Support de formation pour les enseignants stagiaires du secondaire

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Cours et TD de

Probabilite s et Statistique

Support de formation pour les enseignants stagiaires du secondaire

Document Préparé Par : Pr. Mohamed Chergui

Année de Formation 2018/2019

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TABLE DES MATIÈRES

Préambule 2

Objectifs . . . 2

Descriptif du module . . . 2

1 Analyse Combinatoire 4 1.1 Rappels . . . 4

1.2 Exercices . . . 5

1.3 Eléments de réponse . . . 6

2 Probabilités 7 2.1 Précis du cours . . . 7

3 Variables Aléatoires 11 3.1 Dénitions . . . 11

3.2 Couple de variables aléatoires discrètes . . . 12

3.3 Opérations sur les variables aléatoires discrètes . . . 13

1

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PRÉAMBULE

Ce module s'inscrit dans le cadre de la formation initiale des futurs enseignants de mathématiques dans le secondaire. Il vise à :

Identier ses besoins en formation.

Elaborer une stratégie pour remédier à ses lacunes.

Dans cette perspective, le présent cours cherche à perfectionner chez les futurs enseignants en formation initiale, les compétences disciplinaires relatives aux domaines des probabilités et de la statistique.

Objectifs

Maîtriser les notions probalistes et statistique enseignées au secondaire qualiant ;

Exploiter les outils probalistes dans la résolution de problèmes probalitstes au secondaire qualiant en tenant compte des orientations pédagogiques ;

Déterminer une stratégie de l'enseignement de la probabilité au secondaire qualiant en tenant compte des orientations pédagogiques.

S'approprier d'outils statistiques nécessaires pour mener une enquête ou une recherche.

Descriptif du module : Probabilités et Statistique

1. Outils d'analyse combinatoire Rappels sur le dénombrement

Etude de quelques situations de dénombrement Applications

2. Probabilités

Dénition axiomatique et propriétés Conditionnement et indépendance Cas discret

Application à des situations alétatoires 3. Variables aléatoires : Cas discret et Continu

Lois usuelles

2

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CRMEF - Kénitra Module: Complément de Formation A.F 2018/2019

Applications 4. Convergence 5. Statistique

Statistique déscriptive Statistique bivariée

Initiation aux tests statistiques

Prof M.Chergui 3 http://www.crmefk.ma

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CHAPITRE 1

ANALYSE COMBINATOIRE

1.1 Rappels

•Le dénombrement (ou encore Analyse combinatoire) sert à étudier et à dénombrer divers types de groupements qu'on peut faire à partir d'ensembles nis.

• Partition d'une ensemble :

Soit p ∈ N^∗ et A₁, ..., A_p des sous-ensembles d'un ensemble E ni ou non. On dira que P = (A₁, ..., A_p) est une partition de E lorsque :







A1∪A2∪. . .∪Ap =E

A₁, . . . , A_p sont disjoints deux à deux

•On considère deux ensembles nisAetB. Le cardinal de A×B est égal au produit des cardinaux de A et deB :card(A×B) =card(A)×card(B) .

Cette dernière propriètè est à la base du principe multiplicatif suivant :

• Si une opération globale peut se décomposer en kopérations élémentaires successives, ces dernières pouvant s'eectuer respectivement den₁, n₂, ..., n_k manières, alors l'opération globale peut se faire de n1×n2×...×n_k manières diérentes.

• Tout classement ordonné de n éléments distincts est une permutation de ces n éléments. Il

y a n! permutations de n éléments distincts avec n! =n.(n−1).(n−2)...3.2.1

Le nombre de permutations que l'on peut consti- tuer si certains des éléments sont identiques est évi- demment plus petit que si tous les éléments sont distincts. Lorsque seuls k éléments sont distincts (k ≤ n), chacun d'eux apparaissant n1, n2, ..., nk

fois, avecn₁+n₂+...+n_k=netn_i ≥1, le nombre de permutations avec répétitions est : n!

n₁!n₂!. . . n_k!

•On obtient un arrangement de p éléments parmi n lorsqu'on choisit p éléments diérents parmi n éléments possibles en tenant compte de l'ordre dans lequel ils ont été choisis.

