∗g (ponctuelle- ment) est mesurable.

Pour une fonctionf définies sur R^d et une mesure positiveµsurR^d, on définitf∗µpar

(3) (f ∗µ)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)dµ(y), x∈R^d,

lorsque cette dernière expression a un sens. En observant quegλdéfinit une mesure surR^dsig≥0, on voit que cette deuxième définition est une généralisation de la première définition.

Théorème 1.5 (Cb∗M₊¹ ⊂Cb). Pour f ∈Cb(R^d)et µune mesure positive et finie de R^d, on a f∗µ∈Cb(R^d)etkf∗µk_∞≤ kfk_∞µ(R^d).

Preuve du Théorème 1.5. Pourx, y ∈R^d, on note Fx(y) :=f(x−y), de sorte que Fx ∈Cb(R^d) pour toutx∈R^d, et on écrit

(f∗µ)(x) :=

Z

R^d

Fx(y)dµ(y), x∈R^d.

Cette expression a bien un sens puisqueFxest borélienne (puisque continue) et doncFx∈L¹(dµ) (puisqueFx est bornée). On observe également que

(i)Fx⁰ →Fxponctuellement six⁰→x, (ii)|Fx| ≤ kfk∞∈L¹(dµ),

de sorte quex7→(f ∗µ)(x) est continue d’après le Théorème de continuité sous le signe somme (Proposition III-2.3 de continuité par rapport au paramètre qui n’est autre que le théorème de convergence dominée). Enfin, on a

|(f∗µ)(x)| ≤ Z

R^d

|F_x(y)|dµ(y)≤ kfk_∞µ(R^d),

pour toutx∈R^d.

Corollaire 1.6(C_b¹∗M₊¹ ⊂C_b¹). Si de plusf ∈C_b¹(R^d), alorsf∗µ∈C_b¹ et∂i(f∗µ) = (∂if)∗µ.

Preuve du Corollaire 1.6. On se place en dimension d= 1pour simplifier. On observe que sous ces conditions supplémentaires, on a

(iii)x7→F_x(y)est dérivable de dérivée∂_x(F_x(y)) =f⁰(x−y)pour touty∈R,

de sorte que x 7→ (f ∗µ)(x) est de classe C¹ d’après le Théorème de dérivabilité sous le signe somme (Proposition III-2.4 de dérivabilité par rapport au paramètre).

Exemple 2 : Poura∈R^d, on se rappelle que la mesure de Diracδ_a est définie parδ_a(A) = 1 si a∈A,δ_a(A) = 0sia /∈A. Pourf ∈C_b(R^d)(ou même justef mesurable positive), on a

(f ∗δa)(x) = Z

R^d

f(x−y)δa(dy) =f(x−a), ∀x∈R^d, et en particulier

f∗δ0=f.

On dit que δ0 est l’identité (ou l’élément neutre) pour le produit de convolution. Justifions la première identité. Pour f :=1A et pour toutx∈R^d, on a

(f∗δa)(x) :=

Z

R^d

1A(x−y)δa(dy) = Z

R^d

1x−A(y)δa(dy) =1x−A(a) =1A(x−a),

ce qui n’est rien d’autre que l’identité souhaitée dans ce cas particulier. On raisonne par approxi- mations successives (fonctions étagées, fonctions mesurables positives, différences de deux fonctions intégrables positives) afin d’obtenir cette même identité dans le cas général. Il est à retenir de ce calcul que

Z

R^d

ϕ(y)δa(dy) =ϕ(a), ∀a∈R^d, ∀ϕ∈M+(R^d)∪Cb(R^d).

Nous adaptons finalement la définition du produit de convolution au cas où les deux arguments sont des mesures.

Théorème 1.7. Soientµetν deux mesures positives et finies surR^d, et notonss:R^d×R^d→R^d l’application mesurable (x, y) 7→ x+y. On définit la convolution µ∗ν comme étant la mesure positive et finie définie par

(4) µ∗ν :=s_](µ⊗ν).

Pour toute fonction mesurable positive ϕ∈ M+(R^d), on a Z

R^d

ϕd(µ∗ν) = Z

R^d×R^d

ϕ(x+y)dµ(x)dν(y).

De plus, siµ=f λavec 0≤f ∈ L¹(R^d)etλla mesure de Lebesgue, alors µ∗ν =hλ, avec h(x) = (f∗ν)(x) =

Z

R^d

f(x−y)ν(dy) pour p.t.x∈R^d,

de sorte que la definition (4) coïncide bien avec la definition (3) dans ce cas particulier.

