DETERMINANTS Exercices

(1)

1

DETERMINANTS Exercices

EXERCICE 1 :

Pour tout réelt , factoriser les déterminants ₁ ₂

1 1 1 4 0 3

2 1 3 1 3

1 1 1 0 0 1

t t

t , t

t t

D D

  

    

  

EXERCICE 2 :

Soient trois scalairesa,b etc

1) Calculer sous forme factorisée le déterminant

1 1 1

a b c a b c

ab ca bc

D    

2) A quelle condition la matrice

1 1 1

A a b c a b c

ab ca bc

 

 

    

est-elle inversible ?

EXERCICE 3 :

Soient trois réelsa,b etc

Calculer sous forme factorisée le déterminant

1 2

cos a cos a D cos b cos b cos c cos c



EXERCICE 4 :

Exprimer en fonction de x , le déterminant  

2 3

3 2

2 3

1 0

0 1

x x x

x x x x

x x x

D 

EXERCICE 5 :

Soit D_n le déterminant de taillensuivant :

3 1 0 0

2 3 1

0 2 0

1

0 0 2 3

Dn

L O M O O M O O O

L

1. Démontrer que, pour tout n1 , D_n_₂3D_n_₁2D_n 2. En déduire, pour tout n1 , la valeur de D_n

EXERCICE 6 :

Calculer le déterminant de la matrice

 

1 ^{ } 1

i n

i , j n

j n

A a _{ }

 

 M ¡ avec a_{i , j}  i j

(2)

2

Soit e ,...,e1 n une base d’un espace vectorielE avecn un entier supérieur ou égal à 2 Soit l’endomorphisme f deE défini par : i §1,n1¨, f e _i e_i_1 et f e n e1 Calculer le déterminant de l’endomorphisme f

EXERCICE 8 :

Que peut-on dire de la dimension d’une espace vectorielE sur¡ s’il existe un endomorphisme f deE vérifiant f² Id_E

EXERCICE 9 :

Soit  

1 1 1

2 2 2

n

n n n

a a a

A

a a a

 

 

  L L L L

M M M ¡

M M M

L L

M non nulle

1. Préciser le rang de la matrice A

2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit la matrice d’un projecteur

3. On pose B2Atr A I  _n . Calculer le déterminant de B

4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour queB soit inversible 5. Calculer B² .Calculer B^¹ dans le cas où B est inversible

EXERCICE 10 :

Soit uL



¡n X



.Calculerdet u  dans chacun des cas suivants : 1. ^{u P} ^{ }^P ^P'

2. u P P X  1 P X  3. u P XP'P 1 EXERCICE 11 :

On note J1 = 1 0 0 0 æ èç ö

ø÷^{, J}²⁼ 0 1 0 0 æ èç ö

ø÷^{, J}³⁼ 0 0 1 0 æ èç ö

ø÷^{et J}⁴⁼ 0 0 0 1 æ èç ö

ø÷ et on rappelle que la famille (J1, J2, J3, J4) est une base deM2

( )

¡ .

Montrer que (J1 – J4, J2, J3, I) est une base de M2

( )

¡ . EXERCICE 12 :

Soit dans ¡³ la famille de vecteurs e ,e ,e1 2 3 avec e1=

(

1,1, ;t e

)

2=

(

1, ,1 ;t

)

e3=

(

t,1,1

)

Pour quelles valeurs de t la famille e ,e ,e1 2 3est libre

(3)

3 EXERCICE 13 :

On note B=

(

e e e e1, 2, ,3 4

)

la base canonique de ¡⁴, et f l’endomorphisme de ¡⁴ associé à la

matrice

1 1 1 3

1 1 1 2

0 1 0 1

1 1 0 2

K

- -

æ ö

ç - ÷

ç ÷

=ç - ÷

ç ÷

ç - ÷

è ø

relativement à la base B.

On considère les quatre éléments suivants de ¡⁴: v1=e1, v2 = f e

( )

1 ,v3 =e3 ,v4 = f e

( )

3

1) Calculer K². En déduire que la matrice K est inversible et déterminer K^-¹.Que peut-on déduire pour l’endomorphisme f ?

2) a. Montrer que la famille C=

(

v v v v1, 2, ,3 4

)

est une base de ¡⁴.

b. Exprimer f v

( ) ( ) ( ) ( )

1 ,f v2 ,f v3 ,f v4 en fonction de v v v v₁, ₂, ,₃ ₄et en déduire la matrice K' associée à f relativement à la base C.

c. Déterminer la matrice de passage P de la base B à la base C.

d. Rappeler l'expression de K' en fonction de K P P, , ^-¹. EXERCICE 14 :

EXERCICE 15 :

Montrer que la famille P P P1, 2, 3 est une base de E EXERCICE 16 :

(4)

4 Soient n¥,n2 et 1 

n

a ,...,an K , les n scalairesa ,...,a₁ sont supposés distincts deux à

deux. On note  

1

1 1

1

2 2

1

1 1 1

n n n

n

n n

a a

DV a ,...,a

a a





L L M M M M

L

1. Considérons l’application  ₁ _n ₁ 

K K

f : x DV a ,...,a_ ,x

 



 a

Montrer quef est une fonction polynomiale de degré au plus n1 et déterminer le coefficient dexⁿ^¹

2. Montrer que : i §1,n1¨,a_iest racine def .En déduire une écriture factorisée de

 

f x

3. Ecrire  

1

1 1

1

2 2

1

1 1 1

n n n

n

n n

a a

DV a ,...,a

a a





L L M M M M

L

sous forme factorisée

EXERCICE 18 : VERS LA PT et au-delà …

On appelle polynôme caractéristique d’une matrice AMn K le polynôme c_A vérifiant

   

A n

K , det I A

l c l l

   

Le scalaire l est dit valeur propre de la matrice A si l est racine de c_A , c’est-à-dire

  0 c lA 

Déterminer les valeurs propres des matrices A suivantes :

1 1 1

A

 

 

   

; réponse : -2 et 1.

4 0 2

0 1 0

5 1 3

A

  

 

 

; réponse : 1 et 2

1 2 3

1 2 2 2

6 3 2 1

A

 

 

  

; réponse : ¹ 0 1 3, ,



(5)

5 EXERCICE 19 :

On considère l’endomorphisme de ℝ dont la matrice dans la base canonique = ; ; est :

= = 2 1 1

1 2 1 0 0 2 1. On note ( ) le polynôme défini par :

= é − = − 2 − 1 − 1

− 1 − 2 − 1

0 0 − 2

Déterminer ce polynôme, vérifier qu’il est de degré 3. Ce polynôme est-il scindé dans ℝ ? à racines simples dans ℝ ?

On note ≤ ≤ les racines de .

2. On définit ′ = 1; − 1; 0 ; ′ = 1; 1; − 1 ; ′ = 1; 1; 0 . Calculer ′ ; ′ et ′ .

Vérifier que ′ ∈ − _ℝ ; ′ ∈ − _ℝ et ′ ∈ − _ℝ .

3. Montrer que ℬ = ′ ; ′ ; ′ est une nouvelle base de ℝ . 4. Construire la matrice de l’endomorphisme dans la base ℬ.

EXERCICE 20 : CONCOURS PT 2019 épreuve A

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