Colle PC Semaines 24 et 25 2013-2014
EXERCICE 1 :
Soit E un espace vectoriel de dimension n sur C, et f un endomorphisme de E pour lequel il existe une base (ei)16i6n deE vérifiant :
f(ei) =ei+1 (16i6n−1) f(en) =
n
X
i=1
an−i+1ei oùak ∈C 1. Déterminer le polynôme caractéristique def.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour quef soit diagonalisable.
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Corrections
EXERCICE 1 :
Soit E un espace vectoriel de dimension n sur C, et f un endomorphisme de E pour lequel il existe une base (ei)16i6n deE vérifiant :
f(ei) =ei+1 (16i6n−1) f(en) =
n
X
i=1
an−i+1ei oùak ∈C 1. Matrice def dans la base (ei)16i6n
A=
0 0 . . . 0 an
1 0 0 an−1
0 1 . .. ... ... ... ... . .. ... ... 0 0 . . . 1 a1
PosonsDn = det(A−xIn) =
−x 0 . . . 0 an 1 −x . . . 0 an−1
0 1 . .. ... ... ... ... −x ... 0 0 . . . 1 a1−x
En développant par rapport à la première ligne, on a :
Dn=−xDn−1+ (−1)n−1an
où Dn−1 est obtenu en supprimant la première ligne et la première colonne à Dn; de sorte qu’en réitérant le développement par rapport à la première ligne, pourk∈ {1,2, . . . , n}, on a
Dk =−xDk−1+ (−1)k−1ak et D0= 1
Une écriture pour chaque valeur de kconduit aux égalités suivantes qui multipliées par des puissances de (−x) permettront des simplifications
Dn=−xDn−1+ (−1)n−1an
Dn−1=−xDn−2+ (−1)n−2an−1 ×(−x) Dn−2=−xDn−3+ (−1)n−3an−2 ×(−x)2
. . .=. . . .
D1=−xD0+ (−1)0a1 ×(−x)n−1 somme membreàmembre
n
X
k=1
(−x)n−kDk =
n
X
k=1
[(−x)n−k+1Dk−1+ (−1)n−1xn−kak] ((−1)k−1(−x)n−k = (−1)n−1xn−k)
=
n−1
X
k=0
(−x)n−kDk+ (−1)n−1
n
X
k=1
xn−kak
après simplif ication des sommes Dn= (−1)n
"
xn−
n
X
k=1
xn−kak
#
2. La ou les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de f. Si xest une valeur propre de f, au regard de la matrice A−xIn, qui est de rang n−1 (n−1 premières colonnes), on peut donc dire que dim(Ker(A−xIn)) = 1. Ainsi pour quef soit diagonalisable la valeur propre doit être simple.
Une CNS pour quef soit diagonalisable est donc que le polynômexn−
n
X
k=1
xn−kak ait toutes ses racines simples.
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