BTS-BLANC-MATHEMATIQUES

SESSION MARS 2009

BREVET DE TECHNITIEN SUPERIEUR

GENIE OPTIQUE

MATHÉMATIQUES

Le sujet comprend 6 pages, numérotées de 1 à 6 . Le formulaire officiel de mathématiques est autorisé

Il comprend 7 pages numérotés de 1 à 7

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Matériel autorisé :

L’usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

Les candidats doivent traiter les trois exercices .

DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 heures

Exercice 1 BTS -Novembre 2008 –Nouvelle - Calédonie -8 points

On s’intéresse à un système entrée-sortie.

Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deux entrées différentes.

Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

Partie A

On considère l’équation différentielle

 

E1 suivante : y t"( ) 4 ( ) 8 y t 

 

E1

où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle ^t.

1. a. Donner la solution particulière constante de l’équation différentielle

 

E1 .

b. Déterminer la solution générale de l’équation

 

E1 .

2. Montrer que la fonction ^f , solution de l’équation différentielle

 

E1 et qui vérifie :

^{f(0) 0} et ^{f '(0) 0} est définie surRpar : f t( ) 2 1 cos 2  

 

t .

Partie B

On rappelle que la fonction échelon unitéU est définie par : ( ) 0 0

( ) 1 0

t si t

t si t

 

  

 U U

Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ^{] ;0[}. On considère la fonction e définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

^{e t( ) 8}



^{U( )t U(t / 2)U(t  ) U(t 3 / 2}



On considère la fonction causale g qui vérifie les conditions^{g(0) 0} et ^{g'(0) 0} , ainsi que la relation

 

E2 suivante : y t"( ) 4 ( ) y t e t( )

 

E2

On admet que la fonction ^gpossède une transformée de Laplace notée G. 1. a. Représenter la fonction esur l’intervalle ^{[0; 2 ]} .

b. On appelle E la transformée de Laplace de la fonction e. Déterminer E p( ).

2. a. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation

 

E2 , montrer que :

2



^{/ 2 3 / 2}



( ) 8 1

( 4)

p p p

G p e e e

p p

     

   



b. Vérifier que la fonction h définie sur R par h t( ) 2 1 cos 2  

 

t U( )t a pour transformée de Laplace

la fonction H définie par : ₂8

( ) ( 4)

H p  p p



c. Donner une expression de la fonction g , en utilisant éventuellement la fonction h.

3.

a. On donne les expressions de g t( ) sur les intervalles ^{[ / 2 ; [ } et ^{[3 / 2 ; [} ( ) 4cos(2 ) [ / 2 ; [

( ) 8cos(2 ) [3 / 2 ; [

g t t si t

g t t si t

    

     

 ・

Donner des expressions similaires de g t( )pour les intervalles ^{[0 ; / 2[} et ^{[ ;3 / 2[ } .

b. On a représenté sur l’annexe, à rendre avec la copie la fonction gsur les intervalles

^{[ / 2 ; [ } et ^{[3 / 2 ; [}

Compléter le graphique en traçant la représentation graphique de g sur les intervalles ^{[0 ; / 2[} et ^{[ ;3 / 2[ } .

Exercice 2-bts-2003 ( 8 points) Partie A.

Pour tout entier naturel n , on considère les intégrales :

/ 2cos( )

In ^ nx dx





 et ^{/ 2}

0 cos( ) Jn 



^ x nx dx^. 1°. Montrer que ^1sin

n n2

I n



 .

2°. à l’aide d’une intégration par parties , montrer que ^{sin 1}₂ ^{cos 1}₂

2 2 2

n n n

J n n n

 _ _{ }  _

    

3°. Déterminer ^{I I et I}₁^; _{2 3}, puis ^J₁^{;J et J}_{2 3} Partie B.

Soit f la fonction numérique définie surR, paire, périodique de période ^2 telle que :

( ) 2 0

2

( ) 2

f t Et si t

f t E si t





 

   



   



où E est un nombre réel donné, strictement positif.

1°. Tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle^_^{ ;3 }_ . ( on prendra E = 2 uniquement pour construire la courbe représentant f ).

2°. Soita₀et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,a_netb_nles coefficients de Fourier associés f .

a. Calculer a0 _.

b. Pour tout n1, donner la valeur de b_{n .}

c. En utilisant la partie A, vérifier que pour tout ⁿ¹, 2

 

2 2

n n n

a E J I

   .

Partie C

1°. Déterminer les coefficients a , ₁ a , ₂ a .3

2°. Calculer _F², carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période.

