Rapport sur les champs symplectiques formels

J ^ACQUES V ^EY

Rapport sur les champs symplectiques formels

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1976, tome 13, fascicule 3 , p. 63-78

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D é p a r t e m e n t d e M a t h é m a t i q u e s Lfco 1 9 7 6 t . 1 3 - 3

RAPPORT SUR L E S CHAMPS SYMPLECTIQUES FORMELS p a r J a c q u e s VEY

1 . CHAMP DE VECTEURS F O R M E L S .

D a n s t o u t c e qui s u i t , on n o t e r a k un c o r p s c o m m u t a t i f de c a r a c - t é r i s t i q u e n u l l e , e t T un e s p a c e v e c t o r i e l f i n i sur k . L ' a l g è b r e Q des c h a m p s formels e s t T e n le produit t e n s o r i e l de T e t de k [ [ T ] ] , a l g è b r e

( a s s o c i a t i v e ) d e s f o n c t i o n s f o r m e l l e s sur T ; o e s t é q u i p é e du c r o c h e t de L i e .

£+1 *

S o i t « un e n t i e r z - 1 : on p o s e Û = S I g l ( c h a m p s p o l y -

V

n o m i a u x h o m o g è n e s de d e g r é £+1) ; a e s t c o n s t i t u é d e s t r a n s l a t i o n s

s u r T ; o = gl (T) d e s o p é r a t e u r s l i n é a i r e s sur T . S o i t H - I x¹ à / è x¹ o

l a m u l t i p l i c a t i o n s c a l a i r e sur T : un champ formel X a p p a r t i e n t à

S I e t s e u l e m e n t s i [ H, X ] = OC ; c e qui f a i t que l e s a , t * -1 . d é f i n i s - s e n t une g r a d u a t i o n d ' a l g è b r e de L i e sur Û .

Il y a q u e l q u e s a n n é e s , G e l f a n d e t F u k s ont e n t r e p r i s de c a l c u l e r l a c o h o m o l o g i e de a d a n s d i f f é r e n t s m o d u l e s , d ' o r d r e f i n i . V o i c i c e q u ' o n e n t e n d par l à , du moins quand l a c o h o m o l o g i e e s t à c o e f f i c i e n t s d a n s le

P

a - m o d u l e t r i v i a l k . On f o r m e , pour p e n t i e r * 0 , C (a , k ) l ' e s p a c e de p - f o r m e s m u l t i l i n é a i r e s a l t e r n é e s s u r o , d ' o r d r e f i n i ( c ' e s t - à - d i r e : l a v a l e u r de l a c o c h a î h e ne d é p e n d q u e d e s j e t s d'un c e r t a i n ordre d e s a r g u -

m e n t s ) . On é q u i p e C * U , k ) = © C^P( o , k ) de l a d i f f é r e n t i e l l e u s u e l l e : p*0

d f( X^R\ . . . A X ) = I ( - l )^{1 - h j} f([X.,X.] , X¹, . . . i . . . f. . . X

p U i < j * p + 1 1 J 1 p 1

( f £ C^P( o , k ) , X € Q) et on c h e r c h e la c o h o m o l o g i e H*(ct/k) du c o m p l e x e

a i n s i o b t e n u . C e t t e e n t r e p r i s e a u d a c i e u s e r é u s s i t a u - d e l à de t o u t e e s p é - r a n c e : la c o h o m o l o g i e e n q u e s t i o n s ' a v è r e de d i m e n s i o n f i n i e , e t c o m p l è - t e m e n t e x p l i c i t a b l e ( [ 1 ] ) .

C e s u c c è s e n g a g e a i t à r e n o u v e l e r l ' o p é r a t i o n pour d ' a u t r e s a i g è b r e s de Lie i n f i n i e s c é l è b r e s ; e t parmi e l l e s l ' a l g è b r e d e s c h a m p s s y m p l e c t i q u e s

(ou h a m i l t o n i e n s ) f o r m e l s , qui s o n t d ' u n e e x t r ê m e i m p o r t a n c e e n m é c a n i q u e » M a l h e u r e u s e m e n t , c e s r e c h e r c h e s s e sont h e u r t é e s à d e s d i f f i c u l t é s , dont nous a l l o n s e s s a y e r de f a i r e le p o i n t .

2 . CHAMPS DE VECTEURS S Y M P L E C T I Q U E S .

S u p p o s o n s d o n c T de d i m e n s i o n p a i r e 2m , é q u i p é d ' u n e f o r m e b i l i n é a i r e a l t e r n é e au non d é g é n é r é e : par un c h o i x i d o i n e de c o o r d o n n é e s sur T ( c o o r d o n n é e s c o n j u g u é e s ) on peut é c r i r e

m

x = L dp. A dq. .

i ^{1 1}

Un champ formel X 6 a s e r a dit s y m p l e c t i q u e s i 6^V^' = 0 ( r d é s i g n e l a d é r i v é e de Lie ; le groupe à un paramètre c o r r e s p o n d a n t de d i f f é o m o r p h i s m e s p r é s e r v e r a i t x ) . L e s c h a m p s f o r m e l s s y m p l e c t i q u e s forment une a l g è b r e de Lie que j e n o t e r a i S .

Par a i l l e u r s , s i u € k [ [ T ] ] e s t une f o n c t i o n f o r m e l l e , a p p e l o n s g r a d i e n t de u le champ U d é f i n i par

i^uu = -du .

Il e s t c l a i r que U d é t e r m i n e u à une c o n s t a n t e p r è s ; e n c o o r d o n n é e s c o n j u g u é e s ,

U = £ (- J -

iH. * ) .