Le nombre d'arrangements dep éléments distincts choisis parmin est

A^pn=n.(n−1).(n−2). . .(n−p+ 1) = n!

(n−p)!

• On appelle p-combinaison d'un ensemble E de cardinal ntout sous-ensemble deE de cardinalp. SiCn^p est le nombre de combinaisons depéléments parmin, alors A^pn=Cn^p×p!.

Donc, Cn^p = A^pn

p! = n!

(n−p)!p!.

C_n⁰ = C_nⁿ = 1 ; Aⁿ_n = n! ; C_n¹ = C_nⁿ⁻¹ = n A^pn= 0 si p > n

4

(6)

1.2 Exercices

Exercice N^o1 n et m désignent des entiers naturels non nuls. À l'aide d'un raisonnement de dénombrement, retrouver sans calcul les propriétés suivantes :

- Sip≤nalorsCn^p =Cn^n−p

- Si0≤p≤n−1 alors Cn^p =C_n−1^p−1+C_n−1^p (Formule de Pascal) - Si0≤p≤n−2 alors Cn^p =C_n−2^p−2+ 2C_n−2^p−1+C_n−2^p

Exercice N^o2

1. En utilisant une situation de dénombrement,trouver les sommes suivantes : -

k=n

X

k=1

C_n^k2

-

k=p

X

k=0

C_n^k

C_m^p−k

(0≤p≤n+m)

2. Soienta etbdeux nombres réels. Montrer que pour toutn∈N, (a+b)ⁿ=

k=n

X

k=0

C_n^ka^kb^n−k

3. Applications :

- Déterminer,

k=n

X

k=0

C_n^k ;

k=n

X

k=2

k(k−1)C_n^k

- Montrer que (∀x >0) (∀n∈N^∗) (1 +x)ⁿ≥1 +xⁿ

- Démontrer que : 2ⁿ+ 1est divisible par 3 si et seulement sin est impair.

- Calculer

k=n

X

k=0

1 k+ 1C_n^k Exercice N^o3

1. Combien d'angrammes peut-on former avec le mot (le plus long du français) : ANTICONSTITUTIONNELLEMENT

2. A l'aide des chires 1-2-3-4-5-6, combien peut-on former de nombres, - à 6 chires

- à 6 chires deux à deux diérents - à 6 chires supérieurs à 400000

- à 5 chires rangés en ordre strictement croissant

- à 6 chires comportant exactement trois fois le chire 5.

3. Soit un polygone convexe de n côtés. Combien a-t-il de diagonales ? (Une diagonale joint deux sommets non consécutifs)

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1.3 Eléments de réponse

Exercice N^o1

- Faire une combinaison àp-éléments parmn ⇐⇒à réaliser une combinaison de n−p parmin. - SoitE un ensemble à néléments et on xe una∈E. Former une combinaison àp éléments peut

contenir a comme ça peut ne l'être. Le nombre de sous-ensembles qui contienent a est C_n−1^p−1 et celui qui ne contiennent pasaest C_n−1^p . D'où le résultat.

- Le même raisonnement que le précédent, en xant cette fois-ci deux élémentsaetbd'un ensemble E.

Exercice N^o2 1.

k=n

X

k=1

C_n^k2

=

k=n

X

k=1

C_n^kC_n^n−k=C_2nⁿ (Formule de Vandermonde).

2. Utiliser la même démarche que la question précédente.

3. Utiliser un raisonnement par récurrence.

4. On utilise la fonction f(x) = (1 +x)ⁿ. - pour établir

k=n

X

k=0

C_n^kdonner une valeur adéquate àx. Puis pour l'expression de

k=n

X

k=2

k(k−1)C_n^k, on peut dériver f.

- (∀x >0) (∀n∈N^∗) (1 +x)ⁿ≥1 +xⁿ est immédiate par la formule du binôme de Newton.

- Ecrire2ⁿ+ 1 = (3−1)ⁿ+ 1 puis développer le membre de droite par la formule du binôme de Newton.

