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CONTROLE N°1 CORRIGE EX 1 1°) U

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Academic year: 2022

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(1)

CONTROLE N°1 CORRIGE EX 1

1°) U0 = -2 U1 = 1 U2 = 8/5 2°) a)Pour tout entier n de N:

Un+1 – Un = !"#$%"#$ - !"&%

%"#' = (!"#$)(%"#')&(%"#$)(!"&%)

(%"#$)( %"#') = '+"!#''"#$&'+"!&''"#,

(%"#$)( %"#') = (%"#$)( %"#')-

b) Comme (%"#$)( %"#')- > 0 pour tout entier n de N alors Un+1 – Un > 0 pour tout entier n de N. On en déduit que la suite est strictement croissante .

3°) Pour tout entier n de N

Un!% = !"&%

%"#' - !% = (%)(!"&%)&(%"#')(!)

%( %"#') = %( %"#')&-

Soit Un!% <0 pour tout entier n de N càd Un< !% pour tout n de N et (Un) est majorée par 5/2.

4°) (Un) est strictement croissante et elle est majorée par !% donc , d’après le théorème de convergence monotone , elle converge.

Ex 2 Partie A 1°) lim

"→#/𝑛% = + ∞ et lim

"→#/𝑛 + 10 = + ∞ donc par somme lim

"→#/𝑈"= + ∞

2°) lim

"→#/3𝑛0 = + ∞ et lim

"→#/ "'+"%! = 0 donc par somme lim

"→#/𝑉"= + ∞

3°) "!&%"#1 0""&' = '&

!

## #!$

"(0& #"%)

comme lim

"→#/ "'" = 0 alors lim

"→#/ 4 −"'" = 4 par somme et par produit lim

"→#/𝑛 /4 − "'"0 = +∞

comme lim

"→#/ - "% = 0 et comme lim

"→#/ "1! = 0 alors par somme lim

"→#/ 1 −%"+ "1! =1.

4°) 3n – 4n = 4n ( $0## - 1 ) = 4n (/$00"- 1 )

"→#/lim /$00"= 0 car -1 < $0<1 donc par somme lim

"→#//$00"− 1= -1 𝑒𝑡 lim

"→#/4" = + ∞ donc par produit lim

"→#/3" − 4" = − ∞

Donc finalement par quotient

"→#/lim

"!&%"#1 0""&' = 0

(2)

Ex 3

1°) Pour tout entier naturel n de N -1 ≤ cos (𝑛) ≤ 1 soit comme n ≥0

-n ≤ 𝑛cos (𝑛) ≤ n puis comme 2𝑛%+ 1 > 0 on a

&"

%"!# ' "234 (")

%"!# '%"!"# ' soit finalement 3 - %"!"# ' ≤ Un ≤ 3 + %"!"# ' 2°) %"!"# ' = '

"(%# #!%)

comme lim

"→#/ "'! = 0 alors lim

"→#/ 2 +"'! = 2 par somme et par produit lim

"→#/𝑛 /2 + '

"!0 = +∞

On en déduit que lim

"→#/

"

%"!# ' = 0 par quotient D’où lim

"→#/3 − %"!"# ' = 3 et lim

"→#/3 + %"!"# ' = 3 . D’après le théorème des gendarmes

"→#/lim 𝑈" = 3 .

Ex 3

La suite (Un) est la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de raison $! et de premier terme U0 =1 d’où

Un= 1 + $! + … + /$!0"= '&5

"

&6#'%

'& "& = !% <1 − /$!0"#'= Or

"→#/lim /$!0"= 0 car -1 < $!<1 donc par somme lim

"→#/1 − /$!0"= 1 Soit par produit lim

"→#/ Un= !% Ex 4

(3)

c) def ran() : u=1000 n= 0

while u<=30000 : u =1.2*u – 100 n=n+1

return n

(4)

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