Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°5
Nombres complexes et trigonométrie − partie 4
Exercice 26
1. Calculer une forme exponentielle de−1+i. 2. Calculer une forme exponentielle de 1+i
p3 p2+ip
2. En déduire les valeurs de cos¡π 12
¢et sin¡π 12
¢.
3. Soitθ∈]−π,π]. Déterminer des formes exponentielles de 1+eiθet 1−eiθ.
Exercice 27
Calculer la forme algébrique de la somme
Sn:= Xn k=0
Ãn k
! ik
pour toutn∈N. Le résultat sera présenté en distinguant plusieurs cas, suivant les différentes valeurs possibles d’un reste de division euclidienne.
Exercice 28
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;→−u,−→v). SoientA1,A2,A3trois points du plan d’affixes respec- tivesz1,z2,z3.
1. Justifier que le triangleA1A2A3est équilatéral si et seulement si
¯¯
¯¯
¯¯
¯
á A2A1A3=
π
3 [2π] et
A1A2=A1A3
ou
¯¯
¯¯
¯¯
¯
á A2A1A3= −
π
3 [2π] et
A1A2=A1A3
2. Montrer que triangleA1A2A3est équilatéral si et seulement si z2
1+z2
2+z2
3=z1z2+z1z3+z2z3.
Exercice 29
1. Résoudre l’équation p
3cos(x)+sin(x)=2 d’inconnuex∈R.
2. Résoudre l’équation
tan(x)= −1 d’inconnuex∈R\©π
2+kπ:k∈Zª . 3. Démontrer que l’équation
cos(x)+2sin(x)=3 d’inconnuex∈Rn’admet aucune solution.
Exercice 30
1. Déterminer les racines carrées complexes dei. 2. Déterminer les racines carrées complexes de−8+6i. 3. Déterminer les racines carrées complexes de 2−2p
3i. 4. Déterminer les racines carrées complexes de1009 −25i.
Exercice 31
1. Résoudre l’équation
(E1) :z2+2z+3=0 d’inconnuez∈C.
2. Résoudre l’équation
(E2) :z2+2z−i=0 d’inconnuez∈C.
3. Résoudre l’équation
(E3) : 2i z2+(1+i)z−1=0 d’inconnuez∈C.
4. Soitθ∈]0,π[.
(a) Justifier que l’équation
(E4) : z2−2θ+1cos(θ)z+22θ=0 d’inconnuez∈C, possède deux solutions distinctes.
(b) Exprimer les deux solutions de (E4) sous forme trigonométrique.
(c) On fixe un repére orthonormé du plan (O;→−u,−→v) et on considère les pointsAetBdont les affixes sont les solutions de (E). Déterminerθde manière à ce queO ABsoit un triangle équilatéral.
Exercice 32 Soitn∈N∗.
1. On fixe un repére orthonormé du plan (O;→−u,−→v) et on noteMkle point du plan d’affixeei2kπn , pour tout k∈N. Calculer la longueurMkMk
+1pour toutk∈N.
2. Calculer la somme des éléments deUn, puis le produit des éléments deUn.
Exercice 33
1. Résoudre l’équation
z5= i 1+i d’inconnuez∈C.
2. Résoudre l’équation
z6+64=0
d’inconnuez∈C, puis représenter graphiquement son ensemble solution.
3. Résoudre l’équation
(z−1)4+(z+1)4=0 d’inconnuez∈C.
Exercice 34
Résoudre le système
(S) :
z1+z2 = 19 3 z1z2 = 2 d’inconnue (z1,z2)∈C2.
Exercice 35
1. Résoudre l’équation
ez= −2 d’inconnuez∈C.
2. Résoudre l’équation
e2z+(i−2)ez−2i=0 d’inconnuez∈C.