Preuve du Théorème 1.7. D’après la définition d’une mesure image au Chapitre 4, on peut écrire plus explicitement

(µ∗ν)(A) = µ⊗ν(s⁻¹(A)) = Z

R^d×R^d

1_s⁻¹_(A)(x, y)d(µ⊗ν)(x, y)

= Z

R^d×R^d

1A(x+y)dµ(x)dν(y),

puisque 1_s−1(A)(x, y) =1_s(x,y)∈A=1_A(x+y). D’après la Proposition IV.4.2, on a donc (5)

Z

R^d

ϕd(µ∗ν) = Z

R^d×R^d

ϕ(x+y)dµ(x)dν(y),

pour toute fonction borélienne positiveϕ. En choisissantϕ= 1, on a en particulier (µ∗ν)(R^d) =

Z

R^d

d(µ∗ν) = Z

R^d×R^d

dµ(x)dν(y) =µ(R^d)ν(R^d)<∞, ce qui prouve que µ∗ν est une mesure finie. D’après le théorème de Fubini, on a

(µ∗ν)(A) = Z

R^d×R^d

1A(x+y)dµ(x)dν(y)

= Z

R^d×R^d

1A(x+y)dν(x)dµ(y) = (ν∗µ)(A), pour tout borélienA, ce qui prouve queµ∗ν=ν∗µ.

On suppose désormais que µ=f λavec0≤f ∈ L¹(R^d)et λla mesure de Lebesgue. On observe ques=s∧M + (s−M)+ pour touts, M ≥0. Pour tout borélienB ⊂R^d, on a donc

µ(B) = Z

B

f(x)dx= Z

B

f(x)∧M dx+ Z

B

(f(x)−M)₊dx

≤ M Z

B

dx+ Z

(f(x)−M)₊dx=M λ(B) +α(M), pour toutM >0, avec

α(M) :=

Z

(f(x)−M)+dx −→

M→∞0, d’après le théorème de convergence dominée. En définissant

ωf(s) := inf

M >0

M s+α(M) ,

on a donc ω_f(s)→ 0 lorsque s→ 0 et µ(B)≤ω_f(λ(B))pour tout borélien B ⊂R^d. Il s’ensuit que, toujours d’après le théorème de Fubini,

(µ∗ν)(A) = Z

R^d

hZ

R^d

1A(x+y)dµ(x)i dν(y)

= Z

R^d

hZ

R^d

1_A−y(x)dµ(x)i dν(y)

= Z

R^d

µ(A−y)dν(y)

≤ Z

R^d

ωf(λ(A−y))dν(y) =ωf(λ(A))ν(R^d)→0,

lorsque λ(A)→0, où on a utilisé l’invariance par translations de la mesure de Lebesgue dans la dernière ligne. Cela établit queµ∗νest une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. D’après le Théorème de Radon-Nikodym, il existe donc une fonction borélienne positive h:R^d→R+ telle queµ∗ν =hλ. On a en fait icih∈ L¹, puisque

Z

R^d

h dx= (hλ)(R^d) = Z

R^d

d(µ∗ν) =µ(R^d)ν(R^d)<∞, grâce à (5). On a ainsi établi que

Z

R^d

ϕh dx= Z

R^d

ϕd(µ∗ν),

pour toute fonction caractéristique d’ensembleϕ, donc par linéarité, pour fonction étagéeϕ, donc enfin par le théorème de convergence monotone, pour toute fonction borélienne et positiveϕ. Ainsi, d’après (5) et le théorème de Fubini, pour toute fonction borélienne et positiveϕ, on a

Z

R^d

ϕh dx = Z

R^d

hZ

R^d

ϕ(x+y)dµ(x)i dν(y)

= Z

R^d

hZ

R^d

ϕ(x+y)f(x)dxi dν(y)

= Z

R^d

hZ

R^d

ϕ(z)f(z−y)dzi dν(y)

= Z

R^d

ϕ(x)hZ

R^d

f(x−y)dν(y)i dx,

où on a utilisé un changement de variables (toujours le même) à la troisième ligne et le théorème de Fubini à la dernière ligne. On conclut que

h(x) = Z

R^d

f(x−y)dν(y),

pour presque toutx∈R^d, d’après le lemme suivant. Ainsi les définitions (3) et (4) coïncident bien lorsqueµ=f λ.

Lemme 1.8. [C’est un exercice du chapitre 2] Soitu∈ L¹(R^d)tel que Z

uψdx= 0

pour toute fonction ψborélienne, positive et bornée. Alorsu= 0.