- Le calcul

k=n

X

k=0

1

k+ 1C_n^k, revient à déterminer une primitive de la fonctionf. Exercice N^o3

1. Il s'agit de permutations avec répétitions.

2. Décrire chaque cas avant de commencer le dénombrement.

3. Pour n≥4, le nombre de diagonales est n(n−3) 2

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CHAPITRE 2

PROBABILITÉS

2.1 Précis du cours

1. Langage probabiliste :

• Expérience aléatoire : expérience don- nant un résultat que l'on ne peut prévoir à l'avance.

•Univers des éventualités : ensemble de tous les résultats possibles (Généralement noté Ω ).

• Évènement : sous-ensemble deΩ.

• Evènements élémentaires : sous-ensembles de Ωcontenant une seule éventualité.

•Si E est un événement, son complémentaire E est l'évènement contraire.

• Deux évènements E₁ etE₂ sont incompa- tibles ou disjoints si E1∩E2 =∅.

•Un système complet d'événements est toute partition de Ω.

2. Dénition

Soit Ω un univers ni. Une probabilité sur Ωest une application P de P(Ω)) dans[0,1]

qui vérie les axiomes (dits de Kolmogorov) suivants :

1) P(Ω) = 1

2) pour tous événements A et B tels que A∩B =∅ on a ,P(A∪B) =P(A) +P(B). Dans ce cas, (Ω, P) s'appelle un espace pro- babilisé.

3. Propriétés : P(∅) = 0

P(A) = 1−P(A)

A⊂B =⇒P(A)≤P(B)

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) Si A1, ...An, sont deux à deux incompa-

tibles alors P(A1 ∪...∪An) = P(A1) + P(A₂) +. . .+P(A_n).

Si (Ai)1≤i≤n) est un système complet d'événement alors,

. P(A1) +P(A2) +. . .+P(An) = 1 .Pour tout événementB,P(B) =P(A1∩ B) +....+P(A_n∩B)

Pour tout ω de Ω , on pose pω =P({ω}).

On a, . X

ω∈Ω

p_ω= 1

. Pour tout A⊂ΩalorsP(A) = X

ω∈A

p_ω Cas de l'équiprobabilité :On dit qu'on est dans le cas d'équiprobabilité quand l'univers est ni et que tous les évènements élémen- taires ont la même probabilité. Dans ce cas, Pour toutω deΩ,pω = 1

cardΩ et pour tout évènementA,P(A) = cardA

cardΩ.

4. Probabilités conditionnelles . Dénition : 7

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Soit A un événement tel que P(A) 6= 0. La probabilité de B sachant A est PA(B) =

P(A∩B) P(A) . . Propriètès :

• L'application







pA:P(ω)−→[0; 1]

B 7−→P_A(B) est une probabilité surΩ.

• Pour tous A, B,

P(A∩B) = P_A(B)×P(A)siP(A)6= 0

= P_B(A)×P(B)siP(B)6= 0

• Formule des probabilités totales : Soit (Ai)1≤i≤n un système complet d'événements tels que pour tout 1 ≤ i ≤ n, P(A_i) 6= 0. Pour tout B ∈ P(Ω),

P(B) =

i=n

X

i=1

P(A_i)×P_A_i(B).

En particulier si P(A) 6= 0 et P(A) 6= 0 alors,

P(B) =P_A(B)×P(A) +P_A(B)×P(A)

• Formule de Bayes : Soit (Ai)1≤i≤n un sys- tème complet d'événements tels que pour tout 1 ≤ i ≤ n, P(A_i) 6= 0. Pour tout B ∈ P(Ω)tel que P(B 6= 0,

PB(Ai) = PAi(B)×P(Ai)

i=n

X

i=1

P(Ai)×PAi(B) .

5. Indépendance d'événements . Dénitions : A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) =P(A)×P(B).

A1, ..., Ansont deux à deux indépendants ssi pour tousi6=j A_i etA_j sont indépendants.

A1, ..., An sont indépendants ssi

∀I ⊂[|1;n|], P \

i∈I

Ai

!

=Y

i∈I

P(Ai)

. Propriètès : Si A etB sont indépendants, alorsA etB, A etB, A etB sont indépen- dants.

