Cette fonction n’est donc pasg, mais on peut dire qu’il s’agit de la restriction deg à l’intervalle ]0;π/2

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EXERCICE 1 :

Corrigé en classe le 11/09/2014

EXERCICE 2 :

La fonction sin est définie surR. Elle s’annule pourx=kπ, k∈Z, doncDg={x∈R, tels quex6=kπ, k∈Z}= R−πZ . La fonction

]0;π/2]−→R x7−→ x

sin(x)

possède le même « mécanisme » queg, en revanche elle n’est définie que sur ]0;π/2]⊂Dg. Cette fonction n’est donc pasg, mais on peut dire qu’il s’agit de la restriction deg à l’intervalle ]0;π/2] ; elle se noteg _]0;π/2]. (barre verticale et l’ensemble)

EXERCICE 3 :

Dk =R(x²+ 1 ne s’annule pas surR) etDm=R−

−√ 2;√

2 .

EXERCICE 4 : Soit la fonction

f :Df−→R

x 7−→ x

x²+x+ 1 1. Justifier queDf =R;

Df =

x∈Rtels quex²+x+ 16= 0 ; or le discriminant de x²+x+ 1 étant négatif, l’expression n’admet pas de racine réelle et elle ne s’annule pas. Ainsi, Df=R .

2. ∀x∈R, f(x)−3 = x

x²+x+ 1−3 =

mêm.dénom· · ·= −3x²−2x−3 x²+x+ 1 ;

3. Commex²+x+1>0 pour toutxréel, le signe def(x)−3 est le même que celui de−3x²−2x−3 pour toutx∈R.

Or le discriminant de−3x²−2x−3 étant négatif, l’expression est du signe dea=−3, ainsi

−3x²−2x−3<0, ∀x∈R=⇒f(x)−3<0,∀x∈R⇔ f(x)<3,∀x∈R On peut donc en conclure que 3 est unmajorant def ou quef estmajoréepar 3.

4. f est minorée par −2 : A la lueur de ce qui vient d’être fait, il est naturel de « fabriquer » l’expression f(x)−(−2) =f(x) + 2 et de rechercher son signe pour tout xréel.

∀x∈R, f(x) + 2 = x

x²+x+ 1+ 2 =

mêm.dénom· · ·= 2x²+ 3x+ 2 x²+x+ 1 ;

Commex²+x+ 1>0 pour toutxréel, le signe def(x)+ 2 est le même que celui de 2x²+ 3x+ 2 pour toutx∈R.

Or le discriminant de 2x²+ 3x+ 2 étant négatif, l’expression est du signe dea= 2, ainsi 2x²+ 3x+ 2>0, ∀x∈R=⇒f(x) + 2>0,∀x∈R⇔ f(x)>−2,∀x∈R On peut donc en conclure que−2 est unminorant def ou quef estminoréepar−2.

On peut donc conclure que, pour toutxdeR,−26f(x)63. On dit quef est bornée.

Ce qui suit à pour objectif de trouver d’autres majorants def et éventuellement

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5. Soitmun réel. On posegm(x) =f(x)−m etQm(x) =−mx²+ (1−m)x−m (a) et b)∀x∈R, gm(x) =f(x)−m= x

x²+x+ 1 −m= x−m(x²+x+ 1)

x²+x+ 1 = Qm(x) x²+x+ 1.

Le même raisonnement précédemment utilisé est reconduit :gm(x) est du signe deQm(x) ; on calcule donc le discriminant ∆m= (1−m)²−4m²= (1−m−2m)(1−m+ 2m) = (1−3m)(1 +m)

On peut donc rassembler le signe de ∆m dans un tableau m

1 −3m 1 +m Signe de ∆m

Signe deQm(x)

−∞ −1 1

3 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

Qm(x)>0(−m >0)^∗ pas de signe constant Qm(x)<0(−m <0)^∗ (^∗)Comme ∆m est négatif,Qm(x) est de signe constant celui du coefficient−m dex².

c) L’heure est venue de faire une synthèse :

• m∈]− ∞;−1[ : ∀x ∈ R, Qm(x) > 0 ⇒ gm(x) >0 ⇔ f(x)−m > 0 ⇔ f(x) > m. m est donc un minorant def.

• m∈]1/3; +∞[ : ∀x ∈ R, Qm(x) < 0 ⇒ gm(x) < 0 ⇔ f(x)−m < 0 ⇔ f(x) < m. m est donc un majorant def.

• m∈]−1; 1/3[ :Qm(x) n’est pas de signe constant doncf(x)−mnon plus,mn’est donc ni un majo- rant, ni un minorant « global » def. (« global » :∀x∈R)

• m=−1 :∀x∈R, Q₋1(x) =x²+2x+1 = (x+1)²⇒g₋1(x) = (x+ 1)²

x²+x+ 1 ⇔f(x)+1 = (x+ 1)² x²+x+ 1 ⇒ f(−1) =−1 etf(x)>−1 pour toutx∈R.−1 est donc un minimum def (c’est à dire qu’il est « atteint » pour une valeur dex, en l’occurence−1).

• m= 1/3 :∀x∈R, Q1/3(x) =−1/3(x−1)²⇒g1/3(x) =− (x−1)²

3(x²+x+ 1) ⇔f(x)−1

3 =− (x−1)² 3(x²+x+ 1) ⇒ f(1) = 1

3 et f(x)< 1

3 pour toutx∈R. 1

3 est donc un maximum de f (c’est à dire qu’il est « atteint » pour une valeur dex, en l’occurence 1).

EXERCICE 5 :

r: [−2; 1/3]−→R x 7−→p

−3x²−5x+ 2

r(−2) = 0 etr(1/3) = 0. On doit étudier les variations dersur [−2; 1/3] :r=√ uavec u: [−2; 1/3]−→R

x 7−→ −3x²−5x+ 2 rest dérivable sur ]−2; 1/3[ etr^′ = u^′

2√ u.

c’est ainsi que, pour toutx∈]−2; 1/3[, r^′(x) = −6x−5 2√

−3x²−5x+ 2.r^′(x) est du même signe que−6x−5 sur l’intervalle ]−2; 1/3[ car√

−3x²−5x+ 2>0 sur cet intervalle. On obtient le tableau de variations suivant :

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x

Signe der^′(x) Variations

der

−2 −⁵6

1 3

+ 0 −

0 0

r(−⁵₆) = ⁷

2√

r(−⁵₆) = ⁷3 2√ 3

0 0

En conséquence de quoi : r([−2; 1/3]) =

0; 7 2√

3

EXERCICE 6 :

On démontre que s([0; 1]) = [cos(1); 1] (la fonction cos est strictement décroissante sur [0; 1]).

O

b bbbbb

−π/2

π/2 1

cos(1) 1

1

C^cos

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