CONTROLE N°1 CORRIGE EX 1 1°) U

CONTROLE N°1 CORRIGE EX 1

1°) U0 = -2 U1 = 1 U2 = 8/5 2°) a)Pour tout entier n de N:

Un+1 – Un = ^!"#$_%"#$ - !"&%

%"#' = (!"#$)(%"#')&(%"#$)(!"&%)

(%"#$)( %"#') = ^'+"!#''"#$&'+"^!&''"#,

(%"#$)( %"#') = (%"#$)( %"#')^-

b) Comme (%"#$)( %"#')^- > 0 pour tout entier n de N alors Un+1 – Un > 0 pour tout entier n de N. On en déduit que la suite est strictement croissante .

3°) Pour tout entier n de N

Un – ^!_% = !"&%

%"#' - ^!_% = (%)(!"&%)&(%"#')(!)

%( %"#') = %( %"#')^&-

Soit Un – ^!_% <0 pour tout entier n de N càd Un< ^!_% pour tout n de N et (Un) est majorée par 5/2.

4°) (Un) est strictement croissante et elle est majorée par ^!_% donc , d’après le théorème de convergence monotone , elle converge.

Ex 2 Partie A 1°) lim

"→#/𝑛^% = + ∞ et lim

"→#/𝑛 + 10 = + ∞ donc par somme lim

"→#/𝑈_"= + ∞

2°) lim

"→#/3𝑛⁰ = + ∞ et lim

"→#/ _"^'+_"^%_! = 0 donc par somme lim

"→#/𝑉_"= + ∞

3°) ^"!&%"#1 0"^"&' = ^'&

!

## _#!^$

"(0& _#"^%)

comme lim

"→#/ _"^'_" = 0 alors lim

"→#/ 4 −_"^'_" = 4 par somme et par produit lim

"→#/𝑛 /4 − _"^'_"0 = +∞

comme lim

"→#/ - _"^% = 0 et comme lim

"→#/ _"¹_! = 0 alors par somme lim

"→#/ 1 −^%_"+ _"¹_! =1.

4°) 3ⁿ – 4ⁿ = 4ⁿ ( ^$₀^#_# - 1 ) = 4ⁿ (/^$₀0^"- 1 )

"→#/lim /^$₀0^"= 0 car -1 < ^$₀<1 donc par somme lim

"→#//^$₀0^"− 1= -1 𝑒𝑡 lim

"→#/4^" = + ∞ donc par produit lim

"→#/3^" − 4^" = − ∞

Donc finalement par quotient

"→#/lim

"^!&%"#1 0"^"&' = 0

Ex 3

1°) Pour tout entier naturel n de N -1 ≤ cos (𝑛) ≤ 1 soit comme n ≥0

-n ≤ 𝑛cos (𝑛) ≤ n puis comme 2𝑛^%+ 1 > 0 on a

&"

%"^!# ' ≤ "234 (")

%"^!# ' ≤ _%"!^"_{# '} soit finalement 3 - _%"!^"_{# '} ≤ Un ≤ 3 + _%"!^"_{# '} 2°) _%"!^"_{# '} = ^'

"(%# _#!^%)

comme lim

"→#/ _"^'_! = 0 alors lim

"→#/ 2 +_"^'_! = 2 par somme et par produit lim

"→#/𝑛 /2 + ^'

"^!0 = +∞

On en déduit que lim

"→#/

"

%"^!# ' = 0 par quotient D’où lim

"→#/3 − _%"!^"_{# '} = 3 et lim

"→#/3 + _%"!^"_{# '} = 3 . D’après le théorème des gendarmes

"→#/lim 𝑈_" = 3 .

Ex 3

La suite (Un) est la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de raison ^$_! et de premier terme U0 =1 d’où

Un= 1 + ^$_! + … + /^$_!0^"= ^'&5

"

&6^#'%

'& ^"_& = ^!_% <1 − /^$_!0^"#'= Or

"→#/lim /^$_!0^"= 0 car -1 < ^$_!<1 donc par somme lim

"→#/1 − /^$_!0^"= 1 Soit par produit lim

"→#/ Un= ^!_% Ex 4

c) def ran() : u=1000 n= 0

while u<=30000 : u =1.2*u – 100 n=n+1

return n