- dq. ôp. ôp. dq,

1 1 * i *i 1

LE M M E . On a une s u i t e e x a c t e

En e f f e t , s i g^u; = 0 , l a formule de C a r t a n donne 0 = 9 ^ U L = di^uu + i^du;

i n d i q u a n t , p u i s q u e du = 0 , que i^u e s t f e r m é e .

On e n r i c h i t l a s t r u c t u r e en é q u i p a n t k [ [ T ] ] d ' u n e l o i d ' a l g è b r e d e Lie qui fait du g r a d i e n t un morphisme : c ' e s t le c r o c h e t de P o i s s o n , q u ' o n d é f i n i t par

[u v ] = GyV = - 9 y U = ((JU,UAV>

_ £ du dv Su àv 1 ^àpi " ^{ô q}i ^{Ô P}i

( u , v £ k [ [ T ] ] ; U e t V s o n t l e u r s g r a d i e n t s ) . On n o t e r a $ l ' a l g è b r e de P o i s s o n a i n s i o b t e n u e , on v é r i f i e i m m é d i a t e m e n t que k ( f o n c t i o n s c o n s - t a n t e s ) e s t s o n c e n t r e .

S i f , g 6 T ci $ , s i r , s s o n t d e s e n t i e r s * 0 , on a [ f^r, g^S] = r s ( f , g ) f^r * g^{S 1}

o ù ( f , g ) d é s i g n e le produit s y m p l e c t i q u e d a n s T* . G r a d u o n s

$ = | T S T e n a t t r i b u a n t le p o i d s £ - 2 * - 2 à S I * : on v o i t q u ' o n o b t i e n t une g r a d u a t i o n d ' a l g è b r e de L i e , e t l a s i t u a t i o n s e p r é s e n t e a i n s i :

Il II ! / n

9 r a d l I I I t I

s = o e e © c © c e . . . * e , « . . .

• i i i

T

«p(D

ne

ne

I

La g r a d u a t i o n induite sur 6 par l e s € = £ 0 o s e r e t r o u v e a i n s i : I I

le champ H £ ^a i (T) o> Q n ' a p p a r t i e n t p a s à £ ( g^u) = 2w ? 0) m a i s i l la n o r m a l i s e : [ 1 1 , 6 ] c £ e t l e s £ s o n t d e s e s p a c e s p r o p r e s . A u s s i b i e n , l ' o p é r a t e u r ad H sur £ s e r e l è v e sur $ par l ' o p é r a t e u r a :

au = e^Ru - 2u (u 6

qui e s t une d é r i v a t i o n e x t é r i e u r e de 1 a l g è b r e de P o i s s o n , l e s ? é t a n t s e s e s p a c e s p r o p r e s .

Il e s t n a t u r e l de d i s t i n g u e r d a n s £ l a s o u s - a l g è b r e s d ' i s o t r o p i e formée d e s c h a m p s nuls à l ' o r i g i n e :

« = TT e = TT ». -

(m , i d é a l m a x i m a l de <p = k [ [ T ] ] ) .

3 . LA ZONE STABLE.

Un premier r é s u l t a t e s t le s u i v a n t ( [ 2 ] ) .

PROPOSITION 1. Pour 0 < p s 2m , H^pt y , k ) = 0 ; e t d i n ^ H^{2 m + 1}C p , k ) = 1 .

2 m ^ l 2 ^

Une b a s e de H ( $ , 1 0 s ' e x p l i c i t e comme s u i t : u* 6 /. T e s t une 2 - f o r m e sur Ç , = T , et peut ê t r e r e m o n t é e sur £ par ~ * (~

- 1 - 1 € d é s i g n e la p r o j e c t i o n de £ , ou ^ , sur £ , ou Ç ) ; puis sur *j>

par grad . P a r e i l l e m e n t , s o i t K = ^{la 1} -forme sur $ é v a l u a t i o n à l ' o r i g i n e . Alors dK = w , e t K A X™ e s t un ( 2 m + l ) - c o c y c l e s u r <p qui donne une b a s e de H ^^m"^{h l}( ^ , k ) .

PROPOSITION 2 . En degré s 2 m + l , l ' a l g è b r e H * ( £ , k ) e s t librement e n g e n d r é e par un g é n é r a t e u r de d e g r é 2 .

2

Ce g é n é r a t e u r e s t l a c l a s s e de w ç C ( Ç , k ) ; on a sur € , do: = 0 . C e t é n o n c é s e déduit a i s é m e n t du p r é c é d e n t e n c o n s i d é r a n t l ' e x t e n s i o n t o u t e s i m p l e

q u i donne n a i s s a n c e à une s u i t e s p e c t r a l e

E

P '

= H

(k,H

(e,k)) • H

cp,k)

dont le f o n c t i o n n e m e n t e s t a i s é m e n t a n a l y s a b l e d a n s l e s b a s d e g r é s . Quant à la p r o p o s i t i o n 1 , e l l e e s t une a d a p t a t i o n d'un argument que G e l f a n d e t F u k s u t i l i s a i e n t pour montrer l a n u l l i t é de H^q( û , k ) , 1 * q s dim T , avant q u ' i l s n ' o b t i e n n e n t la d e s c r i p t i o n c o m p l è t e de H * ( o , k ) par l a méthode que j e v a i s r a p p e l e r c i - d e s s o u s .

4 . INTERVENTION DE R O S E N F E L D .