On rappelle que dans le cas où f est paire, périodique de période T, on a:

² 2 ² 0

2 ( )

T

F f t dt

T



3°. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

2 2

2 2

0

1 2

n n

n

a b

F a ^



 





Soit P le nombre défini par ^{P a 021}₂



^{a12a22a32}



^.

Calculer P , puis donner la valeur décimale au millième du P₂ F .

Ce dernier résultat très proche de 1 justifie que dans la pratique , on peut négliger les harmoniques d’ordre supérieur à 3.

Exercice 3 – ( 4 points)

Soient et deux nombres réels.

Soit f une fonction périodique de période 1, définie sur l'intervalle [0 ;1[ _par f t( )t _. On appelle a₀, an_et b_n les coefficients de Fourier associés à la fonction f.

1. Montrer que ₀

a  2  . 2. Montrer que b_n

n





  pour tout nombre entier naturel n non nul.

On admet que a0 0 pour tout entier naturel n non nul.

3. On se propose de déterminer les nombres réels _etpour que le développement S en série de Fourier de la fonction f soit défini pour tout nombre réel t par

 

1

( ) 1sin 2

n

S t nt

n 









^.

a. Déterminer les nombres réelsettels que a₀ 0 _etb_n ¹

 n. En déduire l'expression de la fonction f .

b. Représenter la fonction f sur l'intervalle [2 ; 2] dans un repère orthogonal.

Nom : ……… Prénom : ………

Annexe exercice 1 Partie B

1.a

 3/2 2

-/2 -

-3/2

8

-4

-8

0 /2

4

x y

3.b

 3/2 2

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

0 /2

1

x y

Annexe exercice 2 Partie B

1.

 3/2 2 5/2 3 -/2

-

2

-1

-2

0 /2 1

x y

Annexe Exercice 3

2 3 4

-1 -2

-3 -4



-/2

-

0 1

/2

x y

Correction exercice 1

1. Soit ^{y t( )c}, donc ^{y t'( )y t"( ) 0} et on trouve ^c2, donc ^{y t( ) 2} est une solution particulière

de

 

E1 ( vérification immédiate ).y t"( ) 4 ( ) 0 y t  a pour équation caractéristique r² 4 0 qui a deux solutions imaginaires pures ^{r 0 2j},



^{r  j}



. Le formulaire indique comme solution de la forme ^{y t( )et}



^Acos

 

^{t bsin}

 

^



. Ici on a : ^{ 0} et ^{ 2} . Les solutions de

 

E0 sont de la forme ^{y t( )Acos(2 )t Bsin(2 )t} et la solution générale de

 

E1 est ^{f t( ) 2 Acos(2 )t Bsin(2 )t}

2.a ^{f(0) 0} signifie ^{f(0) 2 Acos(0)Bsin(0) 2 A} , donc A2.

f t^{'( )} 2 sin(2 ) 2 cos(2 )A t  B t , f ^'(0) 2 sin(0) 2 cos(0) 2A  B  B0, donc B0

la fonction^f , solution de l’équation différentielle

 

E1 est définie surRpar : f t( ) 2 1 cos 2  

 

t . Partie B

1.a.

t  0 / 2  3 / 2 

8 ( )U t 0 8 8 8 8

8 (t / 2)

 U   0 0 8 8 8

8 (U t ) 0 0 0 8 8

8 (t 3 / 2)

 U   0 0 0 0 8

( )

e t 0 8 0 8 0

Représentation graphique

^{-/2  3/2}

8

0 /2

4

x y

1.b ^{L ( ( ))e t L}



⁸



^{U ( )t U (t / 2)U (t  ) U (t 3 / 2)}

 

 

       

( ( )) 8 ( ) ( / 2) ( ) ( 3 / 2)

( ( )) 8 ( ) ( / 2) ( ) ( 3 / 2)

e t t t t t

e t t t t t

         

           

L L

L L L L L

U U U

U U U U

U

On sait d’après le formulaire :



^{( )t}



¹

 p

L U ;



^{(t / 2)}



^{1e p / 2}

p

    

L U ;



^{(t )}



^{1e p}

p

    

L U et



^{(t 3 / 2)}



^{1e 3p / 2}

p

    

L U . On déduit que : 8 ^{/ 2 3 / 2}

( ( ))e t 1 e ^p e ^p e ^p p

     

 

     

L .

