PROPORTIONS. A retenir

PROPORTIONS.

A retenir : un pourcentage n est pas une unité. 15% n est qu une autre façon d écrire 15/100 :

15% = 15

100 = 0,15

Exemple : Les hommes représentent 7/8 des personnes d un groupe. Donner le pourcentage d hommes dans ce groupe.

I. Proportions d une sous population dans une population.

1. Calcul d une proportion.

Pour pouvoir calculer une proportion, il faut déterminer une ………

notée dans la suite ……….

Une ………. A d’une population E est une population dont tous les individus sont aussi des individus de E.

Dans la suite, on notera nE le nombre d éléments de E, nA le nombre d éléments de, A etc ….

Soit E un ensemble et A une partie de E.

Remarques :

 une proportion est un nombre réel compris entre 0 et 1.

 une proportion s exprime souvent sous forme de pourcentage.

 la proportion des éléments de A dans E est aussi appelée proportion de A dans E, ou fréquence de A dans E ou, dans certains cas, taux (taux de natalité, taux de chômage…)

Attention : la population de référence est importante :

Exemple 1. Dans un lycée de 600 élèves, les 10 élèves étudiant le chinois sont dans la classe de 2^nde 1.

Cette classe comporte 35 élèves.

1. Calculer la proportion d’élèves étudiant le chinois parmi les élèves du lycée. Quelle est alors la population de référence ?

2. Calculer la proportion d’élèves étudiant le chinois parmi les élèves de 2^nde 1. Quelle est alors la population de référence ?

Exemple 2. Le taux de chômage est la proportion de chômeurs dans la population active (actifs occupés + chômeurs).

En 2014, en France métropolitaine, le nombre de chômeurs était de 2 838 000 millions de personnes. La population française était de 66 millions d habitants dont 28 640 000 actifs.

Déterminer le taux de chômage en France en 2014.

2. Calcul d un effectif connaissant la proportion.

La formule p nA

n_E peut aussi s écrire :

 nA ………. ce que l on peut traduire par :

.

 nE ………., ce qui permet de calculer la population de référence.

Exemple 1 : Un sondage sur 80 élèves indique que 22,5% d entre eux utilisent régulièrement une clé USB. Combien d élèves utilisent régulièrement une clé USB ?

Exemple 2 : Parmi les mêmes 80 élèves, les trois cinquièmes sont des garçons. Combien y a-t-il de garçons dans le groupe ?

Exemple 3 : Une enquête auprès de tous les élèves d un lycée a montré que 28% lisent au moins une revue par mois, ce qui représente 63 élèves. Combien y a-t-il d élèves dans ce lycée ?

II. Proportions et réunion.

Si A et B sont deux parties d’un même ensemble E, on

On appelle

Si A et B n’ont pas d’éléments en commun, on dit qu’ils sont disjoints On a alors AB = 

Remarque : en mathématiques, « le foot ou le volley » signifie « soit le foot, soit le volley soit les deux ».

Pour dire l’un ou l’autre mais pas les deux à la fois, on utilise le terme « ou bien ».

On peut représenter ces définitions par un schéma : A

B

Si on note pA la proportion de A dans E, pBcelle de B dans E etc…, on a :

Remarques :

 si A et B sont disjoints, on a : ………

 lorsque la population E est répartie en sous populations disjointes, la somme de leurs fréquences est égale à 1.

 Si A est le complémentaire de A dans E, alors ……….

E

Exemple 1 :

Dans une association, 36% des adhérents pratiquent le foot, 24% des adhérents pratiquent le rugby et 11%

pratiquent le foot et le rugby. Aucun ne pratique un autre sport. Calculer la proportion des adhérents qui pratiquent un sport.

Méthode 1 : en appliquant la formule.

A

E B ………..

A1

A2

A3

A4 A 5

pA1 pA2 pA3 pA4 pA5 ………

A

Méthode 2 : en utilisant un tableau croisé.

Exemple 2 :

En première, des élèves pratiquent au moins une discipline artistique. Parmi ces artistes, 20% étudient la basse, 50% étudient les arts plastiques et 10% pratiquent les deux. De plus, 15% pratiquent le théâtre et seulement le théâtre.

1. Calculer la proportion d élèves n étudiant pas le théâtre parmi ces artistes.

2. Calculer la proportion d élèves étudiant les arts plastiques ou la basse parmi ces "artistes".

3. Calculer la proportion d élèves étudiant les arts plastiques ou le théâtre parmi ces "artistes".

III. Proportions et inclusion.

1. Inclusion.

Lorsque tous les éléments d un ensemble A appartiennent à un ensemble B, on dit que

Exemple : si on note B l ensemble des habitants du Puy de Dôme et A l ensemble des habitants de Thiers, on a AB car tous l es ha bit ants de Thi ers sont des habitants du Pu y de Dôme.

Propriété : Soient A et B deux sous-populations de E telles que A  B.

Soit p la proportion de A dans B et p la proportion de B dans E. Alors la proportion de A dans E est p p .

Exemple 1 : Dans une classe de 1^ère, il y a 30% de garçons. 60% des garçons ont 17 ans.

Calculer la proportion des garçons de 17 ans parmi les élèves de la classe. Donner le résultat sous forme décimale puis sous forme de pourcentage.

B E A

Exemple 2 : Sur 67 millions d’habitants en France, 66 % de la population est en âge de travailler (15-64 ans). La population active représente 70 % de la population en âge de travailler.

1) Calculer la proportion de population active par rapport à la population totale.

2) Combien de français compte la population active ?

Exemple 3 : Lors d une élection, 70% des électeurs inscrits ont voté. Le candidat A a obtenu 38,5% des voix des électeurs inscrits. A sera-t-il élu au premier tour ? (Calculer la proportion des électeurs qui ont voté A parmi les électeurs qui ont voté.)

2. Représentation par un arbre.

Exemple : Deux fabricants de calculatrices se partagent le marché du collège et du lycée.

65 % des calculatrices proviennent du fabricant A.

Pour le fabricant A, 42 % des calculatrices vendues sont des modèles pour le collège.

Pour le fabricant B, 55 % des calculatrices vendues sont des modèles pour le lycée.

1) Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2) Déterminer la part de calculatrices vendues pour le lycée.