SESSION MARS 2009
BREVET DE TECHNITIEN SUPERIEUR
GENIE OPTIQUE
MATHÉMATIQUES
Le sujet comprend 6 pages, numérotées de 1 à 6 . Le formulaire officiel de mathématiques est autorisé
Il comprend 7 pages numérotés de 1 à 7
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Matériel autorisé :
L’usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
Les candidats doivent traiter les trois exercices .
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 heures
Exercice 1 BTS -Novembre 2008 –Nouvelle - Calédonie -8 points
On s’intéresse à un système entrée-sortie.
Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deux entrées différentes.
Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.
Partie A
On considère l’équation différentielle
E1 suivante : y t"( ) 4 ( ) 8 y t
E1où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t.
1. a. Donner la solution particulière constante de l’équation différentielle
E1 .b. Déterminer la solution générale de l’équation
E1 .2. Montrer que la fonction f , solution de l’équation différentielle
E1 et qui vérifie :f(0) 0 et f '(0) 0 est définie surRpar : f t( ) 2 1 cos 2
t .Partie B
On rappelle que la fonction échelon unitéU est définie par : ( ) 0 0
( ) 1 0
t si t
t si t
U U
Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ] ;0[. On considère la fonction e définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
e t( ) 8
U( )t U(t / 2)U(t ) U(t 3 / 2
On considère la fonction causale g qui vérifie les conditionsg(0) 0 et g'(0) 0 , ainsi que la relation
E2 suivante : y t"( ) 4 ( ) y t e t( )
E2On admet que la fonction gpossède une transformée de Laplace notée G. 1. a. Représenter la fonction esur l’intervalle [0; 2 ] .
b. On appelle E la transformée de Laplace de la fonction e. Déterminer E p( ).
2. a. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation
E2 , montrer que :2
/ 2 3 / 2
( ) 8 1
( 4)
p p p
G p e e e
p p
b. Vérifier que la fonction h définie sur R par h t( ) 2 1 cos 2
t U( )t a pour transformée de Laplacela fonction H définie par : 28
( ) ( 4)
H p p p
c. Donner une expression de la fonction g , en utilisant éventuellement la fonction h.
3.
a. On donne les expressions de g t( ) sur les intervalles [ / 2 ; [ et [3 / 2 ; [ ( ) 4cos(2 ) [ / 2 ; [
( ) 8cos(2 ) [3 / 2 ; [
g t t si t
g t t si t
・
Donner des expressions similaires de g t( )pour les intervalles [0 ; / 2[ et [ ;3 / 2[ .
b. On a représenté sur l’annexe, à rendre avec la copie la fonction gsur les intervalles
[ / 2 ; [ et [3 / 2 ; [
Compléter le graphique en traçant la représentation graphique de g sur les intervalles [0 ; / 2[ et [ ;3 / 2[ .
Exercice 2-bts-2003 ( 8 points) Partie A.
Pour tout entier naturel n , on considère les intégrales :
/ 2cos( )
In nx dx
et / 20 cos( ) Jn
x nx dx. 1°. Montrer que 1sinn n2
I n
.
2°. à l’aide d’une intégration par parties , montrer que sin 12 cos 12
2 2 2
n n n
J n n n
3°. Déterminer I I et I1; 2 3, puis J1;J et J2 3 Partie B.
Soit f la fonction numérique définie surR, paire, périodique de période 2 telle que :
( ) 2 0
2
( ) 2
f t Et si t
f t E si t
où E est un nombre réel donné, strictement positif.
1°. Tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle ;3 . ( on prendra E = 2 uniquement pour construire la courbe représentant f ).
2°. Soita0et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,anetbnles coefficients de Fourier associés f .
a. Calculer a0 .
b. Pour tout n1, donner la valeur de bn .
c. En utilisant la partie A, vérifier que pour tout n1, 2
2 2
n n n
a E J I
.
Partie C
1°. Déterminer les coefficients a , 1 a , 2 a .3
2°. Calculer F2, carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période.
On rappelle que dans le cas où f est paire, périodique de période T, on a:
2 2 2 0
2 ( )
T
F f t dt
T
3°. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :
2 2
2 2
0
1 2
n n
n
a b
F a
Soit P le nombre défini par P a 0212
a12a22a32
.Calculer P , puis donner la valeur décimale au millième du P2 F .
Ce dernier résultat très proche de 1 justifie que dans la pratique , on peut négliger les harmoniques d’ordre supérieur à 3.
Exercice 3 – ( 4 points)
Soient et deux nombres réels.
Soit f une fonction périodique de période 1, définie sur l'intervalle [0 ;1[ par f t( )t . On appelle a0, anet bn les coefficients de Fourier associés à la fonction f.
1. Montrer que 0
a 2 . 2. Montrer que bn
n
pour tout nombre entier naturel n non nul.
On admet que a0 0 pour tout entier naturel n non nul.
3. On se propose de déterminer les nombres réels etpour que le développement S en série de Fourier de la fonction f soit défini pour tout nombre réel t par
1
( ) 1sin 2
n
S t nt
n
.a. Déterminer les nombres réelsettels que a0 0 etbn 1
n. En déduire l'expression de la fonction f .
b. Représenter la fonction f sur l'intervalle [2 ; 2] dans un repère orthogonal.
Nom : ……… Prénom : ………
Annexe exercice 1 Partie B
1.a
3/2 2
-/2 -
-3/2
8
-4
-8
0 /2
4
x y
3.b
3/2 2
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
0 /2
1
x y
Annexe exercice 2 Partie B
1.
3/2 2 5/2 3 -/2
-
2
-1
-2
0 /2 1
x y
Annexe Exercice 3
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-/2
-
0 1
/2
x y
Correction exercice 1
1. Soit y t( )c, donc y t'( )y t"( ) 0 et on trouve c2, donc y t( ) 2 est une solution particulière
de
E1 ( vérification immédiate ).y t"( ) 4 ( ) 0 y t a pour équation caractéristique r2 4 0 qui a deux solutions imaginaires pures r 0 2j,
r j
. Le formulaire indique comme solution de la forme y t( )et
Acos
t bsin
. Ici on a : 0 et 2 . Les solutions de
E0 sont de la forme y t( )Acos(2 )t Bsin(2 )t et la solution générale de
E1 est f t( ) 2 Acos(2 )t Bsin(2 )t2.a f(0) 0 signifie f(0) 2 Acos(0)Bsin(0) 2 A , donc A2.
f t'( ) 2 sin(2 ) 2 cos(2 )A t B t , f '(0) 2 sin(0) 2 cos(0) 2A B B0, donc B0
la fonctionf , solution de l’équation différentielle
E1 est définie surRpar : f t( ) 2 1 cos 2
t . Partie B1.a.
t 0 / 2 3 / 2
8 ( )U t 0 8 8 8 8
8 (t / 2)
U 0 0 8 8 8
8 (U t ) 0 0 0 8 8
8 (t 3 / 2)
U 0 0 0 0 8
( )
e t 0 8 0 8 0
Représentation graphique
-/2 3/2
8
0 /2
4
x y
1.b L ( ( ))e t L
8
U ( )t U (t / 2)U (t ) U (t 3 / 2)
( ( )) 8 ( ) ( / 2) ( ) ( 3 / 2)
( ( )) 8 ( ) ( / 2) ( ) ( 3 / 2)
e t t t t t
e t t t t t
L L
L L L L L
U U U
U U U U
U
On sait d’après le formulaire :
( )t
1 p
L U ;
(t / 2)
1e p / 2p
L U ;
(t )
1e pp
L U et
(t 3 / 2)
1e 3p / 2p
L U . On déduit que : 8 / 2 3 / 2
( ( ))e t 1 e p e p e p p
L .