Preuve du Lemme 1.8. Siu6= 0alorsA+={u >0}ouA−={u <0}est de mesure non nulle, et

donc Z

u1_A+dx >0 ou Z

u1_A−dx <0, ce qui est absurde.

2 Régularité de la mesure de Lebesgue

Théorème 2.1. La mesure de Lebesgueλest régulière sur la tribu borélienneB([a, b]),a < b∈R: pour tout borélienB ∈B([a, b])et toutε >0, il existeK compact et O ouvert tels que

(6) K⊂B⊂O, λ(O\K)< ε.

La preuve du Théorème 2.1 repose sur un argument de classe monotone. Nous donnons maintenant un deuxième résultat un peu moins précis mais de même nature dont la preuve est semblable et qui nous suffira pour la suite de ce chapitre.

Théorème 2.2. La mesure de Lebesgueλest régulière sur la tribu borélienneB([a, b]),a < b∈R: pour tout borélien B ∈B([a, b]) et tout ε >0, il existe un ensemble A appartenant à l’algèbreA induite par les intervalles de[a, b] tel que

(7) k1B−1Ak_L1< ε.

Preuve 1 du Théorème 2.2. On donne une preuve qui utilise le Théorème 2.1.SoitB ∈B([a, b]).

D’après le Théorème 2.1 de “régularité de la mesure de Lebesgue", pour tout ε >0, il existe un ouvertO ⊂(a, b)tel que

B⊂ O=

∞

[

n=1

]an, bn[, λ(O\B)< ε/2.

On pose

O_N :=

N

[

n=1

]a_n, b_n[, λ(O\O_N) =

∞

X

n=N+1

(b_n−a_n)< ε/2,

en choisissantN ≥1assez grand. On a alors

k1B−1O_NkL¹ ≤ k1B−1OkL¹+k1O−1O_NkL¹

= Z

1_O\Bdx+ Z

1_O\ONdx < ε,

ce qui donne une approximation de1_B dansL¹ à εprès par une fonction en escalier.

Preuve 2 du Théorème 2.2. On donne une preuve directe.

On commence par introduire quelques notations et rappeler quelques faits élémentaires. On a A∈ A si et seulement si

A=

n

[

i=1

(a_i, b_i),

où(a_i, b_i)désigne un intervalle (ouvert, fermé ou semi-fermé) de [a, b]. Pour A, B∈B([a, b]), on note

A∆B:= (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A) la différence symétrique deAet B. On a alors

k1A−1_BkL¹ =k1A∆BkL¹=λ(A∆B).

On fixe maintenantB∈B([a, b])et on définit l’ensemble de parties

C:={C∈B([a, b]); ∀ε >0, ∃A∈ A, λ(C∆A)< ε}.

Il est alors clair queA ⊂ C(prendreA=C siA∈ A).

On montre queCest stable par limite croissante. Pour cela, on considère une suite croissante(Cn) de C et on note C :=∪_j≥1Cj. On a évidemment C ∈B([a, b])puisque Cj ∈B([a, b]) pour tout j≥1 et

λ(C\Cn)→λ(∅) = 0,

par la propriété de continuité des limites décroissantes pour la mesure finieλdeB([a, b]). On fixe ε >0. Il existe doncn≥1tel queλ(C\Cn)< ε/2. PuisqueCn ∈ C, il existe par définitionAn∈ A tel que λ(Cn∆An)< ε/2. En écrivant

C∆An = (C∩C_n^c∩A^c_n)∪(Cn\An)∪(An\C)

⊂ (C\Cn)∪(Cn∆An),

on en déduit queλ(C∆An)< ε, et doncC∈ C. Cela prouve queCest stable par limite croissante.

On peut montrer également queCest stable par limite décroissante. Pour cela, on peut soit répéter la même preuve, soit observer que C∆A^c =C^c∆A, de sorte que si (C_j)&C, on a(C_j^c)%C^c et on peut appliquer le résultat de stabilité pour une limite croissante.

Par le lemme de classes monotones et puisque queCest une classe monotone contenue dansB([a, b]) et contenant l’algèbreAqui engendre B([a, b]), on a alors bienC=B([a, b]).

Théorème 2.3(densité des fonctions en escalier dansL¹(a, b)). Pour toute fonction f ∈ L¹(a, b),

−∞ ≤a < b≤+∞, il existe une suite(fn) de fonctions en escalier telle quelimkf−fnk_L1 = 0.

