Ch...: Application de la dérivation
Nous avons vu dans le chapitre précédent la notion de nombre dérivé, puis de fonction dérivée. Cette dernière notion va aider les mathématiciens à effectuer des travaux sur les fonctions, comme trouver le sens de variations ou encore les extremums.
I- Signe de la dérivée et variations:
Approche:
f est la fonction définie sur [0;4] par f(x) = (x – 2)².
a) Dans un repère tracer la courbe représentative de la fonction f puis son tableau de variation. Tracer les tangentes en quelques points d'abscisse a dans l'intervalle [2;4].
Quel semble être le signe du coefficient directeur de chacune de ces tangentes ? Plus généralement, conjecturer le signe de f'(a) pour tout réel a de [2;4].
b) Conjecturer également le signe de f'(a) pour tout réel a de l'intervalle [0;2].
c) Calculer f'(a) pour tout réel a de [0;4] et retrouver le signe de f'(a) conjecturé.
d) Quel lien constate-t-on entre le sens de variation de la fonction f et le signe de sa dérivée ?
Propriétés:
Dans tout ce qui suit, f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
P1: Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x de I, f 'x0 . Démonstration:
x est un réel de I et h est un réel non nul tels que xh∈I .
● Si h > 0, alors xhx . Or f est croissante sur I donc fxhfx .
● Si h < 0, alors ... . Or f est croissante sur I donc...
Dans les deux cas, f(x + h) – f(x) et h sont de même signe, donc:
fxh−fx
h 0
f est dérivable en x donc fxh−fx
h a une limite réelle f'(x) lorsque h tend vers 0..
Si l'on donne à h des valeurs proches de 0, alors fxh−fx
h prend des valeurs ... , on conçoit et on admet ici que sa limite en 0 est aussi positive, c'est-à-dire f 'x0 .
P2: Si f est une fonction constante sur I, alors pour tout réel x de I, f'(x) = 0 Démonstration:
f est constante sur I, donc f(x + h) = ... et fxh−fx
h =...
Par conséquent, f'(x) = ...
P3: Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x de I, f 'x0 Démonstration: (façon analogue à P1)
...
T. Pautrel - Applications de la dérivation - niveau 1ère S
Remarque: Les 3 propriétés admettent leurs réciproques.
Illustrer P1, P2 et P3:
f'(x) s'annule sur l'intervalle [c;d]
contenu dans [a;b]. f'(x) ne s'annule pas sur [a;b] ou bien seulement en quelques points de [a;b]. On dit que la fonction est strictement croissante sur [a;b].
Exemple:
f est la fonction définie sur ℝ par f(x) = - 2x² + x + 1.
a) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
b) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction f.
II- Extremum local, maximum et minimum:
Problème d'approche:
A et B sont deux points tels que AB = 6. M est un point du segment [AB] tel que AM = x avec 0x6 . On construit du même côté de la droite (AB) les carrés AMNP et MBQR.
Existe-t-il une position de M pour laquelle la somme S des aires des deux carrés est minimale ? 1) Étude du problème:
a) Démontrer que pour tout réel x de [0;6], la somme S(x) des aires des deux carrés est égale à x² + (6 – x)².
b) Tracer la courbe représentative de la fonction S à la calculatrice. Conjecturer la valeur minimale de S. Pour quelle valeur de x semble-t-elle obtenue ?
c) Pour tout x de [0;6], calculer S(x) – S(3) et démontrer que Sx−S30 .
d) En déduire la position de M sur [AB] qui est telle que la somme des aires des deux carrés est minimale.
2) Un lien avec la dérivée:
a) Tracer des tangentes en quelques points d'abscisse a dans l'intervalle [0;6]. Quel semble être le signe du coefficient directeur de chacune de ces tangentes ?
Plus généralement, conjecturer le signe de S'(a) pour tout réel a de [0;6].
b) Calculer S'(a) pour tout réel a de [0;6] et retrouver le signe de S'(a) conjecturé précédemment.
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0 1
1
x y
c)Il semble que le fait que la fonction S admette un minimum sur l'intervalle [0;6] puisse être traduit à l'aide de sa dérivée. De quelle façon ?
...
1) Extremum local et dérivée:
Définition:
Soit la fonction f définie sur un intervalle I et x0 est un réel de I.
➢ Dire que f(x0) est un maximum local (ou minimum local) de f signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant x0 tel que pour tout x de J, fxfx0 (ou l'inverse s'il s'agit d'un minimum)
➢ Dire que f(x0) est un extremum local signifie que f(x0) est un maximum local ou minimum local.
Propriétés:(admises)
P1: La fonction f est dérivable su un intervalle ouvert I et x0 est un réel de I.
Si f(x0) est un extremum local de f, alors f'(x) = 0.
Remarque:
La réciproque de ce théorème est fausse. Par exemple si fx=x3 sur ℝ , alors f'(0) = 0, cependant 0 n'est pas un extremum local de f.
P2: La fonction f est dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 est un réel de I. Si f s'annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum local.
Exemples:
x x0
f'(x) - +
f(x)
f(x0) est un minimum local x x0
f'(x) + -
f(x)
f(x0) est un maximum local 2) Majorant, minorant:
Définitions:
La fonction f est définie sur un intervalle I;
Dire que M est un majorant de f sur I signifie que pour tout x de I,
fxM
Dire que m est un minorant de f sur I signifie que pour tout x de I,
fxm
Dire que f est bornée sur I signifie que f admet un majorant et un minorant sur I.
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