On c o m m e n c e d ' o r d i n a i r e l e c a l c u l de H * ( a , k ) par l ' o b s e r v a t i o n s u i v a n t e . F a i s o n s o p é r e r H , ou 6 , sur C * ( a , k ) , qui va s e s c i n d e r e n somme de s o u s - e s p a c e s p r o p r e s

C * (^Q, k ) = e C * (^{Q /}k ) r ç Z ^r

du fait que d9 = ô^d , l e s C s o n t d e s s o u s - c o m p l e x e s . I l s s o n t ri ri r

a c y c l i q u e s pour r jt 0 , en e f f e t sur C^ ,

r = 6H ^{= d i}H ^{+ i}H^d

a i n s i l a c o h o m o l o g i e s e r é f u g i e d a n s C , c o m p l e x e dont on d é c o u v r e r a -

0 2

p i d e m e n t q u ' i l e s t de d i m e n s i o n f i n i e , nul e n d e g r é > n + 2 n (n = dim T) . A i n s i l a finitude d e H (o , k ) a p p a r a î t i m m é d i a t e m e n t . Il a p p a r a î t d a n s le

même t e m p s que l ' a r g u m e n t s ' e f f o n d r e d a n s le c a s de Ç : H t Z e t l ' o p é - r a t e u r i ^ fait d é f a u t .

D a n s le c a s de l ' a l g è b r e Q , on p r o c è d e e n s u i t e , par une méthode d e v e n u e c l a s s i q u e , ( v o y e z [ 1 ] ) , à l a d é f i n i t i o n d'un morphisme w de

l ' a l g è b r e de W e i l

W (³i ( T ) ) = A g l ( T ) % S ⁸i ( T ) *

* 1 *

d a n s C * ( a , k ) (en fait d a n s C M a , ^ ) ) ; on e n v o i e une forme 9 € A |KT) sur - * I ï (rt e s t l a p r o j e c t i o n n a t u r e l l e de ^Q sur ⁼ S ¹ ^ ^ ^{; e c o n}

O ¹ " o ⁰ j *

e n v o i e la même forme L , c o n s i d é r é e comme é l é m e n t de S g l ( T ) , s u r

d V " 2 £ n⁰S . n^o5 ] •

On v é r i f i e a i s é m e n t que w a n é a n t i t l ' i d é a l I de W ( 9 l ( T ) ) e n g e n d r é par n 1

S g l(T)* c e qui induit

w : W (3I ( T ) ) = W (⁸I ( T ) ) / Ï - C * (^Q, k )

et le t h é o r è m e f o n d a m e n t a l , c ' e s t que w induit un i s o m o r p h i s m e d e s

c o h o m o l o g i e s . Le p r i n c i p e de l a preuve e s t le s u i v a n t : on f i l t r e par rapport à qI(T) = Q l e s d e u x c o m p l e x e s en q u e s t i o n ; l a s u i t e s p e c t r a l e d e

o

K o s z u l - H o c h s c h i l d - S e r r e , par r é d u c t i v i t é , donne d ' u n e part E * '^q( W ) = H^q( g l ( T ) , k ) s [ S g l ( T ) V r ] 8 U T >

où le s e c o n d f a c t e u r s e r a l ' a l g è b r e s y m é t r i q u e k t C j , . . . , ^ ] , e n g e n d r é e par d e s c . de d e g r é 2 i , e t t r o n q u é e e n d e g r é > 2n ; et d ' a u t r e p a r t

E j '^q( C * (^Q, l O ) = H^q( g l ( T ) , k ) s H^P(^Q, ^BI ( T ) , k ) où le s e c o n d f a c t e u r e s t l a c o h o m o l o g i e du s o u s - c o m p l e x e C ( a , g l ( T ) , k ) C+ C ( û , k ) formé d e s c o c h a f n e s % b a s i q u e s :

9^L? = i^L? = 0 q u e l que s o i t L ç ^bl ( T ) . On c a l c u l e C * ( a , g l(T) , k ) e t on a l ' a g r é a b l e s u r p r i s e de ne r i e n trouver e n d e g r é impair ou > 2n ; e t de ne trouver que l ' i m a g e de w e n d e g r é pair - a p r è s quoi t o u t s e t r i v i a l i s e .

Au vu de c e s p h é n o m è n e s , le projet de V . I . R o s e n f e l d a é t é le s u i v a n t : a b a n d o n n o n s à leur s o r t , au moins p r o v i s o i r e m e n t , l e s c o m p l e x e s C^(G,K) , r / 0 ; e t v o y o n s s i le morphisme é v i d e n t

w : W ( $P( T ) ) / I - C * ( 6 , k )

r o

v a induire un i s o m o r p h i s m e de c o h o m o l o g i e s . D a n s s a n o t e [ 3 ] , R o s e n f e l d

a n n o n c e que t e l e s t b i e n le c a s , et i l s e borne à a j o u t e r que la d é m o n s - t r a t i o n e s t a n a l o g u e au c a s de G e l f a n d - F u k s : l ' a l g è b r e ^Q .

Il n ' y a r i e n que de p l a u s i b l e d a n s c e t i s o m o r p h i s m e ; m a i s j e s u i s s c e p t i q u e quant à l ' a n a l o g i e de p r e u v e s . J e v a i s produire d a n s un i n s t a n t u n e c o c h a f n e de C * ( ç , $ p , k ) , de d e g r é impair : d o n c à s u p p o s e r même q u e C * ( ç , g p , k ) s e l a i s s e d é c r i r e c o m m o d é m e n t , on ne s e r a p a s d i s p e n s é , c o n t r a i r e m e n t au c a s de ^Q , du c a l c u l de l a d i f f é r e n t i e l l e et de s a c o h o m o -

i o g i e . C o n s i d é r o n s e n e f f e t , sur l ' e s p a c e

A T * s S ° T & S^HT = A°e_j s e s e²

l a forme l i n é a i r e d é f i n i e par

3 4 3 CL A p A \' g I s n ' » £ ( a i B) ( v, T 0 ( 9 , r i )

o ù § , r , a , 3 i Y € T , e t où L i n d i q u e une s o m m a t i o n c i r c u l a i r e sur a , 5 , v . E l l e e s t t r i v i a l e m e n t i n v a r i a n t e par S p ( T ) ; e l l e s e r e l è v e n a t u r e l -

l e m e n t e n une 5 - c o c h a m e sur © , qui s e r a de p o i d s 0 , e t s ' a n n u l e r a d è s q u ' u n argument s e r a d a n s € ^q = *p(T) .