2. a . g t"( ) 4 ( ) g t e t( ), donc on a : L



g t"( ) 4 ( ) g t



L

 

e t( )

^L



^{g t"( )}



^{ p G p2 ( )pg'(0)g(0) p G p2 ( )( g(0) 0 et g'(0) 0 )}

Par linéarité on a : L



g t"( ) 4 ( ) g t



L



g t"( ) 4 ( ) g t



L



g t"( )



4L



g t( )



L

 

e t( ) Et par conséquent p G p² ( ) 4 5 ) G p E p( ),d’où ^{( )} ₂^{( )}

4 G p E p

 p

 . Et enfin^{G p( ) p p}



^824



^{1e p / 2e p e 3p / 2}

2.b . h t( ) 2 1 cos 2  

 

t U ( )t , donc par linéarité de la transf0rmée de Laplace , on obtient

L



h t^{( )}



L



^{2 1 cos 2} 

 

t U ^{( )}t



²L

^

U ^{( )}t

^

²L

^

cos(2 ) ( )t U t

^

. Or d’après le formulaire On a :



^{( )t}



¹

 p

L U et



^{cos( ) ( )t t}



₂ ^p ₂

  p

L U   , donc



cos(2 ) ( )



₂

4 t t p

 p

L U 

On obtient :

 

   

2 2

2 2 2

2 4 2

2 2 8

( ) 4 4 4

p p

H p p

p p p p p p

     

   .

Autre méthode en effectuant le calcul à l’envers.

2.c.^{G p( ) p p}



^824



^{1e p / 2e p e 3p / 2}

^{G p( ) p p}



^824

 

^{ p p824}



^{e p / 2 p p}



^824



^{e p  p p}



^{82 4}



^{e 3p / 2}

Donc ^{g t( )h t( )h t}



^{ / 2}



^{h t(   ) h t(  3 / 2)}. Or h t( ) 2 1 cos 2  

 

t U ( )t

 

  ^{   }

( / 2) 2 1 cos 2 / 2 ( / 2) 2 1 cos 2 ( / 2) 2 1 cos 2 ( / 2)

h t     t  U t     t  U t     t U t 

 

     

( ) 2 1 cos 2 ( ) 2 1 cos 2 2 ( ) 2 1 cos 2 ( )

h t     t  U t     t  U t     t U t 

 

  ^{ }

 

( 3 / 2) 2 1 cos 2 3 / 2 ( 3 / 2) 2 1 cos 2 3 ( 3 / 2)

( 3 / 2) 2 1 cos 2 ( 3 / 2)

h t t t t t

h t t t

 

                 

       

U U

U

       

( ) 2 1 cos 2 ( ) 2 1 cos 2 ( / 2) 2 1 cos 2 ( ) 2 1 cos 2 ( 3 / 2) g t    t U t    t U t     t U t     t U t 

t  0

2

 ^ 3

2

 ^

( )

h t 0 ^{2 2 cos 2t 2 2cos 2t 2 2 cos 2t 2 2cos 2t}

( / 2)

h t  0 0 ^{ 2 2 cos 2t  2 2 cos 2t  2 2 cos 2t}

( )

h t  0 0 0 ^{2 2 cos 2t 2 2cos 2t}

 ^{3 / 2}

h t  0 0 0 0 ^{ 2 2 cos 2t}

( )

g t 0 ^{2 2 cos 2t 4cos 2t  2 6cos 2t 8cos 2t}

D’où la fonction g est définie par :

 3/2 2

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

0 /2

1

x y

( ) 0 0

( ) 2 2cos 2 0 / 2

( ) 4cos 2 / 2

( ) 2 6cos 2 3 / 2

( ) 8cos 2 3 / 2

g t si t

g t t si t

g t t si t

g t t si t

g t t si t

 

     

      

      

    



Exercice-2 –bts-2003 1.Calculons In :

/ 2 / 2

1 1 1 1

cos( ) sin sin sin sin

2 2

n

I nx dx nx n n

n n n n

 

 

 

  





      ^.

On obtient : ₁ ^{sin 1} I _{ } 2 _{ }

; ₂ ^{1sin 0}

I  2   et ₃ ^{1sin3 1}

3 2 3

I _{ }  _

.

On intègre par parties, en posant : ^{u x( )x u x'( ) 1} ; ^{v x'( ) cos nx v x( ) 1sin( )nx}

n avec nN

Donc : ^{2 / 2 2 / 2 / 2}

0 0 2 0

0 0

1 1

cos sin( ) sin sin( ) cos

n x x

J x nx dx nx nx dx nx nx

n n n n

 

   

   





  



    

²

2 2 2 2

0

1 1 1 1

cos sin( ) 0 cos cos 0 sin( ) cos

2 2 2 2 2 2

n n n n n

J x nx dx

n n n n n n



     





      

D’où : ^{sin( ) 1}₂^{cos 1}₂

2 2 2

n

n n

J n n n

  

   . On obtient : ₁ sin( ) cos 1 1

2 2 2 2

J        ₂ sin( ) ¹cos ^{1 1}

4 4 4 2

J       ; ₃ ^{sin(3 ) 1cos3 1 1}

6 2 9 2 9 6 9

J _  _  _{   } . Partie B

1.représentation graphique de la fonction f .