On rappelle que l’on dit queg:R→Rest une fonction en escalier si elle est de la forme g(x) =

J

X

j=1

αj1(a_j,b_j),

où les intervalles (ouverts, fermés ou semi-fermés)(aj, bj)sont disjoints etαj∈R.

Preuve du Théorème 2.3. On sait (c’est un résultat du chapitre 3) qu’une fonction intégrable est limite dans L¹ de fonctions étagées. On sait également (c’est une conséquence du Théorème de convergence dominée) qu’une fonction intégrable est limite dansL¹ de fonctions nulles en dehors d’un intervalle borné. Il suffit donc de savoir traiter le cas d’une fonctionf étagée et nulle en dehors d’un intervalle borné, soit donc

f =

n

X

i=1

α_i1_Bi, α_i∈R, B_i∈B([−R, R]), R >0.

Par linéarité, il suffit donc enfin de savoir traiter le cas d’une fonction 1_Bi, B_i ∈ B([−R, R]), R >0, mais cela n’est rien d’autre que le Théorème 2.2.

Exercice 2.4. Démontrer le Théorème 2.1. Indication : on pourra introduire l’ensemble de parties C:={B∈B([0,1]); ∀ε >0, ∃Kcompact, Oouvert vérifiant(6)},

et procéder comme dans la preuve du Théorème 2.2. On pourra alors introduire l’algèbreAinduite par les intervalles semi-fermés de[0,1]:A∈ Asi et seulement si

A=

n

[

i=1

Ii, Ii:= [ai, bi[, In=∅ouIn ={1},

avec n≥1,ai, bi∈[0,1],ai< bi < ai+1, et montrer queA ⊂ C en observant queA∈ Aet ε >0, on peut prendre

K:=

n

[

i=1

Ki, O:=

n

[

i=1

Oi,

avec K_i:= [a_i, b_i−ε2⁻ⁱ⁻²],K_n:=∅,O_i:=]a_i−ε2⁻ⁱ⁻², b_i[,O_n:=]1−ε2⁻ⁿ⁻²,1].

3 Densité dans L

( R

) et C (K)

Définition 3.1 (Approximation de l’identité). On appelle approximation de l’identité une suite (ρn)bornée de L¹(R^d)(de borne C, i.e.∀n≥1,kρnkL¹≤C) telle que

Z

ρndx= 1, ∀ε >0, Z

B^c_ε

|ρn|dx −→

n→∞0.

En particulier, est une approximation de l’identité toute suite(ρn)construite à partir d’une fonction ρ∈ L¹ d’intégrale égale à un en posant ρn(x) =n^dρ(nx).

Une approximation de l’identité typique dansL¹(R)est donc(ρn)définie parρn(x) =nρ(nx), avec par exemple ρ:=1_[−1/2,1/2] ouρ(x) = (2π)^−1/2e^−|x|2/2. L’expressionapproximation de l’identité provient du fait que l’on a (comme nous allons le démontrer ci-dessous)

ρ_n∗ϕ−→ϕ=ϕ∗δ₀, ∀ϕ∈ L¹_loc, puisque δ₀ est l’élément neutre pour le produit de convolution.

Lemme 3.2. Soit (ρn) est une approximation de l’identité. Si f ∈ Cb(R^d) alors f ∗ρn → f ponctuellement. Si f ∈ L¹(R^d)alorsf∗ρn →f dansL¹(R^d).

Preuve du Lemme 3.2. Etape 1. On supposef ∈Cb(R^d). Pour x∈R^d, on écrit f∗ρ_n(x)−f(x) =

Z

R^d

(f(x−y)−f(x))ρ_n(y)dy

= Z

Bε

(f(x−y)−f(x))ρn(y)dy+ Z

B^c_ε

(f(x−y)−f(x))ρn(y)dy=I1+I2.

On a d’une part

|I1| ≤ Z

|ρn(y)|dy sup

|z−x|≤ε

|f(z)−f(x)| ≤C ωx(ε)−→

ε→00,

oùω_x désigne le module de continuité def au pointx. On a d’autre part

|I2| ≤2kfk_∞ Z

B_ε^c

|ρn(y)|dy −→

n→∞0.

