Exercice II.

MPSI B DM 13 24 avril 2020

Exercice I.

Dans cet exercice,E est unR-espace vectoriel de dimension 3, f un endomorphisme de E tel que :

f³=O_L(E) 1. Casf =O_L(E).

Quelle est la matrice def dans une base U quelconque de E? 2. Casf 6=O_L(E),f²=O_L(E).

a. Montrer que le noyau def est de dimension 2.

b. Montrer qu'il existe une baseU deE telle que MatU f =





0 0 0 0 0 1 0 0 0





3. Casf²6=O_L(E).

Montrer qu'il existe une baseU deE telle que MatU f =





0 1 0 0 0 1 0 0 0





Exercice II.

SoitE= (e1, e2, e3)une base d'un R-espace vectorielE. On dénit trois vecteurs a1,a2, a3 deEpar :







a1=e1+e2+e3

a2=e1+e3

a₃=−e1+e₂+ 2e₃ 1. Montrer que

A= (a1, a2, a3),A1= (e1, a2, a3),A2= (a1, e2, a3) sont des bases. Préciser les matrices de passage

PAE, PA₁E, PA₂E

2. On notep1le projecteur surVect(e2, e3)parallèlement àVect(e1). Calculer : Mat

E p₁, Mat

A p₁, Mat

EA p₁, Mat

AE p₁

3. On notep2 le projecteur surVect(e2, e3)parallèlement àVect(a1). Calculer : Mat

E p₂, Mat

A p₂, Mat

EA p₂, Mat

AE p₂

Exercice III.

SoitE unR-espace vectoriel de dimension nie,U et V deux bases deE, la matrice de changement de base deU versV est notéeP.

Soitf un endomorphisme deE, exprimerMat

VU f en fonction deP et deMat

U V f.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0713E