Programme colle math Semaine 2 du 23/09/19 au 28/09/19 MPSI B Hoche
Nombres complexes et trigonométrie (fin)
c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par les fonc- NotationU.
tions circulaires. Les étudiants doivent savoir retrouver les formules
du type cos(π−x) =−cosxet résoudre des équa- tions et inéquations trigonométriques en s’aidant du cercle trigonométrique.
Définition deeit pour t ∈ R. Exponentielle d’une Les étudiants doivent savoir factoriser des expres- somme. Formules de trigonométrie exigibles : cos(a± sions du type cosp+ cosq.
b), sin(a±b), cos(2a), sin(2a), cosacosb, sinacosb, sinasinb.
Fonction tangente. La fonction tangente n’a pas été introduite au lycée.
Notation tan.
Formule exigible : tan(a±b).
Formules d’Euler. Linéarisation,
calcul dePn
k=0cos(kt), dePn
k=0sin(kt).
Formule de Moivre. Les étudiants doivent savoir retrouver les expres-
sions de cos(nt) et de sin(nt) en fonction de cost et sint.
d) Formes trigonométriques
Forme trigonométriquereiθavecr >0 d’un nombre Relation de congruence modulo 2πsurR. complexe non nul. Arguments. Arguments d’un pro-
duit, d’un quotient.
Factorisation de 1±eit.
Transformation deacost+bsintenAcos(t−ϕ). PC et SI : amplitude et phase.
f) Racines n-ièmes
Description des racinesn-ièmes de l’unité, d’un nombre NotationUn. Représentation géométrique.
complexe non nul donné sous forme trigonométrique.
g) Exponentielle complexe
Définition deezpourzcomplexe :ez=eRe(z)eiIm(z). Notation exp(z),ez.
PC et SI : définition d’une impédance complexe en régime sinusoïdal.
Exponentielle d’une somme.
Pour tous z et z0 dans C, exp(z) = exp(z0) si et seulement siz−z0∈2iπZ.
Résolution de l’équation exp(z) =a.
h) Interprétation géométrique des nombres complexes
Interprétation géométrique du module et d’un ar- Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité.
gument de c−ac−b.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S2
Programme colle math Semaine 2 du 23/09/19 au 28/09/19 MPSI B Hoche
Interprétation géométrique des applications z 7→ Similitudes directes. Cas particuliers : translation,
az+b. homothéties, rotations.
Interprétation géométrique de la conjugaison. L’étude générale des similitudes indirectes est hors programme.
Calculs algébriques (fin)
Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique.
b) Coefficients binomiaux et formule du binôme
Factorielle. Coefficients binomiaux. Notation np . Relation np
= n−pn
Formule et triangle de Pascal. Lien avec la méthode d’obtention des coefficients bino- miaux utilisée en Première (dénombrement de chemins).
Formule du binôme dansC.
c) Systèmes linéaires
Système linéaire den équations àpinconnues à coeffi- PC et SI dans le casn=p= 2.
cients dansRouC. Interprétation géométrique : intersection de droites dans R2, de plans dansR3.
Système homogène associé. Structure de l’ensemble des solutions.
Opérations élémentaires. NotationsLi ↔Lj,Li ←λLi (λ6= 0),Li←Li+λLj. Algorithme du pivot. I : pour des systèmes de taille n >3 ou p > 3, on
utilise l’outil informatique.
Pas de question théorique sur les systèmes linéaires : seulement pratique avec 2 ou 3 équations et inconnues.
Questions de cours
Preuve de l’existence d’un argument d’un nombre complexe non nul à partir du tableau de variation de cos. Preuve de l’énumération des éléments deUn. Définition récursive des coefficients du binôme par le triangle de Pascal. Preuve de la formule du binôme, de l’expression avec des produits, justification de «pparmi n» à l’aide de chemins.
Prochain programme Raisonnements et vocabulaire ensembliste. Inégalités dansR.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2 Rémy Nicolai S2
