D.M. n°13 PRIMITIVES DE FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

D.M. n°13 PRIMITIVES DE FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

Correction

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur

]

−π π^;

[

par :

] [ ( )

0

; , cos d

1 cos

x n n

x f x t t

∀ ∈ −π π = t

∫

+ 1. Calculer f0

( ) ( )

x , f x1 et f2

( )

x .

Indication : effectuer le changement de variable tan 2 u= t .

( )

2

tan tan

2 2

0 0 0 2 2 0

tan2 2

1 2

d 1 2d

d tan

1 cos 1 1 2

1 1

x x

x

u t du u dt

t u x

f x u

t u u

u

=

=+

= = = =

+ + − +

+

∫ ∫ ∫

^.

1

( )

0 0 0

cos d 1 cos 1 1

d 1 d tan

1 cos 1 cos 1 cos 2

x t t x t x x

f x t t x

t t t

 

+ −  

=

∫

+ =

∫

+ =

∫

 − +  = − ^.

( )

^{2 2}

2 0 0 0

cos cos 1 1 1

d d cos 1 d sin tan

1 cos 1 cos 1 cos 2

x t x t x x

f x t t t t x x

t t t

 

− +  

=

∫

+ =

∫

+ =

∫

 − + +  = − + ^.

2. a) Justifier que l’on peut restreindre l’étude de fn à l’intervalle

[ [

0;π , puis étudier ses variations sur

[ [

^{0;π .}

] [ ( ) ( ) ( )

0 0

cos cos

; ,

1 cos 1 cos

n n

x x

n n

u t

t u

x f x dt du f x

t u

−

=−

∀ ∈ −π π − = = − = −

+ +

∫ ∫

^;

la fonction fn est donc impaire. On peut restreindre son étude à

[ [

^0;π . La fonction cos

1 cos

nt

t֏ + t est continue sur

[ [

^0;π , la fonction fn est sa primitive s’annulant en 0,

elle est donc dérivable et :

[ [

^{0; , '}

( )

^cos

1 cos

n n

x f x x

∀ ∈ π = x

+ ^.

• Si n est pair, ∀ ∈x

[ [

^0;π ^, fn^'

( )

x ≥⁰ donc fn est croissante sur

[ [

^0;π .

• Si n est impair, ^{0; , '}

( )

^{0, et ; , '}

( )

⁰

2 ⁿ 2 ⁿ

x  π f x x π  f x

∀ ∈ ≥ ∀ ∈ π ≤

   

    ^{donc fn est}

croissante sur 0;

2

 π

 

 

  et décroissante sur ; 2

π 

 π

 

 .

b) Déterminer le développement limité de fn à l’ordre 3 au voisinage de 0.

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

0 0 2 2

2 2

0 0

2 2

2 2

0 0

2 2

0

1 1

cos 2 2 1

' 1 1

1 cos 2 2 4

2 2 1

2 4

1 2 1

2 8

n

n n

x o x nx o x

x x x

f x n o x o x

x

x x

o x o x

n x o x

 

 − + 

  − +

    

    

= + = − + =  − + =  − +  + + 

= − − +

Comme fn(0) = 0, on a par intégration : ( ) ³ 0

( )

³

2 1 2 24

n

x n

f x − x o x

= − + .

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c) En déduire l’équation de la tangente à la courbe représentative de f_n au point d’abscisse 0, et la position de cette courbe par rapport à la tangente (en discutant suivant les valeurs de n).

On déduit de la question précédente que la courbe représentative de fn admet en l’origine une tangente d’équation

2

y= x . De plus, ( ) ³ 0

( )

³

2 1

2 24

n

x n

f x − = − − x +o x donc :

• Si n = 0, la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0⁺, et en dessous au voisinage de 0^-.

• Si n≥1, la courbe est en dessous de sa tangente au voisinage de 0⁺, et au-dessus au voisinage de 0^-.

3. a) Montrer que :

2 3

2 cos 1

; , d tan 3

3 1 cos 2 2

x n

n

t x

x t

π t

 π   

 

∀ ∈ π

∫

+ ≥  − 

Soit 2 cos

3 . 1 cos

nt

x t

t

≥ π

֏ + est de signe constant sur 2 3 ;x

 π 

 

 

 , et 2 1

; , cos

3 2

t  π  t

∀ ∈ π ≥

 

  ^.

On a donc : _{2 2 2}

3 3 3

cos cos 1 d 1

tan 3

1 cos 1 cos 2 1 cos 2 2

n n

x x x

n n

t t t x

dt dt

t t t

π π π

 

= ≥ =  − 

+ + +

∫ ∫ ∫

^.

b) En déduire les limites de fn en π et en −π Le théorème de comparaison donne : ₂

3

lim cos

1 cos

x n x

t dt

π t

→π = +∞

∫

+ ^.

( )

²³ 2

0 3

cos cos

1 cos 1 cos

n x n

n

t t

f x dt dt

t t

π

= + π

+ +

∫ ∫

^{donc lim}x ⁿ

^{( )}

f x

→π = +∞

En tenant compte du signe de fn(x), et de la parité de fn on a :

• Si n est pair : ^lim n

( )

^{et lim} n

( )

x f x x f x

→π = +∞ →−π =−∞^;

• Si n est impair : ^lim n

( )

^{et lim} n

( )

x f x x f x

→π = ∞− →−π =+∞.

c) Donner l’allure de la courbe représentative de fn sur

]

^{−π π;}

[

, en fonction des valeurs de n.

si n = 0 : si n > 0, pair : si n > 0, impair :

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4. En remarquant que ¹

] [

^{cos cos cos 1}

1 cos 1 cos

n n

t t

n , t ; , t

t t

−

∀ ≥ ∀ ∈ −π π =

+ + , trouver une relation

entre f_n

( )

x , f_n−1

( )

x et f_n−2

( )

x , pour n≥2^.

Soient u et v telles que ^{∀ ∈ −π πt}

]

^;

[

^:

( )

^{cos 1} et

( )

sin 1 cos

n t

u t v t t

t

−

= =

+ .

] [ ( ) ( ) ( )

0

; , _n ^x ' d

x f x u t v t t

∀ ∈ −π π =

∫

^.

u et v sont de classe C¹ sur

]

^{−π π;}

[

; une intégration par parties donne :

] [ ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2 2 2 1

2 2

0 0

0

sin cos sin cos sin cos

; , 1 d 2 d

1 cos 1 cos 1 cos

n x x n x n

n

t t t t t t

x f x n t n t

t t t

− − −

 

 

∀ ∈ −π π = +  + −

∫

+ + −

∫

+

Or

] [

( ) ( )

2 2

2 2

sin 1 cos 1 cos

; ,

1 cos

1 cos 1 cos

t t t

t t t t

− −

∀ ∈ −π π = =

+ + + d’où :

] [ ( )

¹

( ) (

2

( )

1

( ) ) ^{( )} (

1

^{( ) ( )} )

sin cos

; , 1 2 .

1 cos

n

n n n n n

x x

x f x n f x f x n f x f x

x

−

− − −

∀ ∈ −π π = + − − + − −

+

Finalement, on a :

] [ ( ) ( )

¹

( )

2

( )

1

( )

sin cos

; , 1 1 .

1 cos

n

n n n

x x

x n f x n f x f x

x

−

− −

∀ ∈ −π π − = + − −

+