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Soit F une famille non vide de parties d'un ensemble E telle que : ∀(A, B)∈(P(E))2,∃C∈ Ftel que C⊂A∩B

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Academic year: 2022

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UFR Math-Info 06.10.08 MHT 411 Agèbre 3(Info)

Devoir maison 1

Exercice 1. Soient A et B deux parties données d'un ensemble E. On considère l'application

f : P(E)−→ P(A)× P(B)

X 7→(X∩A, X∩B)

1. Montrer quef est injective si et seulement si(ssi)A∪B =E.

2. Montrer quef est surjective ssiA∩B=∅. Donner une condition nécessaire et susante portant surA etB pour quef soit bijective.

Exercice2. Soit F une famille non vide de parties d'un ensemble E telle que :

∀(A, B)∈(P(E))2,∃C∈ Ftel que C⊂A∩B. DansP(E),on dénit la relationRpar :

XRY ssi∃A∈ Ftel que A∩X=A∩Y.

1) Montrer queRest une relation d'équivalence dansP(E). 2) Montrer que pour toutX appartenant àP(E), on a

cl(X) ={Y ∈ P(E) : Y = (A∩X)∪B, avec A∈ F, et B⊂Ac}, oùcl(X)désigne la classe deX etAc le complémentaire de A dansE.

Exercice 3. DansC*, on considère la relationRdénie par :

|z|z0 = z0

z

1. Montrer queRest une relation d'équivalence et déterminer la classecl(z) d'un élémentzdeC∗.

On désigne parU l'ensemble{z∈C∗;|z|= 1}, parf l'applicationz7−→ |z|z deC∗dansU et pars:C∗→C∗/Rla surjection canonique.

2. Montrer que l'applicationf est surjective et non injective.

3. Montrer qu'il existe une unique applicationf˜:C∗/R →U telle quef˜◦s= f

4. Montrer quef˜est bijective.

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