2.2 Exercices

Exercice N^o1

1. SoientA₁, A₂, ..., A_n des événements (n∈N^∗). Montrer que,

P(A1∩A2∩...∩An) =P(A1)×PA1(A2)×...×PA1∩A2...∩An−1(An) 2. Soient deux événements A etB deux événements. Montrer les équivalences suivantes :

A et B sont indépendants ⇐⇒ AetB sont indépendants.

⇐⇒ AetB sont indépendants.

⇐⇒ A etB sont indépendants.

Exercice N^o2

1. Une urne contient nboules noires etnboules blanches, avec (n≥4).

(a) On eectue dans cette urne le tirage simultané de 4 boules. Calculerpnla probabilité d'avoir deux couleurs diérentes. Que vaut lim

n↑+∞p_n?

(b) On suppose maintenant qu'on tire 4 boules successivement et avec remise. Calculer la pro- babilité d'avoir les deux couleurs.

(c) Traiter le cas de tirage successif sans remise. Que peut-on déduire ?

(10)

2. Une urne contient2cartes rouges et3cartes jaunes. On eectue2ntirage de l'urne sucsseivement et avec remise.Quelle est la probabilité que l'apparition de lan^èmecarte rouge soit au2n^èmetirage.

3. Dans une population 35% des individus sont fumeurs, et parmi ceux-ci 75% sont porteurs d'une maladie M et parmi les autres, 30% sont porteurs de la maladie M. On choisit aléatoirement un individu de cette population. Quelle est la probabilité :

(a) Qu'il soit porteur de la malatie M

(b) Qu'il soit fumeur s'il est porteur de la maladie M.

Exercice N^o3 La probabilité est un outil pour la prise de décision.

la proportion des boules blanches dans une urne A est 0,1 et dans l'urne B est 0,2. Un premier joueur eectue des tirages dans l'urne A et un deuxième dans l'urne B. Ils tirent une boule à tour de rôle dans leur urne en commençant par le premier joueur en remettant la boule tirée après chaque tirage. Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur tire un boule blanche et il sera declaré gagnant.

1. Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne à son n^ème tirage ? 2. Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne ?

3. Quelle est la probabilité que le deuxième joueur gagne ?

4. On conserve la proportion des boules blanches dans l' urne A inchangée. Quelle doit être la proportion des boules blanches dans l' urne B pour que le jeu soit équitable ?

Exercice N^o4 On dispose de 2 urnes : l'urneU₁ contient 3 boules blanches et deux boules rouges et l'urneU2 contient 2 boules blanches et 6 boules rouges. On eectue des tirages successifs et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : le premier tirage s'eectue dans l'urneU₁, puis si le tirage a donné une boule rouge alors le tirage suivant s'eectue dans la même urne, sinon on change d'urne.

Soit n∈N^∗, on pose A_n l'événement : " le n^ièmetirage se fait dans l'urne U₁ " et p_n=P(A_n) . Ecrirep_n+1 en fonction dep_n puis donner p_n en fonction den.

Exercice N^o5 Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante : X s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;

X s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On note pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et qn, la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose quep₀ = 0et q0= 1.

1. Calculerp1 etq1.

2. On dénit les matrices M et, pour tout entier naturel n, Xn par, M = 0,9 0,4 0,1 0,6

!

etXn = pn

q_n

!

A= 0,8 0,8 0,2 0,2

!

etB = 0,2 −0,8

−0,2 0,8

! .

(a) Montrer que X_n+1 =M×X_n et que, pour tout entier natureln, X_n=Mⁿ×X₀. (b) Vérier que M =A+ 0,5B et queA×B =B×A= 0 0

0 0

!

(c) Démontrer que pour tout entier natureln strictement positif, Aⁿ=A etBⁿ=B.

(11)

(d) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mⁿ=A+ 0,5ⁿB. (e) En déduire que, pour tout entier naturel n, p_n= 0,8−0,8×0,5ⁿ.

