F17- Étude/fonc 5
BAC - Convexité
TaleESExercice1 (Centres Érangers 2014) Partie a : Étude d’une fonction
Soitf la fonction définie surRparf(x) =xex2−1.
Cf est la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormé du plan.
On notef′ la fonction dérivée def etf′′ la fonction dérivée seconde def. 1. (a) Montrer que pour tout réelx, f′(x) = (2x2+ 1)ex2−1.
(b) En déduire le sens de variation def surR.
2. On admet que pour tout réelx, f′′(x) = 2x(2x2+ 3)ex2−1.
Déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.
3. Soithla fonction définie surRparh(x) =x(1−ex2−1).
(a) Justifier que l’inéquation 1 −ex2−1 > 0 a pour ensemble de solutions l’intervalle [−1 ; 1 ].
(b) Déterminer le signe deh(x) sur l’intervalle [−1 ; 1 ].
(c) En remarquant que pour tout réelx, on a l’égalitéh(x) =x−f(x), déduire de la question précédente la position relative de la courbeCfet de la droite D d’équationy=xsur l’intervalle [ 0 ; 1 ].
4. SoitH la fonction définie surRparH(x) = 1 2x2−1
2ex2−1.Hest une primitive de la fonctionhsurR. Calculer la valeur exacte deI=
Z 1
0
h(x)dx.
Partie b : Applications
Sur le graphique pas suivant, sont tracées sur l’intervalle [ 0 ; 1 ] :
— la courbeCf représentative de la fonction étudiée en partie A ;
— la courbeCg représentative de la fonction définie parg(x) =x3;
— la droiteD d’équationy=x.
Cf et Cg illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :
— sur l’axe des abscisses, x représente la proportion des employés ayant les salaires les plus fiables par rapport à l’effectif total de l’entreprise ;
— sur l’axe des ordonnées,f(x) et g(x) représentent pour chaque entreprise la proportion de la masse salariale (c’est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.
Par exemple : le pointM(0,5; 0,125)est un point appartenant à la courbe Cg. Pour l’entreprise G cela se traduit de la façon suivante : si on classe les employés par revenu croissant le total des salaires de la première moitié représente 12,5% de la masse salariale.
1. Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80% des salariés ayant les salaires les plus faibles dans l’entreprise F.
On donnera une valeur du résultat arrondie à l’unité.
2. On note Af l’aire du domaine délimité par la droite D, la courbe Cf et les droites d’équationsx= 0 etx= 1.
On appelle indice de Gini associé à la fonction f, le nombre réel noté If et défini parIf = 2×Af.
(a) Montrer queIf = 1 e.
(b) On admet que, plus l’indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l’entreprise est égalitaire. Déterminer, en justifiant, l’entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.
Exercice2 (Asie 2013)
La courbeCf page suivante est la représentation graphique d’une fonctionf définie et deux fois dérivable sur l’ensemble des nombres réels.
Elle passe par les pointsA(1; 4e0,5),B(0; 5) etC(5; 0). Le pointD(−3; 0) appartient à la tangente àCf au pointA. On notef′ la fonction dérivée def surR.
Partie a- par lecture graphique 1. Quel est le signe de f′(1) ? Justifier.
2. Que semble représenter le point Apour la courbeCf? 3. (a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale àI=
Z 3
0
f(x) dxu.a.
(b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :
06I69 106I612 206I624
Partie b - par le calcul
On admet que pour tout réelx,f(x) = (−x+ 5)e0,5x etf′(x) = (1,5−0,5x)e0,5x. On notef′′la fonction dérivée seconde def surR.
1. (a) Vérifier que, pour tout réel x,f′′(x) = 0,25(−x+ 1)e0,5x.
(b) Résoudre l’équationf′′(x) = 0. Montrer que le pointAest un point d’in- flexion de la courbeCf.
(c) Sur quel intervalle la fonctionf est-elle convexe ?Justifier.
2. Soit F la fonction définie, pour tout réelx, parF(x) = (−2x+ 14)e0,5x. On admet queF est une primitive def surR.
Calculer I= Z 3
0
f(x) dx.
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
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F17- Étude/fonc 5
BAC - Convexité
TaleES1
0 1 x
y
+
0,5
0,125 M
Cf Cg
D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1 -2 -3 -4
1 2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4
-5 0 x
y
b
B A
C Cf
D
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