11 Exercices type oral 11.1 Mélange eau-glace
On mélange sous 𝑃 = 1𝑏𝑎𝑟 une masse 𝑚1 d’eau liquide à 𝑇1 = 300𝐾 et une masse 𝑚2 de glace à 𝑇2= 270𝐾. La température de changement d’état sous cette pression est 𝑇𝑓 = 273𝐾, avec une enthalpie de fusion 𝑙𝑓 = 334𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1. Les capacités thermiques massiques de l’eau liquide et de la glace sont respectivement 𝑐1= 4,2.103𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1 et 𝑐2 = 2,1.103𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1.
On suppose que le récipient dans lequel évolue le système est calorifugé : on considère la transformation adiabatique et isobare.
1) A partir de quelle valeur du rapport 𝑚1/𝑚2, l’eau est-elle intégralement liquide dans l’état final à le température 𝑇𝑓 ?
2) Même question pour un état solide.
3) Entre les deux valeurs trouvées précédemment, quel est l’état du système à l’équilibre ? 1) Eau liquide à l’état final
L’eau sera liquide dans l’état final si sa température finale est supérieure à Tf.
Masse m1 d’eau liquide (état initial : liquide ; état final : liquide) = refroidissement isobare sans changement d’état jusqu’ à Tf: 𝑑𝐻1= 𝑚1𝑐1𝑑𝑇 ⇒ 𝛥𝐻1= 𝑚1𝑐1(𝑇𝑓− 𝑇1)
Masse m2 de glace (état initial : solide ; état final : liquide) = échauffement isobare sans changement d’état jusqu’à Tf
et fusion à Tf : 𝑑𝐻2 = 𝑚2𝑐2𝑑𝑇 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇 ≤ 𝑇𝑓
𝑑𝐻2 = 𝑑𝑚2𝑙𝑓 à 𝑇 = 𝑇𝑓 } 𝛥𝐻2= 𝑚2𝑐2(𝑇𝑓− 𝑇2) + 𝑚2𝑙𝑓
L’enthalpie est une grandeur extensive, la variation d’enthalpie du système global est donc la somme des deux variations d’enthalpie précédentes : 𝛥𝐻 = 𝛥𝐻1+ 𝛥𝐻2
Or, la transformation est isobare, on peut donc égaler variation d’enthalpie et transfert thermique. Enfin, le récipient est calorifugé, il n’y a donc pas de transfert thermique vers l’extérieur, la variation d’enthalpie est donc nulle : 𝛥𝐻 = 𝑄𝑃= 0
On a donc : 𝑚1𝑐1(𝑇𝑓− 𝑇1) + 𝑚2𝑐2(𝑇𝑓− 𝑇2) + 𝑚2𝑙𝑓= 0 ⇔ 𝑚1
𝑚2= −𝑐2(𝑇𝑓−𝑇2)+𝑙𝑓
𝑐1(𝑇𝑓−𝑇1) = 3
Remarque : on a forcément un rapport supérieur à 1 car l’enthalpie massique de changement d’état est très supérieure aux variations d’enthalpie mises en jeu dans les variations de température.
2) Eau solide à l’état final
L’eau sera solide dans l’état final si sa température finale est inférieure à Tf. Par le même raisonnement, on obtient : Masse m1 d’eau liquide (état initial : liquide ; état final : solide) = refroidissement isobare sans changement d’état jusqu’ à Tf et solidification à Tf: 𝛥𝐻1= 𝑚1𝑐1(𝑇𝑓− 𝑇1) − 𝑚1𝑙𝑓
Masse m2 de glace (état initial : solide ; état final : solide) = échauffement isobare sans changement d’état jusqu’à Tf : 𝛥𝐻2= 𝑚2𝑐2(𝑇𝑓− 𝑇2)
On a donc : 𝑚1𝑐1(𝑇𝑓− 𝑇1) − 𝑚1𝑙𝑓+ 𝑚2𝑐2(𝑇𝑓− 𝑇2) = 0 ⇔ 𝑚𝑚1
2= −𝑐𝑐2(𝑇𝑓−𝑇2)
1(𝑇𝑓−𝑇1)−𝑙𝑓= 0,014 3) Entre les deux valeurs précédentes
Le système final se retrouve sous un mélange diphasé, on peut alors définir un taux de liquide (analogue au titre massique en vapeur) variant entre 0 (𝑚1
𝑚2= 0,014)et 1(𝑚1
𝑚2= 3) tel que : 𝑥 =𝑚𝑚𝑙
𝑙+𝑚𝑠
11.2 Détermination de l’état du fluide
A la sortie d’une turbine, sous 𝑃 = 20𝑏𝑎𝑟, un fluide a été récupéré. L’équilibre liquide-vapeur a lieu à 𝑇𝑒.Son enthalpie massique est notée ℎ. Les tables de vapeur fournissent les renseignements suivants :
Pression Température Enthalpie massique du liquide saturant Enthalpie massique de la vapeur saturante sèche
𝑃 = 𝑇𝑒= 485 𝐾 ℎ𝑙(𝑇𝑒) = 909𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ℎ𝑣(𝑇𝑒) = 2801𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1
20𝑏𝑎𝑟
Déterminer l’état du fluide si ℎ = 2000𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1. Quelle est alors la température ?