2. a . g t"( ) 4 ( ) g t e t( ), donc on a : L
g t"( ) 4 ( ) g t
L
e t( )L
g t"( )
p G p2 ( )pg'(0)g(0) p G p2 ( )( g(0) 0 et g'(0) 0 )Par linéarité on a : L
g t"( ) 4 ( ) g t
L
g t"( ) 4 ( ) g t
L
g t"( )
4L
g t( )
L
e t( ) Et par conséquent p G p2 ( ) 4 5 ) G p E p( ),d’où ( ) 2( )4 G p E p
p
. Et enfinG p( ) p p
824
1e p / 2e p e 3p / 22.b . h t( ) 2 1 cos 2
t U ( )t , donc par linéarité de la transf0rmée de Laplace , on obtientL
h t( )
L
2 1 cos 2
t U ( )t
2L
U ( )t
2L
cos(2 ) ( )t U t
. Or d’après le formulaire On a :
( )t
1 p
L U et
cos( ) ( )t t
2 p 2 p
L U , donc
cos(2 ) ( )
24 t t p
p
L U
On obtient :
2 2
2 2 2
2 4 2
2 2 8
( ) 4 4 4
p p
H p p
p p p p p p
.
Autre méthode en effectuant le calcul à l’envers.
2.c.G p( ) p p
824
1e p / 2e p e 3p / 2G p( ) p p
824
p p824
e p / 2 p p
824
e p p p
82 4
e 3p / 2Donc g t( )h t( )h t
/ 2
h t( ) h t( 3 / 2). Or h t( ) 2 1 cos 2
t U ( )t
( / 2) 2 1 cos 2 / 2 ( / 2) 2 1 cos 2 ( / 2) 2 1 cos 2 ( / 2)
h t t U t t U t t U t
( ) 2 1 cos 2 ( ) 2 1 cos 2 2 ( ) 2 1 cos 2 ( )
h t t U t t U t t U t
( 3 / 2) 2 1 cos 2 3 / 2 ( 3 / 2) 2 1 cos 2 3 ( 3 / 2)
( 3 / 2) 2 1 cos 2 ( 3 / 2)
h t t t t t
h t t t
U U
U
( ) 2 1 cos 2 ( ) 2 1 cos 2 ( / 2) 2 1 cos 2 ( ) 2 1 cos 2 ( 3 / 2) g t t U t t U t t U t t U t
t 0
2
3
2
( )
h t 0 2 2 cos 2t 2 2cos 2t 2 2 cos 2t 2 2cos 2t
( / 2)
h t 0 0 2 2 cos 2t 2 2 cos 2t 2 2 cos 2t
( )
h t 0 0 0 2 2 cos 2t 2 2cos 2t
3 / 2
h t 0 0 0 0 2 2 cos 2t
( )
g t 0 2 2 cos 2t 4cos 2t 2 6cos 2t 8cos 2t
D’où la fonction g est définie par :
3/2 2
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
0 /2
1
x y
( ) 0 0
( ) 2 2cos 2 0 / 2
( ) 4cos 2 / 2
( ) 2 6cos 2 3 / 2
( ) 8cos 2 3 / 2
g t si t
g t t si t
g t t si t
g t t si t
g t t si t
Exercice-2 –bts-2003 1.Calculons In :
/ 2 / 2
1 1 1 1
cos( ) sin sin sin sin
2 2
n
I nx dx nx n n
n n n n
.On obtient : 1 sin 1 I 2
; 2 1sin 0
I 2 et 3 1sin3 1
3 2 3
I
.