S i g n a l o n s que le c a l c u l de H ( £ , k ) e s t é q u i v a l e n t au c a l c u l de

H (SC/le) c o h o m o l o g i e de l ' a l g è b r e £ 6 d e s c h a m p s c o n f o r m e s s y m p l e c t i q u e s , c ' e s t - à - d i r e l e s c h a m p s X 6 Q t e l s que 9 u> s o i t un m u l t i p l e c o n s t a n t d e tu ( c f [ 3 ] , [ 4 ] ) .

5 . INTERVENTION DES ORDINATEURS.

En t o u t e h y p o t h è s e , que f a i r e c o n t r e l e s c o m p l e x e s C ( 6 , k ) e t l e u r s m y s t é r i e u s e s c o h o m o l o g i e s H * ( S , k ) ? Afin de d é b l o q u e r l a s i t u a t i o n , G e l f a n d , F u k s et K a l i n i n ( [ 4 ] ) e n t r e p r i r e n t l e c a l c u l m é c a n i q u e de

( € , $ p , k ) pour l e s b a s s e s v a l e u r s de r e t de q . En e f f e t , s o i t f une q - c o c h a f n e b a s i q u e : e l l e e s t d é t e r m i n é e par l e s v a l e u r s

f(&. ,. . . , 1 ^q) , L . 2 0 , 5 . € T*

1 q î i

sur l e s p u i s s a n c e s p a r f a i t e s d a n s k [ [ T ] ] = y , d ' a p r è s l a t h é o r i e d e s i n v a r i a n t s ([ ] ) l e p o l y n ô m e o b t e n u e s t un polynôme

F ( . . . ( S , , S . ) . . . )

en l e s produits s y m p l e c t i q u e s d e s s / unique modulo l e s r e l a t i o n s : c e l l e - c i , d ' a p r è s [ 5 ] p p . 1 6 7 - 1 6 8 , l o c . c i t . c o m p l é t é par [ 6 ] , p p . 2 3 et 2 4 , s o n t e n g e n d r é e s par l a r e l a t i o n

J

= £ ± ( V 9

V V - - ^

l '

2 m

2

'

En o u t r e , F doit s a t i s f a i r e l e s c o n d i t i o n s d¹ a n t i s y m é t r i e r e q u i s e s d ' u n e c o c h a f n e . (Un peut d ' a t t e n t i o n montre d ' a i l l e u r s que le p o i d s d'un i n v a - r i a n t e s t f o r c é m e n t p a i r ) . La d é t e r m i n a t i o n d e s p o l y n ô m e s F p o s s i b l e s peut t r è s b i e n ê t r e c o n f i é e à un o r d i n a t e u r pour l e s p e t i t e s v a l e u r s d e q et r , g r â c e aux t e c h n i q u e s de c a l c u l a l g é b r i q u e m i s e s au point d e p u i s q u e l q u e s a n n é e s . C ' e s t c e q u ' o n t f a i t G e l f a n d , F u k s e t K a l i n i n pour dim T = 2 (m = l ) ; et v o i c i l e u r s c o n c l u s i o n s :

PROPOSITION. S i dim T = 2 , H ^ ( © , 3 p , k ) = 0 pour q > 0 , 0 + r < 8 ; e t pour 0 < q ^ 7 , r = 8 ; par c o n t r e dim H j ( S , $ p , k ) = 1 .

o

( C h a q u e c o m p l e x e C^r( 6 , ô , k ) s ' a n n u l e e n d e g r é a s s e z g r a n d , d o n c la p r o p o s i t i o n e s t le r é s u l t a t d'un c a l c u l de l o n g u e u r f i n i e ) . On t r o u v e r a d a n s [ 4 ] l ' e x p r e s s i o n e x p l i c i t e e t d é r o u t a n t e d'un 7 - c o c y c l e de poids 8 non t r i v i a l . On déduit de l à t r è s a i s é m e n t que H Q ^ ( S , « , 1 C )

o

e s t de d i m e n s i o n 1^# e t c . . par l a s u i t e s p e c t r a l e de K o s z u l - H o c h s c h i l d - S e r r e .

P e u t - ê t r e l a p h i l o s o p h i e p r i n c i p a l e à r e t e n i r de c e s r é s u l t a t s e s t la n é c e s s i t é pour l e s a l g é b r i s t e s de s ' i n t é r e s s e r à c e s c a l c u l s a l g é b r i q u e s sur m a c h i n e , qui me s e m b l e n t ouvrir d e s p e r s p e c t i v e s p r o m e t t e u s e s d a n s t o u t e s s o r t e s de d o m a i n e s .

6 . LE THEOREME DE PERCHIK.

Il e s t f a c i l e de voir que c h a q u e c o m p l e x e C*(6,Sp#lO e s t de d i m e n s i o n f i n i e , e t de majorer e x p l i c i t e m e n t s a l o n g u e u r . Nous pouvons

d o n c c o n s i d é r e r l e s c a r a c t é r i s t i q u e s d ' E u l e r - P o i n c a r é

CC CD

v = L ( - l )^qd i m H^q( e , « p , k ) = X. ( - l )^qd i m C^q( 6, * p , k ) .

r q=0 ^r q=0 ^r

J . P e r c h i k a fait voir [ 7 ] comment on peut c a l c u l e r l e s x^r à partir de l a d e u x i è m e e x p r e s s i o n , e t o b t e n i r par l à d e s i n f o r m a t i o n s , c e r t a i n e m e n t t r è s i m p l i c i t e s e t i n d i r e c t e s , sur l e s g r o u p e s H * ( © , 8 p , k ) .

