I ETUDE D' UNE FONCTION RATIONNELLE.
1°) Etude des limites aux bornes du domaine de définition .
En utilisant les limites de la fonction inverse aux bornes de son domaine de définition : Lorsque x tend vers - ∞ et vers +∞ f(x) tend vers 2 car
x
1 tend vers zéro. Soit lim f = 2 ∞
Lorsque x tend vers zéro par valeurs inférieures ou supérieures f(x) tend vers l’infini car x 1 tend
Vers -∞ et +∞ ( respectivement ) soit limf = +∞ et limf = -∞
0- 0+
2°) On en déduit que les droites ( D1 ) et ( D2 ) d'équation respective x = 0 et y = 2 sont des droites asymptotes verticale et horizontale respectivement.
3°) a) Pour x , nombre réel non nul on a f ’ ( x ) = = - ( - x
1 2 ) = 2
1 x
Remarques : Eviter des calculs en utilisant la formule donnant la fonction dérivée de v
u et utiliser la formule du cours donnant la fonction dérivée de la fonction de référence INVERSE !
b) Il en résulte que pour nombre réel non nul f ' ( x ) > 0.
c) Le tableau des variations de f en découle :
x -∞ 0 +∞
f’ (x) + + f( x ) + ∞
2
2 -∞
II ETUDE D'UNE SUITE DU TYPE Un+1 = f ( Un ).
1°) U est définie de proche en proche par la connaissance de U0 de U1 = f ( U0) ;U2 = f ( U1 )...Un+1 = f ( Un ).
De l'existence de U1 découle celle des Un . L'existence de U1 est établie pour toute valeur deU0 non nul.
U est parfaitement définie pour U0 ≠ 0.