(f) À long terme, peut-on armer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

2.3 Eléments de réponse

(12)

CHAPITRE 3

VARIABLES ALÉATOIRES

Précis du cours :

1. Dénitions, notations[X=a],[X 6a],...

2. Loi de probabilité et fonction de répartition

3. Fonction d'une variable aléatoire (f(X)), détermination de sa loi à l'aide de celle deX.

4. Espérance d'une VAR : dénition, linéarité, E(f(X)), variable aléatoire centrée 5. Moments d'ordre r

6. Variance et écart type : dénition, formule de Huygens, V(aX +b), variable aléatoire centrée réduite.

3.1 Dénitions

1. X est une variable aléatoire sur un espace probabilisable (Ω;T) si X est une application dénie surΩ et si pour tout réela;(X≤a) apparient à la tribu (est un événement)

2. La loi de probabilité deXest l'application qui à toute partieAdeRassocieP_X(A) =P(ω∈Ω/X(ω)∈A) 3. Une v.a.r. X à valeurs dans un ensembleχ ni ou dénombrable est appelée v.a.r. discrète. Dans

ce cas, la loi deX est déterminée par l'ensemble des probabilités : P(X =x); x∈χ

4. La fonction de répartition F d'une variable aléatoireX est dénie par F(x) = P(X≤x) pour tout réelx.

5. Soit X une v.a.r. de fonction de répartition F_X supposée strictement croissante de I ⊂R dans ]0; 1[ . Le quantile d'ordre α ∈]0; 1[ de X est le nombre xα ∈ I tel que FX(xα) = α; ce qui signie que P(X≤x_α) =α

6. x¹

2 est appelé médiane deX. La médiane vérie les deux égalitésP(X≤x¹

2) = 1

2 =P(X > x¹

2) 7. L'espérance d'une variable aléatoire qui ne prend qu'un nombre ni de valeurs est :

E(X) =P

k∈X(Ω)k·P(X =k) 11

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8. Si E(X) = 0 on dit que la v.a. est centrée.

9. si Y = f(X) alors E(Y) = E(f(X)) = P

k∈X(Ω)f(k)P(X =k), la somme étant celle de la série qui doit être absolument convergente dans le cas d'un nombre inni dénombrable de valeurs.

10. En particulier, on en déduit la linéarité de l'espérance : si a et b sont des réels (et non pas des variables aléatoires) etX une variable aléatoireE(aX+b) =aE(X) +b.

11. Pour r >0, le nombreE(X^r), lorsqu'il existe, est appelé moment d'ordre r de la v.a. X.

12. La variance deX estV (X) =Eh

(X−E(X))²i

=E X²

−E(X)² 13. Le nombreσ_X =p

V (X) est appelé l'écart type deX. 14. On trouve aussi (pour le calcul de la variance) que E X²

= X

k∈X(Ω)

k²P(X =k) (somme de la série si elle est absolument convergente dans le cas discret inni)

15. Une v.a. X telle queE(X) = 0etσ_X = 1 est dite centrée et réduite.

3.2 Couple de variables aléatoires discrètes

1. Loi Conjointe

Etant données deux variables aléatoires discrètesXetY dénies sur le même universΩtelles que X(Ω) ={x_i/i ∈I} et Y(Ω) ={y_j/j ∈J}, on appelle loi conjointe du couple(X, Y) l'ensemble formé par les couples (xi, yj) et par les probabilités pi,j =P[(X =xi)∩(Y =yj)] pour i∈I et j ∈ J . Les lois de X et de Y sont appelées lois marginales du couple (X, Y). Ces nombres p_i,j appartiennent à [0,1] etX

i,j

pi,j = 1

Exemple : Une urne contient 4 boules rouges, 3 blanches et 2 vertes. On tire simultanément 2 boules et on note X le nombre de boules rouges tirées et Y le nombre de boules blanches tirées.

Donner la loi conjointe de X, Y et les lois marginales deX etY .

2. Lois marginales : La loi conjointe du couple(X, Y) permet de déterminer les deux lois marginales :

∀i∈I, P(X=xi) =X

j∈J

P[(X =xi)∩(Y =yj)] et ∀j∈J, P(Y =yj) =X

i∈I

P[(Y =yj)∩(X= x_i)]

3. Lois conditionnelles : Inversement, les lois marginales ne permettent pas en général de déter- miner la loi conjointe.