P R O P O S I T I O N . Formons l e produit

( n ! ) "¹ 2 " ^M j ! ( l - t l^{a + B}l " ²x^a - ^ë ) , t € k . x € k ^m m

a, 3 € l N

| a+ e | > 0

o ù | a+ 3 | = L ( a .+ 6 . ) , x^a~ ^ = "[~y x .^{1 1} . D a n s le d é v e l o p p e m e n t e n

1 ^{1 1} 1 ¹

s é r i e e n t i è r e en t , de Laurent e n x , de c e produit , x^r e s t le c o e f - f i c i e n t de t^rx ° . . . x ° .

1 m

L o r s q u e m = 1 (dim T = 2) , un c a l c u l d ' o r d i n a t e u r a a b o u t i au r é s u l t a t s u i v a n t :

I x /

+ , « » - « « - , « . ³ «⁴⁸ - 2 t^{5 0} . 3 t " - t⁵⁸ - 3 t^{6 0}

+ 3 t ^{6 2} - 8 t ^{M +} 9 t ^{6 6 +} 1 0 ,^{7 0 +} . . .

q u i m a n i f e s t e l ' e x i s t e n c e de 5 7 c l a s s e s de c o h o m o l o g i e i n d é p e n d a n t e s . Pour r £ 8 , l e s r é s u l t a t s s o n t e n a c c o r d a v e c l e s r é s u l t a t s d e s § p r é c é - d e n t s . On ne s a i t p a s d é c i d e r , même d a n s c e c a s , s i une i n f i n i t é de

K^r s o n t i 0 , ou non n u l s . C e r é s u l t a t d o n n e e n t o u t c a s la m e s u r e du p r o b l è m e .

S i g n a l o n s que J . P e r c h i k a é t a b l i un r é s u l t a t a n a l o g u e r e l a t i f a u x c h a m p s i s o c h o r e s ( p r é s e r v a n t le volume) - c e s c h a m p s donnent l i e u à u n e p r o b l é m a t i q u e t r è s a n a l o g u e , m a i s un peu plus s i m p l e , à c e l l e d e s c h a m p s s y m p l e c t i q u e s .

7 . L ' I S O T R O P I E .

Il n ' e s t p a s s a n s i n t é r ê t d ' e x a m i n e r l a s o u s - a l g è b r e ê c g d e s 2

c h a m p s nuls à l ' o r i g i n e ; on peut c o n s i d é r e r que * = m c k [ [ T ] ] ( i d é a l d e s f o n c t i o n s c r i t i q u e s à l ' o r i g i n e ) é q u i p é du c r o c h e t de P o i s s o n .

S o i t j : g - sp - 0 l e j e t d'ordre 1 (qui e s t i n d é p e n d a n t du c h o i x d e s c o o r d o n n é e s c u r v i l i g n e s sur T ) e t i : ôp - s ( l i é e au p r i v i -

l è g e d e s c o o r d o n n é e s l i n é a i r e s sur T) , qui en e s t i n v e r s e à d r o i t e . N o u s o b t e n o n s un morphisme j * : H*(ôp,k) - H * ( é , k ) ; e t l a p o s s i b i l i t é (par i ) de c o n s i d é r e r la c o h o m o l o g i e H * ( s , $ p , k ) d e s c o c h â m e s b a s i q u e s p a r r a p - port à .

PROPOSITION. On a un i s o m o r p h i s m e

H * ( « , k ) - H * U p , k ) & H * ( * , * p , k ) .

Preuve : On c o n s i d è r e la s u i t e s p e c t r a l e de K o s z u l - H o c h s c h i l d - S e r r e

E P '^q = H^qU p , k ) S H^PU , * p , k )

et on o b s e r v e que i* r e l è v e l e s t e r m e s de la fibre E ^ ' * ⁼ H * ( S p , k ) d a n s H * U , k ) .

PROPOSITION ( [ 8 ] , § 2 ) . H ^ ô ^ p f k ) = 0 e t dim H²{«,*p,k) « l .

o 4

S i de plus dim T ;> 4 (m * 2) H U , d p , k ) = 0 e t dim H U , s p , k ) * 2 . Un 2 - c o c y c l e f o n d a m e n t a l s ' e x p l i c i t e a i n s i : on c o n s i d è r e sur

3 tt

é j ^s 8 ^ = S T la 2 - f o r m e b i l i n é a i r e a l t e r n é e d é f i n i e par

&ⁱ : 9³A r )³ i • ( S , r ) )³ , * , T I € T *

e t o n la r e l è v e sur s par n* .

A c e t e n d r o i t , j e v a i s formuler une c o n j e c t u r e . Q u e l que s o i t l ' e n t i e r p > 0 , c o n s i d é r o n s l a 2 p - f o r m e b i l i n é a i r e a l t e r n é e 5 ^ sur

« = S = S³T * d é f i n i e par

p 1 2p 1 2p 1

q u e n o u s r e l e v o n s e n une 2 p - c o c h a t o e sur % ; c e t t e c o c h a f n e e s t o u v e r - t e m e n t b a s i q u e , et un c a l c u l d ' u n e l i g n e montre que c ' e s t un c o c y c l e

( d a n s é , t o u j o u r s ) .

C o n j e c t u r e : En d e g r é £ m , l ' a l g è b r e H * ( s , s p , k ) e s t l i b r e m e n t e n g e n d r é e par l e s c l a s s e s de (3 , 1 £ i £ m .