Etape 2. On supposef intégrable et en escalier et donc bornée et nulle en dehors d’une boule, et d= 1pour simplifier. L’étape précédente montre quef∗ρn(x)→f(x)en tout point de continuité xde la fonctionf, donc presque partout. On observe également que

|(f∗ρn)(x)| ≤ Z

|f(x−y)||ρn(y)|dy≤ kfk_∞C,

et donc(f ∗ρ_n) est uniformément bornée dansL^∞. Ensemble, cela monter quef ∗ρ_n →f dans L¹([−R, R])pour toutR >0. D’autre part, en notantA >0tel quef(x) = 0pour toutx /∈[−A, A], pourR > A, on calcule

Z

|x|≥R

|f ∗ρn−f|dx = Z

|x|≥R

|f∗ρn|dx

≤ Z

|x|≥R

Z

|y|≤A

|ρn(x−y)| |f(y)|dydx

≤ kfk_∞ Z

|x|≥R

Z

|y|≤A

|ρn(x−y)|1_{|x−y|≥R−A}dydx

= kfk∞

Z

R^d

Z

|y|≤A

|ρn(z)|1_|z|≥R−Adydz

≤ kfk_∞λ(B(0, A)) Z

|z|≥R−A

|ρn(z)|dz→0,

lorsquen→ ∞. Cela termine la preuve delimkf∗ρn−fk_L1(R^d)= 0.

Etape 3. On suppose f ∈ L¹. Pour tout ε > 0, il existe une fonction g_ε en escalier telle que kf−g_εk_L1 ≤ε. On écrit alors

f−f∗ρn= (f −g) + (g−g∗ρn) + (g−f)∗ρn,

de sorte que

kf −f∗ρnkL¹ ≤ kf−gkL¹+kg−g∗ρnkL¹+kf −gkL¹kρnkL¹

et lim supkf −f ∗ρ_nk_L1 ≤ε(1 +C) d’après l’étape 2. Il suffit alors de faire tendre ε→0 pour conclure.

Définition 3.3 (noyau régularisant). On appelle suite régularisante toute suite(ρn)de fonctions telle que

0≤ρn∈C_c^∞(R^d), suppρn ⊂B(0, C/n), Z

ρndx= 1.

En pratique, on prendraρn(x) :=n^dρ(nx)avec 0≤ρ∈C_c^∞(R^d)∩ P(R^d).

Exemple 3.Il existe bien des suites régularisantes. En effet, on commence par définir α(y) :=e^−1/y, ∀y >0, α(y) := 0, ∀y≤0,

et l’on vérifie queα∈C^∞(R),0≤α≤1. On pose alorsβ(x) :=α(1− kxk²), puisρ:=Cβ, avec C:=Z

β−1

.

Théorème 3.4(DensitéC_c^∞(R^d)⊂Cc(R^d)). Soit(ρn)une suite régularisante. Pour toute fonction f ∈Cc(R^d), la suite (f∗ρn)satisfaitf ∗ρn ∈C_c^∞(R^d)etf∗ρn→f uniformément.

Preuve du Théorème 3.4. D’après le Théorème 1.1 et un argument de récurrence, on a clairement f ∗ρn ∈ C_c^∞(R^d). En reprenant la preuve du Lemme 3.2 et en observant qu’il existe un module de continuité uniformeω tel que∀x∈R^d,ωx(δ)≤ω(δ)→0 lorsqueδ→0(en d’autres termesf est uniformément continue, ce qui se démontre classiquement par un argument de compacité) on obtient quef∗ρn→f uniformément surR^d.

Exemple 4.Il existe des fonctionsχ∈C_c^∞(R)telle que1_[−1,1]≤χ≤1_[−2,2]. En effet, il suffit de définirχ:=1_[−3/2,3/2]∗ρ_n pour nassez grand de sorte que suppρ_n⊂[−1/2,1/2], où(ρ_n)est un noyau régularisant.

Définition du support d’une fonction mesurable.Soitf une fonction mesurable. On appelle support def, on note suppf, le plus petit fermé deR^d tel quef(x) = 0pour presque toutx /∈F. On retrouve ainsi suppf :={x∈R^d; f(x)6= 0}lorsquef est une fonction continue. On dit qu’une fonction est à support compact si suppf ⊂ B(0, R) pour un certain R > 0 (donc suppf est un compact).

Théorème 3.5 (DensitéC_c^∞(R^d)⊂ L¹(R^d)). Pour toute fonction f ∈ L¹(R^d), il existe une suite (fn) deC_c^∞(R^d) telle quefn →f en normeL¹.

Preuve du Théorème 3.5.

Preuve 1.On considère(ρn)une suite régularisante,(χn)une suite de troncatures régulières définie parχn(x) :=χ(x/n)avecχ∈C_c^∞(R)telle que1_[−1,1]≤χ≤1_[−2,2]. On pose alorsfn:= (f∗ρn)χn. On écrit enfin

f_n−f = (f∗ρ_n−f)χ_n+f(χ_n−1),

et on observe que les deux termes tendent vers 0 dans L¹ (on notera en particulier que χn →1 p.p. et0≤χn≤1).

