SUITES NUMERIQUES

Math Sup ICAM Toulouse CB07–Correction

C.B. N° 7

SUITES NUMERIQUES

^Correction

1 - Soit

( )

an n_∈ℕ la suite réelle définie par : a₀ = −1 et ∀ ∈n ℕ,a_n+1=3a_n−4.

a) Expliciter an en fonction de n∈ℕ_.

La suite (an) est une suite arithmético-géométrique. Soit f x: ֏3x−4 ; f(2) = 2.

( )

, _n1 2 3 _n 2

n a ₊ a

∀ ∈ℕ − = − ; donc

(

an−²

)

n_∈ℕest une suite géométrique de raison 3, de premier terme -3.

On a donc : ∀ ∈n ℕ,a_n− = − ×2 3 3ⁿ et par suite, ∀ ∈n ℕ,a_n= − × + = −3 3ⁿ 2 2 3 .ⁿ⁺¹ b) Expliciter

0 n

k k

a

=

∑

en fonction de n∈ℕ_.

(

¹

) ^{( ) ( )}

¹

0 0 0

3 1

, 2 3 2 1 3 3 2 1 3

2

n n n n

n n

k

k k k

n a n n

+ +

= = =

∀ ∈^ℕ

∑

=

∑

− = + − ×

∑

= + − × −

2 - Soit

( )

vn n_∈ℕ la suite réelle définie par : v₀= −1,v₁=2 et ∀ ∈n ℕ,v_n+2=v_n+1+2 .v_n Expliciter v en fonction de _n n∈ℕ_.

( )

vn n_∈ℕest une suite récurrente linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique r² – r – 2 = 0 qui a pour racines -1 et 2. On a donc :^{∀ ∈n ℕ,vn =λ}

( )

^{−1n+ ×µ 2n et 0}

1

1 1 4 1

et

2 2

2 3 3

v v

= − + = −

   −

⇔ ⇔ = =

  

− + =

=  



λ µ λ µ

λ µ ^.

Finalement, ^{, 4}

( )

^{1 1 1 2}

3 3

n n

n vn ⁺

∀ ∈ℕ = − + × .

3- Soit

( )

un n_∈ℕ la suite réelle définie par : ₀ 1 ₁ 2₂

et , .

2 1

n n

n

u n u u

+ u

= ∀ ∈ =

ℕ + Etudier les variations et la convergence de

( )

un n_∈ℕ.

Soit ₂2

: 1

f x x

x +

֏ ; f est définie et dérivable surℝcomme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s’annulant pas sur ℝ_;

( ) ( )

( )

2 2 2

, ' 2 1 .

1 x f x x

x

∀ ∈ = − + ℝ

x −∞ -1 1 +∞

f ’(x)

– + –

f

Les variations de f donnent : f croissante sur l’intervalle [-1 ; 1], qui est stable par f.

[ ]

0 1;1

u ∈ − donc ∀ ∈n ℕ,u_n+1= f u

( )

_n ∈ −

[ ]

1;1 ; de plus, ₀ 1 ₁ 4 ₀

2, 5

u = u = >u .

On en déduit que la suite

( )

un est croissante, majorée par 1 ; f étant continue sur son domaine, la suite

( )

un

converge vers ^x∈

[ ]

^u0;1 tel que f(x) = x. Comme ^{f x}

( )

^{= ⇔ ∈ −x x}

{

^{0; 1;1}

}

, on a : lim _n 1.

n u

→+∞ =

0 0 -1

1

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SUITES NUMERIQUES

^Correction

1 - Soit

( )

an n_∈ℕ la suite réelle définie par : a₀ = −1 et ∀ ∈n ℕ,a_n+1= −2a_n+3.

a) Expliciter an en fonction de n∈ℕ_.

La suite (an) est une suite arithmético-géométrique. Soit f x: ֏− +2x 3 ; f(1) = 1.

( )

, _n1 1 2 _n 1

n a₊ a

∀ ∈ℕ − = − − ; donc

(

an−¹

)

n_∈ℕest une suite géométrique de raison -2, de premier terme -2.

On a donc : ^{∀ ∈n ℕ,an− = −1}

( )

^{2 n+1} et par suite, ^{∀ ∈n ℕ,an = −}

( )

^{2 n+1+1.}

b) Expliciter

0 n

k k

a

∑

= en fonction de n∈ℕ_.

( ( )

¹

) ^{( )}

¹

^{( )}

0 0

2 1

, 2 1 2 1

3

n n n

n k

k k

n a n

+ +

= =

− −

∀ ∈^ℕ

∑

=

∑

− + = × + +

2 - Soit

( )

vn n_∈ℕ la suite réelle définie par : v₀=0, v₁=2 et ∀ ∈n ℕ,v_n+2=2v_n−v_n+1. Expliciter v en fonction de _n n∈ℕ_.

( )

vⁿ n_∈ℕest une suite récurrente linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique r² + r – 2 = 0 qui a pour racines 1 et -2. On a donc :^{∀ ∈n ℕ,vn =λ}

( )

^{−2 n+µ et 0}

1

0 0 2 2

et

2 2

2 3 3

v v

= + =

   −

⇔ ⇔ = =

  

− + =

=  



λ µ λ µ

λ µ ^.

Finalement, ^{, 1}

( )

^{2 1 2}

3 3

n

n vn ⁺

∀ ∈ℕ = − + .

3- Soit

( )

un n_∈ℕ la suite réelle définie par : ^{u0=3 et ∀ ∈n ℕ,un+1= 1}₂

(

^{un2+ +7}

)

^3.

Etudier les variations et la convergence de

( )

un n_∈ℕ.

Soit ^{f x: ֏ 1}₂

(

^x2+7

)

⁺³ ; f est définie sur ℝ et, par composition de fonctions usuelles

(

²

)

1 7 et 3

x 2 x x x

 

+ +

 

 ֏ ֏ ,on a : f croissante sur l’intervalle

[

^0;+∞

[

, qui est stable par f (car f(0) > 0).

0 0

u > donc ∀ ∈n ℕ,u_n+1= f u

( )

_n >0 ; de plus u₀=3, u₁=2 2+ >3 u₀. On en déduit que la suite

( )

un est croissante.

f étant continue sur son domaine, si la suite

( )

un converge, sa limite x est telle que f(x) = x.

(

^{f x}

( )

^{= ⇔x}

)

^ ¹₂

(

^x2+7

)

^{= − ⇔x 3} ^

⁽

^{x≥ ∧3}

⁾

^¹₂

(

^{x2+ = −7}

)

^{x 3}^^{⇔ =}

⁽

^{x 11}

⁾

f est croissante sur [0 ; 11] ; f(0) > 0 et f(11) = 11, donc l’intervalle [0 ; 11] est stable par f.

[ ]

0 0;11

u ∈ , donc ^{∀ ∈n ℕ,un∈}

[ ]

^{0;11 .}

On en déduit que la suite est croissante, majorée par 11, et par suis qu’elle converge vers x = 11.