La r e s t r i c t i o n sur l e s d e g r é s s ' i n t r o d u i t comme s u i t : s i l ' o n r e p r e n d l e s c o n s i d é r a t i o n s du § 5 sur l e s g é n é r a t e u r s d e s i n v a r i a n t s de Sp(T) , on v o i t que l e s r e l a t i o n s n ' i n t e r v i e n n e n t q u ' e n d e g r é * m+2 , c e qui d i s t i n g u e - r a i t a s s e z n a t u r e l l e m e n t une z o n e s t a b l e 0 s q £ m . Le fondement e x p é - r i m e n t a l de c e t t e c o n j e c t u r e e s t d e s p l u s m i n c e s , e t e l l e r e f l è t e s u r t o u t le

m a n q u e d ' i m a g i n a t i o n de s o n a u t e u r ; l o r s q u e m * 4 , l e s d e u x c l a s s e s 4

d é c e l é e s d a n s H ( $ , * p , k ) s o n t b i e n 3 j ^A ^ ^ ^{e t} ^ î ^{e t} J ^e m ' é t a i s c o n v a i n - c u d'un l i e n e n t r e c e t t e c o n j e c t u r e e t l ' a s s e r t i o n de R o s e n f e i d .

8 . INVARIANTS S Y M E T R I Q U E S .

On s e r a p p e l l e que d a n s l e c a s d e s a l g è b r e s d e L i e s e m i - s i m p l e s , l e s i n v a r i a n t s s y m é t r i q u e s s o n t d ' u n a c c è s b e a u c o u p p l u s f a c i l e que la c o h o m o l o g i e . C e c i i n c i t e à b a t t r e e n r e t r a i t e v e r s l e p r o b l è m e s u i v a n t : a p p e l o n s polynôme sur Q , 6 , e t c . . une f o n c t i o n f : Q - k qui ne

dépend que du j e t d'un c e r t a i n ordre de l ' a r g u m e n t , e t qui e s t un p o l y n ô m e par rapport a u x c o e f f i c i e n t s de la s é r i e de T a y l o r ; et c h e r c h o n s c e u x qui s o n t i n v a r i a n t s par l ' a c t i o n a j o i n t e de a ( r e s p . S , e t c . . . ) : s o i t I g ( ° ) ( r e s p . I^c( £ ) e t c . . ) l ' a l g è b r e q u ' i l s forment,

o

PROPOSITION. Il n ' y a p a s d ' i n v a r i a n t s y m é t r i q u e non nul s u r a , ni sur € .

C e l a r é s u l t e a i s é m e n t d e s t r o i s f a i t s s u i v a n t s : a) un p o l y n ô m e s u r a (ou 5 ) e s t d é t e r m i n é par s a r e s t r i c t i o n aux c h a m p s non n u l s à l ' o r i g i n e ; b) un champ non nul à l ' o r i g i n e e s t c o n j u g u é à une t r a n s l a t i o n ; c ) i l n ' y a p a s de polynôme non nul sur T = Q ou 6 i n v a r i a n t par G € ( T ) o u Sp(T) .

P a s s o n s d o n c a u x s o u s - a l g è b r e s d ' i s o t r o p i e b c Q et * c S d e s c h a m p s nuls à l ' o r i g i n e . S o i t G ( r e s p . S G ) le groupe de j e t s de d i f f é o -

m o r p h i s m e s ( r e s p . de d i f f é o m o r p h i s m e s s y m p l e c t i q u e s ) p r é s e r v a n t l ' o r i g i n e . Le j e t d'ordre 1

j : b - g l ( T ) - 0 S - «p(T) - 0

t r a n s f o r m e l ' a c t i o n de G sur b ( r e s p . de S G sur s ) e n l ' a c t i o n ( a d j o i n t e ) de G £ ( T ) sur gl(T) ( r e s p . de Sp(T) sur ôp(T)) . I l e n r é s u l t e une f l è c h e

j * : I^s(⁸l ( T ) ) - I^s( b ) I^sU p ( T ) ) - I^g( « )

qui e s t i n j e c t i v e ( l e s c o o r d o n n é e s l i n é a i r e s sur T f o u r n i s s e n t un i n v e r s e à droite i : ^?l ( T ) - b de j ) ; l e s a i g è b r e s d ' i n v a r i a n t s I g U U T ) ) e t I g U p ( T ) ) s o n t b i e n c o n n u e s : e l l e s s o n t l i b r e m e n t e n g e n d r é e s par l e s c o e f - f i c i e n t s du polynôme c a r a c t é r i s t i q u e s ( [ 1 0 ] , v o l . 2 , c h . X I I ) ( r e s p . par l e s coef- f i c i e n t s d ' i n d i c e p a i r , l e s a u t r e s é t a n t i d e n t i q u e m e n t n u l s ) .

PROPOSITION, j * : I g ( a K T ) - I^g( b ) e s t un i s o m o r p h i s m e .

Preuve : S o i t f ê I^e( b ) , f = J * ( f I i ( o l ( T ) ) ) , e t g = f - f qui

S O ^{1 0} o

e s t un i n v a r i a n t nul sur gl(T) c i » b . Nous a l l o n s voir que g(X) = 0 q u e l que s o i t X € b . S o i t r l ' o r d r e de g ( c ' e s t - à - d i r e : l'ordre du j e t dont il d é p e n d ) . Nous r a p p e l o n s que s i X € b , e t s i l e s v a l e u r s p r o - p r e s de jX 6 gl(T) , / s o n t t o u t e s d i s t i n c t e s e t é v i t e n t l e s r e l a t i o n s de d é p e n d a n c e sur TL

n

X, = a A . + . . . + a \ , a . 6 IN , L a , s r

1 1 1 n n 1 ¹ 1

( c e s r e l a t i o n s s o n t en nombre f i n i , e t s e r o n t d o n c é v i t é e s sur un ouvert d e Z a r i s k i w c g l ( T ) ) , a l o r s le c h a m p X e s t c o n j u g u é par G à un champ

l i n é a i r e X ' modulo un champ nul à T o r d r e r . S i d o n c jX € u ,

o n aura g(X) = g ( X ' ) = 0 : a i n s i g e s t i d e n t i q u e m e n t n u l l e sur j ^ ( f . ) , d o n c partout p u i s q u e c ' e s t un p o l y n ô m e .