♦ SiP(Y =y_j)6= 0, la loi conditionnelle deX sachant(Y =y_j) est déterminée par les nombres P_(Y_=y_j₎(X=xi) = P[(X=xi)∩(Y =yj)]

P(Y =yj) pour tout i∈I.

♦ SiP(X =x_i)6= 0, la loi conditionnelle deY sachant(X =x_i)est déterminée par les nombres P_(X=x_i₎(Y =yj) = P[(X =x_i)∩(Y =y_j)]

P(X=xi) pour tout j∈J.

Les lois conditionnelles permettent de déterminer la loi conjointe et les lois marginales du couple (X, Y) quand on connaît une des lois marginales :

P[(X=x_i)∩(Y =y_j)] =P_(Y_=y_j₎(X=x_i)×P(Y =y_j) =P_(X=x_i₎(Y =y_j)×P(X=x_i)

(14)

P(X =xi) =X

j∈J

P_(Y_=y_j₎(X =xi)×P(Y =yj) et P(Y =yj) =X

i∈I

P_(X=x_i₎(Y =yj)×P(X= x_i)

4. Indépendance : Les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tout i ∈ I et tout j ∈ J, P[(X = xi)∩(Y = yj)] = P(X = xi)×P(Y = yj). Dans ce cas, les deux lois marginales permettent de trouver la loi conjointe.

La notion d'indépendance peut être étendue à plusieurs variables X1, ..., Xn . On dénit deux types d'indépendance.

♦ Les variables aléatoires X₁, ..., X_n sont deux à deux indépendantes si quels que soient iet j distincts pris dans[[1, n]] , les variablesXi etXj sont indépendantes.

♦Les variables aléatoires X₁, ..., X_n sont mutuellement indépendantes si quelles que soient les valeurs x1 ∈X1(Ω), . . . , xn∈Xn(Ω), on a :

P[(X₁ =x₁)∩....∩(X_n=x_n)] =P(X₁ =x₁)×....×P(X_n=x_n).

Des variables mutuellement indépendantes sont deux à deux indépendantes, mais la réciproque est fausse.

3.3 Opérations sur les variables aléatoires discrètes

A. Généralités

Soit Z =f(X, Y) une variable aléatoire obtenue à partir du couple (X, Y). Exemples :Z =X+Y ouZ =XY ou Z=M ax(X, Y) ouZ =M in(X, Y) . . .

La loi conjointe du couple (X, Y) permet de déterminer la loi de la variableZ, son espérance, sa variance...

On commence par déterminer l'ensemble Z(Ω) des valeurs prises par Z. Pour chaque valeur z∈Z(Ω), il peut exister plusieurs couples(i, j) tels quei∈I, j ∈J etf(xi, yj) =z : on notera K(z) l'ensemble de ces couples.

La loi de probabilité deZ =f(X, Y) est dénie par : (∀z∈Z(Ω))P(Z =z) = X

(i,j)∈K(z)

P[(X =xi)∩(Y =yj)]

L'espérance deZ est alors :E(Z) = X

(i,j)∈I×J

f(xi;yj)P[(X=xi)∩(Y =yj)]

B. Somme de variables aléatoires

La loi de probabilité deZ =X+Y est dénie par : (∀z∈Z(Ω))P(Z =z) =X

i∈I

P[(X=x_i)∩(Y =z−x_i)] =X

j∈J

P[(Y =y_j)∩(X=z−y_j)]

On a,E(X+Y) =E(X) +E(Y).

Pour la variance, en posantZ =X+Y, on a Z² =X²+Y²+ 2XY et donc : E(Z²) =E(X²) +E(Y²) + 2E(XY).

or, [E(Z)]²= [E(X) +E(Y)]² = [E(X)]²+ [E(Y)]²+ 2E(X)E(Y).

Donc : V(Z) =V(X) +V(Y) + 2[E(XY)−E(X)E(Y)] Dénition :La covariance du couple (X, Y) est :Cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y).

E(XY) = X

(i,j)∈I×J

x_iy_jP[(X =x_i)∩(Y =y_j)].