Preuve 2. On considère(ρ_n)une suite régularisante et on poseχ_n:=1_B(0,n), puisf_n:= (f χ_n)∗ρn. En utilisant les mêmes arguments que dans la preuve du Théorème 3.4, on a fn ∈C_c^∞(R^d). On écrit enfin

fn−f = (f(χn−1))∗ρn+ (f ∗ρn−f),

et on observe que les deux termes tendent vers0dansL¹(en utilisant notamment (2) pour borner le premier terme). Il faut utiliser ici la propriété supp(f ∗g) ⊂ suppf +suppg vraie pour des fonctions mesurables (et pas seulement pour des fonctions continues comme cela a été démontré dans le Théorème 1.1).

Théorème 3.6 (Stokes en dimension d = 1). Pour toute fonction f ∈ C¹(R) telle que f, f⁰ ∈ L¹(R), on a

Z

R

f⁰(x)dx= 0.

En particulier, si u, v ∈C¹ avec (par exemple) u, u⁰ ∈ L¹ et v, v⁰ ∈ L^∞, on en déduit la formule d’intégration par parties

(8)

Z

R

u v⁰dx=− Z

R

u⁰v dx.

Il suffit d’appliquer le Théorème 3.6 de Stokes àf =uv.

Preuve du Théorème 3.6. On fixe χ ∈C_c¹(R)telle que 1_[−1,1] ≤χ≤1_[−2,2] et on note χ_R(x) :=

χ(x/R). Commef χ_R∈C_c¹(R), on a Z

R

(f χ_R)⁰dx= [f χ_R]^2R_−2R= 0.

En développant, il vient

Z

R

f⁰χRdx+ Z

R

f(χR)⁰dx= 0.

La deuxième intégrale tend vers 0 lorsque R → ∞puisque |(χR)⁰| ≤R⁻¹kχ⁰k_∞. On conclut en faisant tendre R→ ∞et en passant à la limite dans la première intégrale grâce au Théorème de convergence dominée (on notera que χR→1p.p.,0≤χR≤1).

Théorème 3.7(de Weierstrass de densité des polynômes dansC(K)). Pour tout compactK⊂R^d, l’ensemble des polynômes est dense dans C(K) au sens de la convergence uniforme, où C(K) désigne l’espace des fonctions continues (bornées) de K dansR.

Preuve du Théorème 3.7. On ne présente la preuve qu’en dimension d= 1 et pour le compact K = [−1/4,1/4], le cas général s’en déduit assez simplement (la preuve complète est donc laissée en exercice). On définit la suite(ηn)par

η_n(x) := (1−x²)ⁿ six∈[−1,1], η_n(x) := 0 six /∈[−1,1].

On considère alors la suite(ρn)définie par

ρn(x) =a⁻¹_n ηn(x), an:=

Z

R

ηn(x)dx.

En observant en particulier quea_n ≥2/(n+1)et doncρ_n(x)≤(n+1)(1−ε²)ⁿ/2→0uniformément surB(0, ε)^cpour toutε∈]0,1[, on vérifie sans difficulté que(ρ_n)est une approximation de l’identité.

A une fonctiong∈C([−1/4,1/4]), on associe la fonction˜g:R→Rdéfinie par







˜

g(x) =g(x), ∀x∈[−1/4,1/4],

˜

g(x) = 0, ∀x /∈[−1/2,1/2]^c,

˜

g affine sur[−1/2,−1/4]∪[1/4,1/2],

de sorte que g˜ ∈ Cc(R), suppg ⊂ [−1/2,1/2]. On définit gn := ˜g∗ρn. La suite (gn) converge uniformément vers la fonction ˜g d’après le Lemme 3.2 (et l’argument d’uniforme continuité déjà utilisé dans la preuve du Théorème 3.4). On observe enfin

˜

g∗ρn(x) = 1 an

Z 1/2

−1/2

[1−(x−y)²]ⁿ1_|x−y|≤1g(y)˜ dy

= 1

an

Z 1/2

−1/2

[1−(x−y)²]ⁿ˜g(y)dy=:pn(x), ∀x∈[−1/4,1/4].

Or pn est clairement un polynôme, ce qui termine la preuve.

Corollaire 3.8 (Moments). Soitf ∈L¹([a, b]),a, b∈R. On a M_k(f) :=

Z

R

x^kf(x)dx= 0, ∀k∈N, implique f = 0.

