D E B O R D
Démonstrations convexité
A retenir
Soit f une fonction dérivable deux fois et soit t un réel de l’intervalle [0 ;1] . Si f est convexe alors f(ta+ (1−t)b)≤tf(a) + (1−t)f(b)
Le principe
On va tracer une sécante à la courbe
Puisque f est convexe , on sait que la sécante est au dessus de la courbe . On va donc prendre un point de la courbe et un point de la sécante ayant la même abscisse et comparer leurs ordonnées
La démonstration
1 2
−1 1 2 3 4
f
bA
bB
bC
bD
Soient A et B deux points de la courbe . On choisit A(a ;f(a)) et B(b ;f(b)) .
Déterminons une équation de (AB) Soit M(x ;y) un point de (AB) alors−−→
AM et −→
AB sont colinéaires .
−−→AM(x−a;y−f(a)) et−→
AB(b−a;f(b)−f(a))
La colinéarité donne :(x−a)(f(b)−f(a))−(b−a)(y−f(a) = 0
⇐⇒ (x−a)(f(b)−f(a)) + (b−a)f(a) = (b−a)y ⇐⇒ y = f(b)−f(a)
b−a x+bf(a)−af(b) b−a (AB) :y = f(b)−f(a)
b−a x+bf(a)−af(b) b−a
Déterminons les coordonnées de C et D
Soit C le point de la droite (AB) d’abscisse ta+ (1−t)b . Déterminons son ordonnée . yC = f(b)−f(a)
b−a xC + bf(a)−af(b)
b−a = f(b)−f(a)
b−a (ta+ (1−t)b) + bf(a)−af(b)
b−a =
(f(b)−f(a)(t(a−b) +bf(b)−bf(a) + +bf(a)−af(b)
b−a = −t(f(b)−f(a)(b−a) + (b−a)f(b)
b−a =
tf(a) + (1−t)f(b)
Donc : yC =tf(a) + (1−t)f(b)
Soit D le point d’abscisse ta+ (1−t)b placé sur la courbe . Alors yD =f(ta+ (1−t)b)
Conclusion
La fonction f est convexe donc toute sécante est au dessus de la courbe donc le point C est au dessus du point D et donc yD ≤yC d’où : f(ta+ (1−t)b)≤tf(a) + (1−t)f(b)
21 juillet 2020 1 Béatrice Debord
D E B O R D
Démonstrations convexité
A retenir
Soit f une fonction dérivable deux fois . Si f” est positive alors la courbe de f est au dessus de ses tangentes .
Le principe
On va étudier la position relative de la courbe de f et d’une tangente quelconque .
La démonstration
Supposons que f′′(x)≥0
On sait que l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est y = f′(a)(x−a) +f(a)
Posons g(x) =f(x)−(f′(a)(x−a) +f(a)) et étudions le signe de g g′(x) =f′(x)−f′(a)
g′′(x) =f′′(x) . Or f′′(x)≥0 donc g′′(x)≥0 .
x −∞ a +∞
g′′(x) + +
g′(x) 0
On en conclut que g’ est croissante . De plus , g′(a) = 0 donc on obtient le tableau de signes suivant :
x −∞ a +∞
g′(x) - 0 +
D’où le tableau de variations :
x −∞ a +∞
g′(x) − 0 +
g(x)
0
Puisque le minimum de g est nul , alors g(x)≥0 et donc f(x)≥ f′(a)(x−a) +f(a) ce qui prouve que la courbe est au-dessus de sa tangente .
21 juillet 2020 2 Béatrice Debord
