Bac Blanc 01

(1)

Calculatrice autorisée.

Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix.

Soyez concis et soignez présentation et rédaction.

Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 01 – 6 points Septembre 2007, Polynésie

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule réponse est exacte On vous demande de recopier la réponse qui vous parait exacte, aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’enlève ni n’ajoute de points. Si le total des points est négatif la note attribuée à l’exercice sera 0.

1. Soit

( )

un une suite géométrique de premier terme u₀= 500 et de raison 1,03.

La somme u₀+ + +u₁ ... u₄₄est égale à (arrondi à l’unité) :

□ 23 520 □ 44 524 □ 22 660 □ 46 360

2. Une année, le prix d’une matière première a augmenté de 25%, l’année suivante le prix de cette matière première a diminué de 22%.Globalement, sur les deux années, le prix :

□ a augmenté de 3 % □ a augmenté de 5,5 % □ diminué de 2,5 % □ n’a ni diminué ni augmenté

3. Un capital est placé au taux annuel de 3 % à intérêts composés. Pour que ce capital double il faut attendre :

□ au moins 6 ans □ au moins 16 ans □ au moins 24 ans □ au moins 32 ans 4. Un capital est placé au taux annuel de 3,2 %, à intérêts composés, pendant 7 ans. Le taux global d’augmentation de ce capital pour les 7 années est d’environ :

□ 24,7% □ 22,4% □ 21,8% □ 34,5%

5. Un taux annuel de placement de 9%, à intérêts composés, correspond à un taux mensuel équivalent d’environ:

□ 1,08% □ 0,72% □ 0,75% □ 1,20%

6. Le prix d’un article augmente de 47 %. Pour revenir au prix initial, il faudrait le diminuer d’environ :

□ 32% □ 47% □ 53% □ 68%

Exercice 02 – 3 points

A. Soit f la fonction définie par ^{f x}^{( )}⁼^{ln 2 3}

(

⁻ ^x

)

1. Déterminer le domaine de définition de f.

2. Résoudre l’inéquation f x( )>0 sur son domaine.

B. Exprimer en fonction de ln(2) et de ln(5) les nombres suivants :

( ) ( )

ln 100 ln 4

X = − ^{ln 16}

( )

^ln ²

Y 25

= −  

 

(2)

Exercice 03 – 4.5 points

Le 01/01/2006, un nouvel employé dans une entreprise se voit proposer deux formules pour l’évolution de son salaire mensuel : dans la formule A il est augmenté tous les ans, au 1^er janvier, de 20 euros ; dans la formule B, il est augmenté tous les ans, au 1^er janvier, de 1.5%.

Son salaire mensuel initial durant l’année 2006 est de 1200 euros. On note

( )

un (respectivement

( )

vn ) le salaire selon la formule A (resp. selon la formule B) durant l’année 2006+n.

1. Expliquer pourquoi en 2006 on a u₀ =v₀ =14400^. 2. Expliquer pourquoi en 2007 on a u₀ =14640,v₀ =14616^.

3. Donner, en justifiant la réponse, la nature des deux suites étudiées.

4. Exprimer u_n^etv_n en fonction de n.

5. Calculer et comparer les deux formules en 2016 puis en 2026 (arrondir au centime d’euro).

6. Calculer combien l’employé aura gagné durant ses 42 ans de carrière selon chacune des formules A et B.

Exercice 02 – 6.5 points Septembre 2006, Polynésie

(3)

Exercice 01 – 6 points Septembre 2007, Polynésie

Pour plus de détails que les méthodes utilisées, consulter les cours de Terminale STG su site.

1. □ 23 520 □ 44 524 □ 22 660 □ 46 360

On a

45

0 1 44 0

1 1.03

... 46360

1 1.03 u + + +u u =u − ≈

− arrondi à l’unité.

2. □ a augmenté de 3 % □ a augmenté de 5,5 % □ diminué de 2,5 % □ n’a ni diminué ni augmenté

Le coefficient multiplicateur global est de

(

^{1 0.25}⁺

) (

^{× −}^{1 0.22}

)

⁼^0.975 : comme c = 1 + t, cela correspond à une baisse de 2.5%.