(15)

Donc, V(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2Cov(X, Y)

Dénition : Si Cov(X, Y) = 0 , on dit que les variables aléatoires sontnon corrélées.

Théorème : Lorsque deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, on a : E(XY) =E(X)E(Y), Cov(X, Y) = 0, V(X+Y) =V(X) +V(Y) En eet,

E(XY) = X

(i,j)∈I×J

xiyjP[(X=xi)∩(Y =yj)]

= X

(i,j)∈I×J

x_iy_jP(X =x_i)P(Y =y_j)

= X

i∈I

xiP[(X=xi)]X

j∈J

yjP[(Y =yj)]

= E(X)E(Y) Cas de n variables aléatoires :

• E(X₁+...+X_n) =E(X₁) +...+E(X_n)

• V(X₁+...+X_n) =V(X₁) +...+V(X_n) + 2 X

1≤i<j≤n

cov(X_i, X_j)

• SiX₁, ..., X_n sont deux à deux indépendantes alors V(X₁+...+X_n) =V(X₁) +...+V(X_n) Question : ( Ex 1 Q 1) Montrer que si une varaible aléatoire X suit une loi B(n, p) alors E(X) =np.

Dénition : On appelle coecient de corrélation des v.aX etY le réel dénie par : ρ(X, Y) = Cov(X, Y)

σ_Xσ_Y Question : ( Ex 1 Q 4) Montrer que −1≤ρ(X, Y)≤1 C. Application :Stabilité des lois

1. Application 1 : Stabilité de la loi de Poisson

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois de Poisson P(α)etP(β), alors la somme X+Y suit la loi de Poisson P(α+β).

2. Application 2 : Stabilité de la loi binomiale

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales B(n, p)etB(m, p) , alors la sommeX+Y suit la loi binomiale B(n+m, p) Remarque : Ces deux résultats s'étendent par récurrence à n variables aléatoires mutuellement indé- pendantes.

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3.4 Exercices

Exercice N^o1

1. Montrer que si une varaible aléatoire X suit une loiB(n, p) alorsE(X) =np.

2. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois de PoissonP(α) etP(β) , alors la sommeX+Y suit la loi de Poisson P(α+β).

3. Montrer par deux méthodes diérentes que siXetY sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales B(n, p)et B(m, p) , alors la somme X+Y suit la loi binomiale B(n+m, p).

4. SoientX etY deux v.a eta;b∈R. Montrer

+ V(aX+bY) =a²V(X) +b²V(Y) + 2abCov(X;Y) + −1≤ρ(X, Y)≤1

Exercice N^o2 On lance un dé équilibré deus fois de suite. Soient X et Y les variales aléatoires qui désignent respectivement le plus gand et le plus petit des deux numéro obtenus. Si on obtient le même numéro alors X etY prennent la valeur égale à ce numéro.

1. Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y) 2. Déterminer les lois marginales de X etY

3. Les deux variales aléatoires sont elles indépendantes ?

Exercice N^o3 SoientX etY deux variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par le tableau suivant :

X Y -2 -1 1 2

-1 a b a b

0 b a b a

1 a b a b

1. Déterminer la realtion entre a et b

2. Déterminer en fonction de a les lois marginales deX etY, leur espérance etcov(X, Y) 3. Déterminer a et b pour que X etY soient indépendantes.

Exercice N^o4 Soient X etY deux variables aléatoires. On suppose queX suit la loi de Poisson de paramètre λ et que pour tout entier natureln, la loi conditionnelle de Y sachant que(X =n) suit la loi binomiale B(n, p).

1. CalculerP[(X=n)∩(Y =k)]

2. En déduire que Y suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.

3. Application : Le nombre X de candidats se présentant à un examen suit une loi de Poisson de moyenneM. Chaque candidat a une probabilitépd'être reçu, indépendamment des résultats des autres candidats. On noteY le nombre de candidats reçus.

(a) Soit (j;k)∈N². CalculerP_(X=j)(Y =k) (deux cas à distinguer selon la valeur dej).

(b) En déduire la valeur de P(Y =k) sous forme d'une somme.

(c) Déterminer la loi deY .

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