A i n s i d o n c , r i e n de neuf sur I^c( b ) . M a i s l a s i t u a t i o n s y m p i e c t i q u e e s t plus r i c h e : le monomorphisme j * : Ig(*p) - I g ( * ) n ' e s t p a s s u r i e c t i f . La r a i s o n e n e s t q u ' u n c h a m p s y m p i e c t i q u e U nul à l ' o r i g i n e ne s e l a i s s e

l i n é a r i s e r que t r è s e x c e p t i o n n e l l e m e n t . Pour e x a m i n e r de p l u s p r è s c e p h é - n o m è n e , nous a l l o n s l e d é c a l e r sur l a f o n c t i o n g é n é r a t r i c e de U (U = g r a d u) . Conjuguer U à un c h a m p l i n é a i r e r e v i e n t e n e f f e t à c o n j u g u e r u à une forme q u a d r a t i q u e ; c ' e s t - à - d i r e à c h a n g e r de c o o r d o n n é e s c o n j u - g u é e s e n s o r t e que u s ' e x p r i m e comme une forme q u a d r a t i q u e ; c ' e s t - à - d i r e p o s e r à nouveau l a q u e s t i o n du lemme de M o r s e , m a i s e n s e r e s t r e i - g n a n t à d e s c h a n g e m e n t s de c o o r d o n n é e s s y m p l e c t i q u e s .

9 . LE LEMME DE M O R S E .

S o i t d o n c u € k [ [ T ] ] une f o n c t i o n f o r m e l l e , c r i t i q u e (et n u l l e ) à 2

l ' o r i g i n e (u € m ) , e t s o i t h s a h e s s i e n n e , c ' e s t - à - d i r e s a p r o j e c t i o n 2 3 2

d a n s m /m ^ S T* . Nous p o u v o n s faire l ' h y p o t h è s e g é n é r i q u e que h e s t non d é g é n é r é e (u e s t de M o r s e ) m a i s l e p r o b l è m e e s t b e a u c o u p plus

2

f i n . En e f f e t le g r a d i e n t i d e n t i f i e S T* e t ap(T) , c e qui introduit l e s

v a l e u r s propres de la h e s s i e n n e h . Pour a l l é g e r , j e v a i s s u p p o s e r l e c o r p s de b a s e k a l g é b r i q u e m e n t c l o s . L e s v a l e u r s p r o p r e s , comme on l e v o i t f a c i l e m e n t , vont par c o u p l e s o p p o s é s \ , , - X , , , - X⁰ X , - \

1 1 2 ^ m m

Une première h y p o t h è s e g é n é r i q u e n a t u r e l l e c o n s i s t e à l e s s u p p o s e r t o u t e s d i s t i n c t e s ; a l o r s h , c o n s i d é r é e comme o p é r a t e u r l i n é a i r e , s ' é c r i t d a n s d e s c o o r d o n n é e s c o n j u g u é e s c o n v e n a b l e s

h =

L

x 1 1 dp. ^Fi àq.

et c o n s i d é r é e comme forme q u a d r a t i q u e , m

h = L X . p . q . . 1 ^{1 1 1}

C e l a d i t , le t h é o r è m e s u i v a n t remonte à Birkhoff ( [ 9 ] , § 3 0 ) . 2

THEOREME. S o i t u S m . S u p p o s o n s l e s v a l e u r s propres

r , ± \ de l a h e s s i e n n e de u d i s t i n c t e s , e t l i b r e s de t o u t e r e l a t i o n 1 n

l i n é a i r e e n t i è r e

m m L \ⁱ( c xⁱ- 3ⁱ) = 0 a v e c a . , g . € IN , L ( a . + S . ) s 2r .

Il e x i s t e a l o r s un s y s t è m e de c o o r d o n n é e s f o r m e l l e s c o n j u g u é e s , p , q^ , t e l l e s que d a n s c e s c o o r d o n n é e s ,

u = F ( P¹Q¹ / P⁰q⁰, • • • / P ^ Q ) modulo m^{2 r + 1} . 1 1 2 2 m m

Un t e l s y s t è m e de c o o r d o n n é e s n ' e s t p a s u n i g u e , m a i s l e s f o n c t i o n s h. = p.q. s o n t c a n o n i g u e m e n t a t t a c h é e s à u e t à l a s t r u c t u r e s y m p l e c t i -

1 1 1 2 r + l

q u e , modulo m , e t , modulo l'ordre e t le s i g n e d e s h. .

La f o n c t i o n F e s t d o n c c a n o n i q u e m e n t a t t a c h é e à u , modulo *n^r e t modulo l'ordre e t le s i g n e de s e s a r g u m e n t s . Noter que l a c o n d i t i o n s u r l e s v a l e u r s p r o p r e s , pour r f i x é , e s t r é a l i s é e sur un ouvert de Z a r i s k i d e

2 #

S T . (Si par c o n t r e , on p a s s e à la l i m i t e r = » , la c o n d i t i o n d e v i e n t l ' i n d é p e n d a n c e sur Z d e s \ . , c o n d i t i o n qui n ' e s t plus g é n é r i q u e d a n s un s e n s a u s s i s a i n ) .