3. □ au moins 6 ans □ au moins 16 ans □ au moins 24 ans □ au moins 32 ans Raisonnons sur les coefficients multiplicateurs : on cherche à résoudre l’inéquation 1.03ⁿ ≥2. Soit, on utilise la calculatrice, soit on utilise le logarithme : ainsi,

( ) ( ) ( )

( )

1.03 2 ln 1.03 2 2

ln 1.03

ln ln

n ≥ ⇔n ≥ ⇔n≥ soit à partir de n = 24.

4. □ 24,7% □ 22,4% □ 21,8% □ 34,5%

Le taux est donné par t= −1 1.032⁷ ≈ −24.7% arrondi à 0.1 %.

5. □ 1,08% □ 0,72% □ 0,75% □ 1,20%

On cherche ici à résoudre l’équation

( )

¹⁺^t ¹²⁼^1.09^{⇔ =}^t ^1.09¹²¹ ⁻¹ : cela correspond à une hausse mensuelle de 0.7%.

6. □ 32% □ 47% □ 53% □ 68%

Le coefficient réciproque est 1

c=1.47 donc le taux associé est 1

1 32%

t=1.47− ≈ − . Exercice 02 – 3 points

A1. La fonction ln est définie sur ]0;+∞[ donc f est définie pour 2

2 3 0 2 3

x x x 3

− > ⇔ > ⇔ < .

Ainsi, f est définie pour 2 ] ; [ x∈ − ∞ 3 .

A2. On sait que ln( )x > ⇔ >0 x 1 donc 1 ln(2 3 ) 0 2 3 1 ...

x x x 3

− > ⇔ − > ⇔ ⇔ < : comme tous les nombres

inférieurs à 1/3 sont dans le domaine de f, on a 1 ( ) 0

f x > ⇔ <x 3.

B1. On utilise deux des propriétés de ln : ^ln

(

^{a b}^{× =}

)

^ln

( )

^a ⁺^ln

( )

^b ^et^ln

( )

^aⁿ ⁼ⁿ^ln

( )

^a ^.

> ^X ⁼^{ln 100}

( )

⁻^{ln 4}

( )

⁼^{ln 4 25}

(

^×

)

⁻^{ln 4}

( )

⁼ ^{ln 4}

( )

⁺^{ln 25}

( )

⁻^{ln 4}

( )

⁼^{ln 5}

( )

² ⁼^{2 ln 5}

( )

^.

> ^Y ⁼^{ln 16}

( )

⁻^ln^^_₂₅² ^^_⁼^{ln 2}

( )

⁴ ⁻^{ln 2}

^{( )}

⁺^{ln 5}

( )

² ⁼^{4 ln 2}

^{( )}

⁻^{ln 2}

^{( )}

⁺^{2 ln 5}

^{( )}

^donc^Y ⁼^{3ln 2}

^{( )}

⁺^{2 ln 5}

^{( )}

^.

(4)

Exercice 03 – 4.5 points

1. u₀ =v₀ =14400 :

( )

un et

( )

vn représentant le salaire annuel en 2006+n suivant les différentes formules, u₀ =v₀ = ×12 1200=14400, salaire en 2006.

2. Avec la formule A, la salaire augmente chaque mois de 20€ donc il a augmenté de 12 20× =240€

dans l’année : ainsi, en 2007 avec la formule A : u₁ =14400+240=14640.

Avec la formule B, la salaire augmente chaque année de 1.5% donc il passe de 14400€ à 14400 1 1.5 14616

100

 

× + =

  € : ainsi, en 2007 avec la formule B : v₁=14400 1.015× =14616.

3. D’une année à l’année suivante, le salaire avec la formule A augmente de 12 20× =240€ : ainsi d’un terme de la suite u_n au suivant, on ajoute toujours 240 €.

La suite u_n est donc arithmétique de raison 240, de premier terme u₀ =14400.

D’une année à l’année suivante, le salaire avec la formule B augmente de 1.5% cad qu’il est multiplié par 1 0.015+ =1.015: ainsi d’un terme de la suite v_n au suivant, on multiplie toujours par

1.015.