De la même manière, si µ, ν ∈ M₊¹([a, b]), a, b ∈ R, et M_k(µ) = M_k(ν) pour tout k ≥ 0, alors µ=ν.

Preuve du Corollaire 3.8. On fixeϕ∈C_c(R), de sorte queϕ∈C([a, b]). Pour toutε >0, d’après le Théorème 3.7, il existe un polynômeptel que kϕ−pk_L∞(a,b)≤ε/(b−a). On en déduit

Z b a

f(x)ϕ(x)dx ≤ε+

Z b a

f(x)p(x)dx =ε.

En faisant tendreε→0, on en conclut Z

R

f¯(x)ϕ(x)dx= Z b

a

f(x)ϕ(x)dx= 0, ∀ϕ∈C_c(R), oùf¯∈L¹(R)est l’extension def par0 en dehors de[a, b]. On a donc

Z

R

|f¯(x)|dx= lim

n→∞

Z

R

f¯(x)((signf¯)∗ρ_n) = 0, ce qui prouve bienf = 0.

4 Transformation de Fourier dans M

( R

) et L

( R

)

Pourf une fonction intégrable sur R^d, on définit sa transformée de Fourier fˆ(ξ) = (Ff)(ξ) :=

Z

R^d

e^ix·ξf(x)dx.

On adopte ici la convention la plus habituelle dans la définition de la transformée de Fourier (ou fonction caractéristique) en théorie des probabilités. Plus généralement, pourµune mesure positive et bornée surR^d, on définit sa transformée de Fourier

µ(ξ) = (Fµ)(ξ) :=ˆ Z

R^d

e^ix·ξµ(dx).

Proposition 4.1. On aµˆ∈Cb(R^d)etkµkˆ _∞≤µ(R^d)siµ∈M₊¹(R^d). On a égalementfˆ∈C0(R^d) etkfˆk∞≤ kfkL¹ sif ∈ L¹(R^d).

On n’a pas nécessairementµˆ∈C₀(R^d)si µ∈M₊¹(R^d). Par exemple,Fδ0= 1∈/ C₀(R).

Preuve de la Proposition 4.1. On définit eξ(x) := e^{ix ξ}. La fonction eξ ∈ Cb(R^d) et ξ 7→ eξ(x) est continue pour tout x ∈ R^d, de sorte que ξ 7→ (Fµ)(ξ) est continue d’après le Théorème de continuité sous le signe somme. De plus

|µ(ξ)| ≤ˆ Z

R

|e^{ix ξ}|µ(dx)≤µ(R^d) et de la même manière on trouve

(9) kfˆk∞≤ kfkL¹.

En dimensiond= 1, pour f ∈C_c¹(R), on calcule fˆ(ξ) =

Z

R

1 iξ

d

dx(e^ixξ)f(x)dx = i ξ

Z

R

e^ixξf⁰(x)dx,

ce qui implique|fˆ(ξ)| ≤ |ξ|⁻¹kf⁰k_L1 →0 lorsque|ξ| → ∞. Ainsi, pour toute fonctionf ∈C_c¹(R), on afˆ∈C₀(R). Par densitéC_c¹(R)⊂ L¹(R)et (9), on obtient fˆ∈C₀(R).

Remarque. Une alternative plus directe (qui n’utilise pas les résultats démontrés au début de cette section) est de calculer

(F1_[a,b])(ξ) = Z b

a

e^ixξdx = e^ibξ−e^iaξ

−iξ

= e^{ia+b2 ξ} e^{ib−a2 ξ}−e^{−ib−a2 ξ}

iξ = 2e^{ia+b2 ξ} sin(ξ(b−a)/2)

ξ ∈C0(R).

Ainsi, pour toute fonction en escalier f on a égalementfˆ∈C0(R). Par densité des fonctions en escalier et (9), on obtientfˆ∈C₀(R).

La transformation de Fourier jouit d’un certain nombre de propriétés simples et remarquables dont nous donnons une liste maintenant.

Propriétés algébriques de la transformation de Fourier :

• (F1) F est linéaire au sense oùF(f+λg) =F(f) +λF(g).

• (F2) F(f⁰)(ξ) =−iξfˆ(ξ)pourf ∈C¹(R)tel quef, f⁰∈ L¹(R), puisque Z

R

e^{ix ξ}f⁰(x)dx=− Z

R

[ d

dxe^{ix ξ}]f(x)dx=−iξ Z

R

e^{ix ξ}f(x)dx,

où on a effectué une intégration par parties grâce au Théorème 3.6 (de Stokes).

