REPERAGE DANS LE PLAN 1 EXERCICE
Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ; ; ), on donne les points : (−2 ; 3) , (1 ; −3) , (5 ; −1), (2; 5) .
1.a. Placer ces points dans le plan rapporté au repère ( ; ; )
b. Calculer les distances et
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= √65
2
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2. Soit I le milieu du segment [ ]
a. Déterminer les coordonnées du point .
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b. Expliquer pourquoi les points , et appartiennent à un même cercle de centre I.
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c. Donner son rayon R.
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3
d. Le point appartient-il à ce même cercle de centre I et de rayon R.
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2. Soit le point défini par la relation vectorielle = a. Calculer les coordonnées du point
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b. Que représente le point G pour le triangle ABC ?
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CORRECTION 4
Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ; ; ), on donne les points : (−2 ; 3) , (1 ; −3) , (5 ; −1), (2; 5) .
1.a. Placer ces points dans le plan rapporté au repère ( ; ; )
b. Calculer les distances !" et "#
= $(%&− %') + ()&− )')
= $(1 − (−2)) + (−3 − 3)
= $(1 + 2) + (−6)
= $(3) + (−6)
= √9 + 36
= √45
!" = ,√-
= $(%.− %&) + ().− )&)
= $(5 − 1) + (−1 − (−3))
= $(4) + (−1 + 3)
= $(4) + (2)
= √16 + 4
= √20
"# = 0√- c. Sachant que = √65 , en déduire la nature du triangle . On calcule d’une part AC²:
= √65
² = 2√653²
² = 65
On calcule d’autre part ² + ²:
² + ² = 2√453 + 2√203
² + ² = 45 + 20 + = 65
2. Soit I le milieu du segment [!#]
5
a. Déterminer les coordonnées du point 5.
%6=%'+ %&
2
%6=−2 + 1 2
%6=−1 2
)6=)'+ )&
2 )6=3 − 3
2 )6= 0 Donc 5 (−;
< ; =)
b. Expliquer pourquoi les points !, " et # appartiennent à un même cercle de centre I.
On sait que le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
Or, si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit, cercle qui passe par tous les sommets du triangle.
L’hypoténuse du triangle ABC est le côté [AB] et le milieu de [AB] est I (voir question 2a).
On en déduit que I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et qu’il passe bien par les points A, B et C.
c. Donner son rayon R.
[AB] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le rayon est la moitié du diamètre, soit > = !"< =,√-<
d. Le point ? appartient-il à ce même cercle de centre I et de rayon R.
Non, le point D n’appartient pas au cercle de centre I et de rayon R car D n’est pas un sommet du triangle ABC.
2. Soit @ le point défini par la relation vectorielle "@ =<, "5 a. Calculer les coordonnées du point @
b. (−2 ; 3) , (1 ; −3) , (5 ; −1), (2; 5) .
=2 3 A%B− %&
)B− )&C A %B− 1
)B− (−3)C A%B− 1 )B+ 3C A%6− %&
)6− )&C D− 12 − 1
0 − (−3)E D− 12 −2
0 + 3 E D2 − 32 3 E
6
F%B− 1 =2
3 × A−3 2C )B+ 3 =2
3 × 3
⇔ I%B− 1 = −1 )B+ 3 = 2
⇔ I%B = −1 + 1 )B= 2 − 3
⇔ I %B = 0 )B = −1
@ (=; −;)
c. Que représente le point G pour le triangle ABC ? Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.
En effet, le point se situe au du segment [BI] où I est le milieu de [AB].