La suite v_n est donc géométrique de raison 1.015, de premier terme v₀ =14400. 4. D’après le cours, on a alors :

> u_n =u₀+nr donc u_n =14400+240n

> v_n = ×v₀ qⁿ donc v_n=14400 1.015× ⁿ 5. L’année 2016 correspond à n = 10.

> u₁₀=14400+240 10× =16800

: donc un salaire de 16800€ avec la formule A

> 10

10 14400 1.015 16711.8

v = × =

: donc un salaire de 16711.8 € avec la formule B : celle-ci est donc la moins avantageuse.

L’année 2026 correspond à n = 20.

>

20 14400 240 20 19200

u = + × =

: donc un salaire de 16800€ avec la formule A

> 20

20 14400 1.015 19394.7

v = × =

: donc un salaire de 19394.7 € avec la formule B : celle-ci est donc la plus avantageuse.

6. Calculer combien l’employé aura gagné durant ses 42 ans de carrière selon chacune des formules A et B.

On cherche à comparer

û⁰^{+ + +}û¹ ^... û³⁹

et

v₀+ + +v₁ ... v₃₉

(de 0 à 39, il y a 40 termes) : d’après les formules

de cours : (

⁰ ³⁹

)

0 1 ... 39 40 763200

2 u u

u u u +

+ + + = × =

et

40

0 1 39

1 1.015

... 14400 781458

1 1.015 v + + +v v = × − =

−

.

Sur ses 40 ans de carrière, il gagnerait donc environ 18258 euros supplémentaires avec la formule B.

Exercice 02 – 6.5 points Septembre 2006, Polynésie

Recueil des données :

> x le nombre d’objets produits et vendus

>

^{f x}^{( )}^{= − +}^x² ⁹⁰^x⁻¹⁴⁰⁰

le bénéfice en euros associé.

> on suppose que

^x^∈

[

^0;100

]

(5)

de f. Ainsi

^{f x}^{( )}⁼

(

^x⁻^{20 70}

)(

⁻^x

) ^.

A2. Il nous faut faire un tableau de signes.

Ainsi, f(x) > 0 pour x compris entre 20 et 70 (les deux strictement).

A3. L’entreprise est bénéficiaire lorsque son bénéfice est positif ! Donc entre 20 et 70 objets produits.

A5. Comme

f x( )= − +x² 90x−1400

, d’après le cours on a

f'( )x = − +2x 90

.

A6. Pour étudier les variations de f, il nous faut connaître le signe de f’ : comme

− +2x 90= ⇔ =0 x 45

, on a

A7. La valeur maximale de f (f représente le bénéfice) est 625 : le bénéfice maximal est donc de 625€, et il est réalisé pour la production de 45 objets.

B1. On suppose désormais que chaque objet est vendu 120€ : comme on en vend x, la recette (ou chiffre d’affaire) est donnée par

R x( )=120x

.

B2. Nous savons que, de manière générale, le bénéfice B est donné par

B x( )=R x( )−C x( )

. On a par conséquent

C x( )=R x( )−B x( )

. Comme ici, le bénéfice est donné par f, on a

(

²

)

²

( ) 120 90 1400 30 1400

C x = x− − +x x− =x + x+

.

B3. Ne donnons ici que les valeurs manquantes du tableau de valeurs de l’énoncé :

C(30) = 3200 C(40) = 4200 C(50) = 5400 C(60) = 6800 B4. A l’aide de ce tableau de valeurs et de la calculatrice, on représente la fonction coût.

Remarquons aussi que la recette associée à un prix unitaire de 120 € (cad R) est représentée par une droite d’équation y = 120x.

Voir graphique ci-dessous.

B5. Graphiquement, l’entreprise réalise un bénéfice quand la courbe recette

∆₁₂₀

est au dessus de la courbe coût : cela a lieu pour x compris entre 20 et 70, ce qui est cohérent avec la réponse A2.

x 0 20 70 100

x - 20

- 0 + | +

70 – x

+ | + 0 -

f(x)

- 0 + 0 -

x 0 45 100

-2x + 90 + 0 - f ’(x) + 0 -

f(x)

-1400

ր 625

ց

-2400

(6)

20 30 40 50 60 70 80 90 -10

2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1E4

0 10 1000

x y