2.a. Calculons a0 : 0 0

1 1 1

( ) ( ) ( )

2

a T

a a f t dt f t dt f t dt

T

 

  











 



, car f est paire et 2 -périodique

donc : 0 0 ^{/ 2} 0 ^{/ 2}

1 2E

a ^ t dt ^ Edt

 

 

   



 

 ^.

2 / 2 2

0

0

1 2 1 2 1 3 3

2 8 2 4 4

E t E E E

a Et E

   

    

     

         

 

   

   

b. la fonction f est paire donc pour

tout entier n1, on a bn ⁰.

c. Calculons an, pour n1 :

0

2 ( )cos

1 ( )cos

2 ( )cos

a T

n a

n

n

a f t ntdt

T

a f t nt dt

a f t ntdt



























.

Car ^t ^{f t( ) cosnt} est paire ; donc n ² ₀ ^{/ 22 cos 2} _{/ 2} ^{cos 4}₂ n ² n

E E E

a ^ t ntdt ^ E ntdt J I

     









 

et n ²E₂



² n n



a J I

  .Calculons ⁴ 2



^{4 4}



2 2 0

p E p p

a J I

   , puisque 4

1 4 1

sin sin 2 0

4 2 4

p

I p p

p p

 

    

et 4 2 2 2 2

1 1 1 1

sin(2 ) cos 2 0 0

8 16 16 16 16

J p p p

p p p p p

  

       .

Partie C

1. calculons a1, a2 , a3 : ¹ 2



^{1 1}



2 2

2 2 4

2 2 1

2

E E E

a J I  

  

   

        

2 2 2

2 1 2

2 0

2

E E

a 

 

    

      et 3 2



3 3



2 2 2

2 2 1 2 2 4

2 2

6 9 3 3 9 3 9

E E E E

a J I    

   

     

              . Calculons _F²:

2 2 3 / 2

/ 2 / 2 / 2

2 2 2 2 2 2 2

2 3

0 0 0 / 2 / 2

0

2 1 1 4 4 1

( ) ( )

3

T E E t

F V eff f t dt f t dt t dt E dt E t

T

 

  

 

    

     

   

 







 







       

2 3 2 3 2 2 2

2 2 2

3 3

4 1 4 1 2

2 2 6 2 3

24 24

E E E E E

F  E    E 

 

 

 

        

 

3.Calculons P : ⁰²



^{12 22 32}



² 4² 4^{2 2}4 ² 4²

1 9 1 16 4 16 9 818

2 16 2 81 16 81

E E E E E E

P a a a a

   

 

       

 

                 . Calculons ^P₂

F :

2 2

2 4 2 4

9 818 3 37 409

0,999

16 81 2 32 27

P E E

F  E 

 

      .

Exercice 3-BTS-2006

1. 0 0

 

^{2 1}

0

1

2 2

T t

a t dt t

T

  ^  ^  

      

 

 



^{avec T1.}

2. La pulsation est ^2 bn ² ₀^T



t



^sin(2 nt dt^{) 2} ₀¹



t



^sin(2 nt dt⁾

T      





 



 ^{avec T1.}

On intègre par parties en posant : ^{u t( )t} , alors ^{u t'( )} ; ^{v t'( ) sin(2 nt)}, alors ^{( ) 1 cos(2 )}

v t 2 nt

n 

  

 3/2 2 5/2 3

-/2 -

2

0 /2

1

x y

   

¹

1 1

0 0

0

cos(2 )

2 sin(2 ) 2 cos(2 )

2 2

n

t nt

b t nt dt nt dt

n n

   

   

 

    

   





    





D’où

 

¹

0

1 sin(2 )

2 2 2 2

n

b nt

n n n

 

  

  

      

 

         et bn ² ₂ ⁰

n n

 

 

   

   

  .

3.a. On veut que a00et b_n ¹

n, donc d’après 3. on a : 2 0

1 2

n n

   

  



     

 

  

  



.

L’expression de f est alors ( )

f t   t 2 .

b. on construit alors la courbe représentative de f sur ^{[ 2; 2]} .

 2



  /2

0 1

 /2

x y