C o n s i d é r o n s le d é v e l o p p e m e n t de la f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e F : m

F( h h

) = L

+ L

1 m 1 ^{1 1} Y € I N^{m Y}

2

I l s ' a v è r e que l e s c (qui s o n t d e s i n v a r i a n t s sur M par S G , d é f i n i s V

s u r un ouvert g é n é r i q u e , de p o i d s 1) s ' e x p r i m e n t comme d e s q u o t i e n t s

N ( u ) / D (u) d'un numérateur N (u) , qui e s t p o l y n o m i a l e n l e s c o e f f i c i e n t s

^ > Y

d e u d'ordre > 2 , e t e n l e s v a l e u r s propres \ de l a h e s s i e n n e ; par un d é n o m i n a t e u r D (u) qui e s t un polynôme S p ( T ) - i n v a r i a n t e n l a h e s - s i e n n e de u (c (u) a pour d o m a i n e de d é f i n i t i o n l ' o u v e r t D T 0 ) .

\ V N a t u r e l l e m e n t , c (u) e t N (u) ne s o n t c a n o n i q u e s que modulo l ' a c t i o n

Y Y

du groupe W qui permute e t c h a n g e de s i g n e l e s (donc l e s h.) : c ' e s t le groupe de W e y l de Sp(T) , é v i d e m m e n t , e t c ' e s t a u s s i le groupe d e G a l o i s de l ' é q u a t i o n aux v a l e u r s propres de l a h e s s i e n n e h € *o(T) . En d ' a u t r e s t e r m e s , l e s N (u) d é p e n d e n t a l g é b r i q u e m e n t de la h e s s i e n n e d e u , et p o l y n o m i a l e m e n t du r e s t e du d é v e l o p p e m e n t . Il r é s u l t e du t h é o -

2

r è m e de Birkhoff que t o u t i n v a r i a n t sur « = m , d ' o r d r e f i n i , a l g é b r i q u e e n la h e s s i e n n e e t p o l y n o m i a l ( r e s p . r a t i o n n e l ) e n le r e s t e du d é v e l o p p e -

ment s ' e x p r i m e de f a ç o n unique à l ' a i d e d e s Ny ( r e s p . d e s c j . On o b t i e n d r a d o n c l e s i n v a r i a n t s p o l y n o m i a u x sur e n formant d e s e x p r e s - s i o n s p o l y n o m i a l e s W - i n v a r i a n t e s e n l e s : i l e s t m a n i f e s t e q u ' o n d é b o r - d e largement l ' i m a g e j * ( I^cU p ) ) . M a l h e u r e u s e m e n t , i l p a r a î t l a b o r i e u x de

o

p r é c i s e r le d e g r é d e s d é n o m i n a t e u r s , d o n c d e s N^ , e t d o n c d e s é l é m e n t s de I g U ) \ j * ( I g U p ) ) ; d a n s l ' a t t e n t e d ' a p p l i c a t i o n s i n t é r e s s a n t e s , l a q u e s t i o n ne m ' a p a s s e m b l é mériter trop d ' a t t e n t i o n .

R E F E R E N C E S .

[ 1 ] C . GODBILLON, C o h o m o l o g i e d ' a l g è b r e s de Lie de c h a m p s d e v e c t e u r s f o r m e l s ; s é m i n a i r e Bourbaki n ° 4 2 1 ( 1 9 7 2 - 7 3 ) .

[ 2 ] J . VEY , Sur l a c o h o m o l o g i e d e s c h a m p s de v e c t e u r s s y m p l e c t i q u e s f o r - m e l s ; C . R . A . S . t . 2 8 0 (24 mars 1 9 7 5 ) p . 8 0 5 .

[ 3 ] V . I . ROSENFELD, C o h o m o l o g y of s o m e i n f i n i t e d i m e n s i o n a l L i e a l g e b r a s ; F u n k t i o n a l A n a l i s i s i e g o p r i l o j e n i a , v o l . 5 , n ° 4 ,

p . 8 4 5 ( 1 9 7 1 ) .

[ 4 ] I . M . GELFAND, D . I . KALININ, D . B . FUKS , C o h o m o l o g y o f t h e L i e a l g e b r a of h a m i l t o n i a n v e c t o r f i e l d s ; i b i d e m , v o l . 6 , n ° 3 , p p . 2 5 - 2 9 ( 1 9 7 2 ) .

[ 5 ] H. WEYL, C l a s s i c a l G r o u p s , P r i n c e t o n 1 9 4 6 .

[ 6 ] T h . VUST, Sur l a t h é o r i e d e s i n v a r i a n t s d e s g r o u p e s c l a s s i q u e s ; A n n a l e s de l ' I n s t i t u t F o u r i e r , t . 2 6 , f a s c . 1 ( 1 9 7 6 ) . [ 7 ] J . PERCHIK , C o h o m o l o g y of h a m i l t o n i a n and r e l a t e d formal v e c t o r

f i e l d L i e a l g e b r a s ; à p a r a î t r e d a n s T o p o l o g y . [8] J. VEY , Déformation du crochet de Poisson sur une variété symplec-

tique ; Commentarii Mathematici Helvetici, vol.5 0 (1975) p . 4 2 1 S .

[ 9 ] C . SIEGEL e t J . MOSER , L e c t u r e s on C e l e s t i a l M e c h a n i c s , S p r i n g e r 1 9 7 1 .

[ 1 0 ] KOBAYASHI e t NOMIZU , F o u n d a t i o n s o f D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y .

J a c q u e s VEY

C e n t r e U n i v e r s i t a i r e de S a v o i e

e t L a b o r a t o i r e de M a t h é m a t i q u e s P u r e s ( a s s o c i é au C . N . R . S . ) BP 116

3 8 4 0 2 - S T MARTIN D'HERES