• (F3) F(xf)(ξ) =−i( ˆf(ξ))⁰ pour f ∈ L¹(R)tel que x7→xf(x)∈ L¹(R), puisque Z

R

e^{ix ξ}x f(x)dx=−i Z

R

[ d

dξe^{ix ξ}]f(x)dx=−id dξ

hZ

R

e^{ix ξ}f(x)dxi .

• (F4) f[∗g=fbbg pourf, g∈ L¹(R), puisque Z

R

hZ

R

f(x−y)g(y)dyi

e^ixξdx = Z

R

Z

R

f(x−y)g(y)e^i(x−y+y)ξdxdy

= Z

R

Z

R

f(z)g(y)e^izξe^iyξdzdy.

• (F5)Pour F(fλ) =λ^d(Ff)λ⁻¹, où on définitgs(x) :=g(x/s).

• (F6) Pour a ∈ R^d et une fonctionf : R^d → R, on note τaf : R^d → Rla fonction translatée définie par(τaf)(x) :=f(x−a). On observe que sif ∈L¹(R^d)alors

(Fτaf)(ξ) = Z

R

e^{ix ξ}f(x−a)dx= Z

R

e^i(y+a)ξf(y)dy=e^iaξfˆ(x).

• (F7)F(e_af) =τ_afˆ, pour touta∈R^d, où icie_a(x) :=e^iax.

• (F8) En notantg(x) :=ˇ g(−x), on a ( ˇFf)(ξ) := (Ff)(−ξ) = (Ffˇ)(ξ). En particulier, si f est une fonction paire alorsFf est également une fonction paire.

Théorème 4.2 (Gaussienne). PourGla gaussienne standard, on a G(ξ) =ˆ e^−|ξ|2/2= (2π)^d/2G(ξ).

Preuve du Théorème 4.2. On considère seulement le casd= 1. Par définition, on a G(ξ) =ˆ 1

√2π Z

R

e^ixξe^−x2/2dx=ϕ(ξ)e^−ξ2/2, avec

ϕ(ξ) := 1

√ 2π

Z

R

e^{−12(x−iξ)2}dx.

On observe queϕ(0) = 1ou de manière équivalente (10)

Z

R

e^−x2/2dx=√ 2π.

En effet, d’après le Théorème de Fubini-Tonelli et le Théorème de changement de variables en coordonnées radiales, on a

Z

R

e^−x2/2dx2

= Z

R²

e^−|z|2/2dz= 2π Z ∞

0

e^−r2/2rdr.

En effectuant le changement de variablesu=r²/2, on a Z

R

e^−x2/2dx²

= 2π Z ∞

0

e^−udu= 2π,

d’où la conclusion (10). On calcule maintenant d

dξϕ(ξ) = 1

√2π Z

R

d dξ

h

e^{−12(x−iξ)2}i dx

= − i

√2π Z

R

d dx

h

e^{−12(x−iξ)2}i dx= 0,

grâce au Théorème 3.6 (de Stokes). On en déduitϕ(ξ) = 1, et la conclusion.

Théorème 4.3 (Inversion). Soitf ∈L¹(R^d)telle que fˆ∈L¹(R^d). Alorsf =F⁻¹fˆavec F⁻¹g(ξ) := 1

(2π)^d Z

R^d

e^−iξ·xg(x)dx= 1 (2π)^d

Fg(ξ).ˇ

En d’autres termes, on aF⁻¹Ff =F F⁻¹f =f, pour toute fonctionf “convenable”.

Preuve du Théorème 4.3. On définit Gλ(x) := G(x/λ) et on observe que Gˆλ = (2π)^d/2λ^dG_λ−1

d’après la propriété(F5)et le Théorème 4.2. En utilisant le Théorème de Fubini (comme dans la formule(F4)) et la parité deGλ, on calcule

( ˆG_λ∗f)(ξ) = Z

R^d

Gˆ_λ(y−ξ)f(y)dy

= Z

R^d

Z

R^d

G_λ(x)e^i(y−ξ)·xf(y)dydx

= Z

R^d

G_λ(x)e^−iξ·xfˆ(x)dx, soit donc

(λ^dG_λ−1∗f)(x) = 1 (2π)^d/2

Z

R^d

G(ξ/λ)e^−iξ·xfˆ(ξ)dξ.

La suite(λ^dG_λ−1)λ est une approximation de l’identité etGλ(x)%(2π)^−d/2 lorsqueλ→ ∞. On obtient l’identité souhaitée en passant à la limite λ→ ∞dans cette dernière équation.