On intègre par parties, en posant : u x( )x u x'( ) 1 ; v x'( ) cos nx v x( ) 1sin( )nx
n avec nN
Donc : 2 / 2 2 / 2 / 2
0 0 2 0
0 0
1 1
cos sin( ) sin sin( ) cos
n x x
J x nx dx nx nx dx nx nx
n n n n
2
2 2 2 2
0
1 1 1 1
cos sin( ) 0 cos cos 0 sin( ) cos
2 2 2 2 2 2
n n n n n
J x nx dx
n n n n n n
D’où : sin( ) 12cos 12
2 2 2
n
n n
J n n n
. On obtient : 1 sin( ) cos 1 1
2 2 2 2
J 2 sin( ) 1cos 1 1
4 4 4 2
J ; 3 sin(3 ) 1cos3 1 1
6 2 9 2 9 6 9
J . Partie B
1.représentation graphique de la fonction f .
2.a. Calculons a0 : 0 0
1 1 1
( ) ( ) ( )
2
a T
a a f t dt f t dt f t dt
T
, car f est paire et 2 -périodiquedonc : 0 0 / 2 0 / 2
1 2E
a t dt Edt
.2 / 2 2
0
0
1 2 1 2 1 3 3
2 8 2 4 4
E t E E E
a Et E
b. la fonction f est paire donc pour
tout entier n1, on a bn 0.
c. Calculons an, pour n1 :
0
2 ( )cos
1 ( )cos
2 ( )cos
a T
n a
n
n
a f t ntdt
T
a f t nt dt
a f t ntdt
.
Car t f t( ) cosnt est paire ; donc n 2 0 / 22 cos 2 / 2 cos 42 n 2 n
E E E
a t ntdt E ntdt J I
et n 2E2
2 n n
a J I
.Calculons 4 2
4 4
2 2 0
p E p p
a J I
, puisque 4
1 4 1
sin sin 2 0
4 2 4
p
I p p
p p
et 4 2 2 2 2
1 1 1 1
sin(2 ) cos 2 0 0
8 16 16 16 16
J p p p
p p p p p
.
Partie C
1. calculons a1, a2 , a3 : 1 2
1 1
2 22 2 4
2 2 1
2
E E E
a J I
2 2 2
2 1 2
2 0
2
E E
a
et 3 2
3 3
2 2 22 2 1 2 2 4
2 2
6 9 3 3 9 3 9
E E E E
a J I
. Calculons F2:
2 2 3 / 2
/ 2 / 2 / 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3
0 0 0 / 2 / 2
0
2 1 1 4 4 1
( ) ( )
3
T E E t
F V eff f t dt f t dt t dt E dt E t
T
2 3 2 3 2 2 2
2 2 2
3 3
4 1 4 1 2
2 2 6 2 3
24 24
E E E E E
F E E
3.Calculons P : 02
12 22 32
2 42 42 24 2 421 9 1 16 4 16 9 818
2 16 2 81 16 81
E E E E E E
P a a a a
. Calculons P2
F :
2 2
2 4 2 4
9 818 3 37 409
0,999
16 81 2 32 27
P E E
F E
.
Exercice 3-BTS-2006
1. 0 0
2 10
1
2 2
T t
a t dt t
T
avec T1.2. La pulsation est 2 bn 2 0T
t
sin(2 nt dt) 2 01
t
sin(2 nt dt)T
avec T1.On intègre par parties en posant : u t( )t , alors u t'( ) ; v t'( ) sin(2 nt), alors ( ) 1 cos(2 )
v t 2 nt
n
3/2 2 5/2 3
-/2 -
2
0 /2
1
x y
11 1
0 0
0
cos(2 )
2 sin(2 ) 2 cos(2 )
2 2
n
t nt
b t nt dt nt dt
n n
D’où
10
1 sin(2 )
2 2 2 2
n
b nt
n n n
et bn 2 2 0
n n
.
3.a. On veut que a00et bn 1
n, donc d’après 3. on a : 2 0
1 2
n n
.
L’expression de f est alors ( )
f t t 2 .
b. on construit alors la courbe représentative de f sur [ 2; 2] .
2
/2
0 1
/2
x y