Sujet 4

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Sujet 4

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Exercice 1 :

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse . 1. On considère la suite (tn) définie pour tout entier naturel n par : t0 = 0 et pour tout entier naturel n,

  

1

1 2

n n

t t

n n

  

  . Proposition 1 : Pour tout entier naturel n,

n 1 t n

n

 .

2. On considère trois suites (un), (vn) et (wn) définies sur telles que : pour tout entier naturel n,

n n n

u w v .

Proposition 2 : Si les suites (un)et (vn) sont adjacentes alors la suite (wn) est convergente.

3. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle [0 ; 1].

Proposition 3 : Si ¹   ¹  

0 0

f x dx g x dx

 

alors f = g sur l’intervalle [0 ; 1].

Exercice 2:

1)

Mettre (1-3i)² sous forme algébrique.

2)

a) Résoudre dans l’équation : z²+(1+i)z+2+2i=0.

b) Mettre les solutions sous forme exponentielle.

3) Le plan est munie d’un repère orthonormé



^{O u v}^{, ,}



^.

On donne les points A, B , C et D d’affixes respectives zA=-1+i ; zB=-2i ; zC=6 et zD=5+3i.

Montrer que ABCD est un rectangle.

4) A tout point M d’affixe z^ -2i on associe le point M’ d’affixe ^'

2 z iz

z i

  . déterminer les ensembles E={M(z) ; z’ réel} et F={M(z) ; |z|=1}

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Exercice 3:

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace , ABCDEFGH est un parallélépipède droit tel que AB=3, AD=1 et AE=4. I est le milieu de [CH].

L’espace est munie du repère



^{A i j k}^{, , ,}



^{tel que}

 A B ;  A D  A E

i i et k

A B A D A E

.

1) Déterminer les coordonnées des points B, D, H et I.

2) a) déterminer les composantes du vecteur nDBDI. b) en déduire une équation cartésienne du plan P=(BDI).

3) calculer le volume du tétraèdre HBID.

4) soit ∆ la droite menée de H et perpendiculaire au plan P.

a) donner une représentation paramétrique de ∆.

b) déterminer les coordonnées du point d’intersection O de ∆ et P.

5) soit S la sphère de centre H et passant par D.

a) donner l’équation cartésienne de S.

b) justifier que S coupe P .

c) préciser l’intersection de S et P.

Exercice 4:

Dans la figure ci-dessous :

(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O, i, j}



^{, d’une}

fonction f définie sur ]0,+∞[ ; (D) la droite d’équation x=y.

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1) par une lecture graphique : a) déterminer f(1), f’(1).

b) étudier le signe de f(x)-x, pour x≥0.

2) on admet que la fonction f est définie par f (x) x x² ln x x 0 f (0) 0

  

 

 .

f (x) f (0) x x² ln x

lim lim lim 1 x ln x 1

x x

x 0 x 0 x 0

 

   

  

  

montrer que f est

dérivable en 0 ; et vérifier que D est la tangente à (C) au point d’abscisse 0.

3) ∝ un réel appartenant à ]0,1[ ; on désigne par A(∝) la mesure de l’aire de la partie du plan limitée par (C) ; la droite (D) et les droites d’équation x=∝ et x=1.

a) calculer en utilisant une intégration par partie A(∝).

b) calculer

0

lim A( )

   . 4) soit U la suite définie par ⁰

n 1 n

U 1 2

U _ f (U ) ; n IN

 



  



. a) montrer que , pour tout n∈IN ; 0<Un<1 .

b) montrer que la suite U est décroissante.

c) en déduire que U est convergente et calculer sa limite.