Applications Feuille 7
Exercice7.1
Calculerf([−1,1]2), f(R+×[1,+∞[), f−1({4}), f−1(]− ∞,1])pour les fonctions deR2 dansRsuivantes : f(x, y) =x2+y2 etf(x, y) =x+y
Exercice7.2
Soitf une application deEdansF, et soitF0 une partie deF. Exprimerf(f−1(F0))en fonction deF0et def(E).
Exercice7.3
Déterminer f(R+), f(R∗−), f(]0,1]), f−1(R+) et f−1({−1}) lorsquef prend les valeurs suivantes : f(x) = ex, f(x) = lnx, f(x) = cosxetf(x) = 1
x.
Exercice7.4
Lorsquea∈R, on notefal’application deRdansRdéfinie par : pour toutx > 0, fa(x) =x+aet pour tout x≤0, fa(x) =x−a.
Pour quelsal’applicationfaest-elle injective (resp. surjective) ?
Exercice7.5
SoientEun ensemble etp:E −→Eune application telle quep◦p◦p=p.
1. Démontrer quepest injective si et seulement sipest surjective.
2. Démontrer que sipest injective ou surjective, alorsp◦p= IdE.
Exercice7.6
SoitF: R2−→R2
(x, y)7−→(x+y, xy)
1. Soit(S, P)∈R2. Déterminer le nombre de solutions de l’équationF(x, y) = (S, P)d’inconnue(x, y)∈R2. L’applicationF est-elle injective, surjective, bijective ?
2. Comment peut-on restreindreF pour qu’elle devienne bijective ? Au départ, on restreindra sur une partieA deR2telle queF(A) =F(R2).
Exercice7.7
Soit f : E −→ F une application. On note fbl’application « image directe » deP(E) dans P(F), etfd−1 l’application « image réciproque » deP(F)dansP(E).
1. Montrer quef est injective si et seulement sifbest injective (resp.fd−1est surjective).
2. Montrer quef est surjective si et seulement sifbest surjective (resp.fd−1est injective).
Exercice7.8
SoitE un ensemble. Montrer queEest infini si et seulement si, pour toutf : E −→ E, il existeA⊂E telle queA6=∅, A6=Eetf(A)⊂A.
Exercice7.9
SoitA, B, C, Ddes ensembles. Construire une bijection entreCA×Bet(CA)Bainsi qu’une injection deCA×DB dans(C×D)A×B.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE VII - APPLICATIONS
Exercice7.10
Soient E et F deux ensembles etf une application de E dans F. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes (oùP(F)désigne l’ensemble des parties deF) :
1. f est surjective
2. ∀y∈F, f(f−1{y}) ={y}
3. ∀Y ∈ P(F), f(f−1(Y)) =Y 4. ∀Y ∈ P(F), f−1(Y) =∅ ⇔Y =∅
Donner un énoncé analogue en remplaçant la première propriété parfest injective.
Exercice7.11
SoitE, F, G etH quatre ensembles. Soits : E −→ F,f : E −→ G,i : G −→ H et g : F −→ H des applications telles quesest surjective,iest injective, eti◦f =g◦s.
Montrer qu’il existe une unique applicationh : F −→Gtelle quef =h◦setg=i◦h.
Exercice7.12
Soitf etgdeux applications deNdansN. On suppose quef est surjective, quegest injective et que, pour tout n∈N, f(n)≥g(n).
1. Montrer quegest bijective.
2. Que peut-on dire defet deg?
Exercice7.13
SoientAetB deux parties non vides d’un ensembleE etf l’application deP(E)dansP(A)× P(B)définie parf(X) = (A∩X, B∩X).
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour quef soit injective.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour quef soit surjective.
3. Lorsquef est une bijection, déterminerf−1.
Exercice7.14
SoitE, E0, F, F0quatre ensembles,u : E0 −→Eetv : F −→F0deux applications.
On poseΦ : FE −→F0E0 f 7−→v◦f◦u
1. Montrer que siuest surjective etvinjective, alorsΦest injective.
2. Montrer que siuest injective etvsurjective, alorsΦest surjective.
3. Étudier les réciproques.
Exercice7.15
SoitE un ensemble infini etF un sous-ensemble deE, infini dénombrable1, tel que E\F est infini. Montrer qu’il existe une bijection deE surE\F.
1. en bijection avecN
Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea
