MPSI B Année 2006-2007 : DS 8 24 avril 2020
Exercice I.
Dans cet exercice,E est unR-espace vectoriel de dimension 3, f un endomorphisme de E tel que :
f3=OL(E) 1. Casf =OL(E).
Quelle est la matrice def dans une base U quelconque de E? 2. Casf 6=OL(E),f2=OL(E).
a. Montrer que le noyau def est de dimension 2.
b. Montrer qu'il existe une baseU deE telle que MatU f =
0 0 0 0 0 1 0 0 0
3. Casf26=OL(E).
Montrer qu'il existe une baseU deE telle que MatU f =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
Exercice II.
SoitE= (e1, e2, e3)une base d'un R-espace vectorielE. On dénit trois vecteurs a1,a2, a3 deEpar :
a1=e1+e2+e3
a2=e1+e3
a3=−e1+e2+ 2e3 1. Montrer que
A= (a1, a2, a3),A1= (e1, a2, a3),A2= (a1, e2, a3) sont des bases. Préciser les matrices de passage
PAE, PA1E, PA2E
2. On notep1le projecteur surVect(e2, e3)parallèlement àVect(e1). Calculer : Mat
E p1, Mat
A p1, Mat
EA p1, Mat
AE p1
3. On notep2 le projecteur surVect(e2, e3)parallèlement àVect(a1). Calculer : Mat
E p2, Mat
A p2, Mat
EA p2, Mat
AE p2
Exercice III.
SoitE unR-espace vectoriel de dimension nie,U et V deux bases deE, la matrice de changement de base deU versV est notéeP.
Soitf un endomorphisme deE, exprimerMat
VU f en fonction deP et deMat
U V f.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S0608E
