Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°8 Applications
Exercice 54
Soient les applications ¯¯¯
¯ f1: R → R
x 7→ x+1
et ¯¯¯
¯ f2:R → R x 7→ x2. 1. Démontrer que la composéef2◦f1est bien définie et la calculer.
2. Démontrer que la composéef1◦f2est bien définie et la calculer.
3. Comparer les applicationsf2◦f1etf1◦f2, puis commenter.
Exercice 55
Soit l’application ¯¯
¯¯ f : ¤
−∞,15£
→ R
x 7→ ln(1−5x) Déterminer deux applications « usuelles » f1etf2telles que
• la composéef2◦f1existe ;
• f =f2◦f1.
On justifiera que les deux applications f1etf2sont bien définies.
Exercice 56
SoitIun intervalle deRqui n’est ni vide, ni un singleton. Soitf:I→Rune application.
1. On supposef strictement croissante surI. Démontrer qu’alorsf est injective.
2. On supposef injective. Démontrer que l’application−f définie par
¯¯
¯¯
−f : I → R x 7→ −f(x) est également injective.
3. On supposef strictement décroissante surI. Démontrer qu’alorsf est injective, en utilisant les deux questions précédentes.
4. On supposef monotone (i.e. croissante ou décroissante) surI. L’application f est-elle alors nécessai- rement injective ?
Exercice 57
Étudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité des applications suivantes.
¯¯
¯¯ f1: N → N
n 7→ n+1
¯¯
¯¯ f2: Z → Z n 7→ n+1
¯¯
¯¯
¯¯
f3: N → N
n 7→
½ 0 sin=0
n−1 sin≥1
¯¯
¯¯
¯¯
f4: R → R
x 7→ x2+x
¯¯
¯¯ f5: R → U θ 7→ eiθ
¯¯
¯¯ f6: C → C z 7→ z3
¯¯
¯¯ f7: R2 → R2
(x,y) 7→ ¡
x−y,x2−y2¢
¯¯
¯¯ f8: R2 → R3
(x,y) 7→ (x,x+y,y)
¯¯
¯¯ f9: P(Z) → P(Z)
A 7→ A∩N
Exercice 58
Soit l’application ¯¯
¯¯ f : R → R
x 7→ 7x−3.
Démontrer que l’applicationf est bijective et déterminer son application réciproque.
Exercice 59 Soit l’application
¯¯
¯¯
¯
f : C\ {3} → C\ {i} z 7→ i z−i
z−3. 1. Démontrer que l’applicationf est bien définie.
2. Démontrer que l’applicationf est bijective et déterminer son application réciproque.
Exercice 60
Soit l’application ¯
¯¯
¯ f : R2 → R2
(x,y) 7→ (2x−y,x+3y).
Démontrer que l’applicationf est bijective et déterminer son application réciproque.
Exercice 61
SoitEun ensemble. Soitf :E→Eune application telle quef ◦f =i dE. 1. Démontrer quef est bijective.
2. Déterminerf−1.
Exercice 62
SoientEetFdeux ensembles. Soitf:E→Fune application. On suppose qu’il existe deux applications g:F→Eeth:F→Etelles que
f◦g=i dF et h◦f =i dE. 1. Démontrer quef est bijective.
2. Démontrerg=h=f−1.
Exercice 63
SoientEetFdeux ensembles. Soient deux applicationsf:E→Fetg:F→E. On suppose queg◦f ◦g◦f est surjective et quef ◦g◦f ◦gest injective. Démontrer quef etgsont bijectives.
Exercice 64
SoitEun ensemble non vide. Soit (A,B)∈P(E)2. Soit l’application
¯¯
¯¯ f : P(E) → P(A)×P(B) X 7→ (A∩X,B∩X).
1. Démontrer quef est surjective si et seulement siA∩B= ;.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour quef soit injective.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour quef soit bijective.
Exercice 65
1. Soit l’application
f : [−1,3] → R x 7→ 3−2x.
(a) Calculer l’ensemblef([0,2]).
(b) Calculer l’ensemblef−1([−2,8]).
2. Soit l’application
f : R → R
x 7→ x2+2x.
(a) Calculer l’ensemblef([−3,2]).
(b) Calculer l’ensemblef−1([−10,22]).
Exercice 66 On fixe un repère³
O;→− i,−→
j´
du plan. Soit l’application
¯¯
¯¯ f : R2 → R2
(x,y) 7→ (x+y,x y).
1. Étudier l’injectivité def.
2. Démontrer quef n’est pas surjective.
3. Déterminer l’ensemblef(R2) et le représenter graphiquement.
4. Déterminer une partieDdeR2, que l’on représentera graphiquement, telle quef induise une bijection fedeDsurf(R2).
5. Expliciterfe−1.
Exercice 67
SoientEetFdeux ensembles. Soitf:E→Fune application. On supposef injective.
1. Justifier que l’application ¯
¯¯
¯
fe: E → f(E) x 7→ f(x) est bien définie.
2. Démontrer quefeest bijective1.
Exercice 68
1. SoientE etF deux ensembles. Soit f:E →F une application. On suppose f injective. Démontrer qu’alors
∀A∈P(E), ∀B∈P(E), f(A∩B)=f(A)∩f(B).
2. Donner deux ensemblesEetF, une application f:E→Fet deux partiesA,BdeEtelles que : f(A∩B)6=f(A)∩f(B).
1. L’applicationfeest appelée bijection induite par l’application injectivef.
