16 Lois exponentielles et lois normales
C H A P I T R E
L’ampoule de Livermore ou Livermore Centennial Light Bulb, est une am- poule ´electrique d’une puissance de quatre watts, qui brillerait depuis 1901.
Elle serait ainsi la plus vieille lampe encore en fonctionnement au monde.
Install´ee dans la caserne des pompiers de Livermore en Californie, elle n’a presque jamais ´et´e ´eteinte. La dur´ee de vie des produits manufactur´es est l’objet d’´etudes et d´ebats. L’obsol`ecence programm´ee, per¸cue ou r´eelle, sont sources de pol´emiques.
Lois exponentielles
1
Une loi exponentielle mod´elise la dur´ee de vie d’un ph´enom`ene sans m´emoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilit´e que le ph´enom`ene dure au moins s+t heures sachant qu’il a d´ej`a dur´e t heures sera la mˆeme que la probabilit´e de durer s heures `a partir de sa mise en fonction initiale. En d’autres termes, le fait que le ph´enom`ene ait dur´e pendant t heures ne change rien `a son esp´erance de vie `a partir du temps t. http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_exponentielle
Soitλun r´eel strictement positif.
La fonctionf d´efinie surRpar f(x) =
λe−λx six∈[0; +∞[
0 sinon
est une densit´e de probabilit´e.
y
x λ
Propri´et´e 1
Rappel :Une fonctionf d´efinie surI est appel´ee fonction densit´e, ou densit´e, si :
• f est positive, pour tout r´eel xdeI,f(x)>0 ;
• f est continue surI sauf ´eventuellement en un nombre fini de points.
• L’aire du domaineD, d´elimit´ee sous la courbeCf dans un rep`ere orthogonal et l’axe des abscisses est ´egale `a 1 (c-`a-d
Z
I
f(x)dx= 1).
• On ´etend cette d´efinition au cas o`u l’intervalleI est l’ensemble des r´eelsR Soitλun r´eel strictement positif etX une variable al´eatoire r´eelle.
On dit queX suit la loi exponentielle de param`etreλlorsqueX est `a valeurs dans [0; +∞[ et suit la loi `a densit´e continuef d´efinie surRpar :
f(x) =
λe−λxsix∈[0; +∞[
0 sinon D´efinition 1
La fonction de r´epartition d’une variable al´eatoireX qui suit une loi exponentielle de param`etreλest la fonctionF d´efinie surRpar
F(x) =P(X < x) = Z x
0
f(t)dt=
1−e−λx six∈[0; +∞[
0 sinon .
Th´eor`eme 1
Cons´equences :Soita,bet ctrois r´eels positifs aveca6bon a :
• P(X >c) = 1−P(X < c) = 1−(1−e−λc) = e−λc
• P(a6X 6b) = Z b
a
f(t)dt=−e−λb−(−e−λa) = e−λa−e−λb
3 Chapitre 16. Lois exponentielles et lois normales
Esp´erance
L’esp´erance d’une d’une variable al´eatoire X qui suit une loi exponentielle de param`etreλest : E(x) = 1
λ Propri´et´e 2
D´emonstration.On sait queE(X) = lim
x→+∞
Z t
0
t×λe−λtdt
Pour calculer cette int´egrale on doit r´eussir `a d´eterminer une primitive de la fonction g d´efinie sur [0; +∞[ parg(t) =λ×te−λt.
On suppose qu’une primitive degsera de la formeG(t) = (at+b)e−λtavecaetbdeux r´eels `a d´eterminer.
On d´eriveGon obtientG0(t) =ae−λt+ (at+b)(−λe−λt) soit
G0(t) = (−λat−λb+a)e−λtorG0(t) =g(t) =λ×te−λtpour toutt >0 On en d´eduit par identification que :
(−λa=λ a−λb= 0
soita=−1 etb=−1 λ.
Maintenant qu’on a une primitive de la fonctiong on peut ´ecrire : Z x
0
t×λe−λtdt=
(−t−1 λ)e−λt
x
0
= (−x−1
λ)e−λx+1 λ
Or lorsque lim
x→+∞(−x−1
λ)e−λx= 0 et donc E(X) = lim
x→+∞
Z t
0
t×λe−λtdt= 1 λ.
Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans [0; +∞[ qui suit une loi `a densit´e continue. On dit que X suit une loi de dur´ee de vie sans vieillissement ou sans m´emoire lorsque : pour tous r´eelstethstrictement positifs tels queP(X > t)6= 0, PX<t(X > t+h) =P(X > h).
D´efinition 2
SoitX une variable al´eatoire qui suit une loi `a densit´e continue.
Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
1. X suit une loi exponentielle de param`etreλ.
2. X suit une loi de dur´ee de vie sans vieillissement.
Propri´et´e 3
Lois normales cas g´ en´ eral
2
Dire qu’une variable al´eatoireX suit une loi normale deN (µ, σ2) signifie que la variable al´eatoireT =X−µ
σ suit la loi normale centr´ee r´eduiteN (0,1).
D´efinition 3
La densit´e associ´ee `a la variable al´eatoireX est une fonction de densit´e dont l’expres- 3
sion est similaire `a celle de la loi normale centr´ee r´eduite.
Soit une variable al´eatoireX suivantt une loi normale deN (µ, σ2) a pour fonction de densit´e
la fonctionf d´efinie surRparf(x) = 1
√
2πe−(x−µ)2σ Propri´et´e 4
Ci-dessous la repr´esentation d’une loi normaleN (2.5,0.52)
0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0 1 2 3 4 5
Remarque.On remarque que la courbe en cloche admet un axe de sym´etrie x=µ, en effet pour toutx∈Ron af(x−µ) =f(x+µ).
Soit une variable al´eatoireX suivant une loi normale deN (µ, σ2), on a :
• P(µ−σ6X6µ+σ) est approximativement ´egale `a 0,68
µ−σ µ µ+σ 68%
• P(µ−2σ6X 6µ+ 2σ) est approximativement ´egale `a 0,95
µ−2σ µ µ+ 2σ
95%
• P(µ−3σ6X 6µ+ 3σ) est approximativement ´egale `a 0,99.
µ−3σ µ µ+ 3σ
99%
Propri´et´e 5