L’enthalpie massique du fluide récupéré se situe entre les deux enthalpies massiques du liquide saturant et de la vapeur sèche saturante : ℎ𝑙 < ℎ < ℎ𝑣
Le fluide se trouve donc à l’état de vapeur saturante.
D’après la règle des moments, on a : ℎ(𝑥) = ℎ𝑙+ (ℎ𝑣− ℎ𝑙)𝑥 ⇒ 𝑥 = ℎ−ℎ𝑙
ℎ𝑣−ℎ𝑙= 0,58
La pression est fixée à 20 bar, on se trouve donc à la température de changement d’état Te = 485 K.
11.3 Détermination de l’état d’une vapeur
On considère un extrait d’une table thermodynamique d’un fluide très utilisé dans les installations domestiques.
Pression Température Enthalpie massique du liquide saturant Enthalpie massique de la vapeur saturante sèche
5𝑏𝑎𝑟 𝑇1= 273𝐾 ℎ𝑙(𝑇1) = 200𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ℎ𝑣(𝑇1) = 405𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 13𝑏𝑎𝑟 𝑇2= 307𝐾 ℎ𝑙(𝑇2) = 242𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ℎ𝑣(𝑇2) = 416𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 1) Quelles sont l’enthalpie et l’entropie massiques de vaporisation de ce fluide à 0°C ?
2) Préciser la température et l’enthalpie massique d’un mélange liquide-vapeur de titre massique égal à 30%, sous une pression de 13 bar.
3) Une évolution isenthalpique fait passer une quantité fixée de fluide, de la pression 13 bar à la pression 5 bar.
L’état initial est liquide saturant. Déterminer la température et la composition du fluide après évolution.
4) Lorsque les pressions dans l’état initial et dans l’état final sont les mêmes que précédemment, mais à partir d’un état initial de vapeur saturante sèche, l’état final est-il un mélange liquide-vapeur ? Peut-on en préciser la température à l’aide des données fournies ?
1) Enthalpie et l’entropie massiques de vaporisation
Enthalpie massique de vaporisation : 𝑙𝑣= ℎ𝑣− ℎ𝑙 = 205𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 Entropie massique de vaporisation : 𝛥𝑠𝑣 = 𝑠𝑣− 𝑠𝑙 =ℎ𝑣−ℎ𝑙
𝑇𝑣 = 751𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1 2) Température et l’enthalpie massique
La température est celle du changement d’état : 307 K.
Règle des moments : ℎ(0,3) = ℎ𝑙+ (ℎ𝑣− ℎ𝑙)0,3 = 294𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 3) Evolution isenthalpique
L’enthalpie massique finale est égale à : ℎ𝑓 = ℎ𝑙(13𝑏𝑎𝑟) = 242𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ⇒ ℎ𝑙(5𝑏𝑎𝑟) < ℎ𝑓 < ℎ𝑣(5𝑏𝑎𝑟) Règle des moments : ℎ𝑓 = ℎ𝑙+ (ℎ𝑣− ℎ𝑙)𝑥 ⇒ 𝑥 = 0,20
Donc, l’état final est un mélange liquide-vapeur avec 20% de vapeur. La température est donc 273K.
4) Etat initial de vapeur saturante sèche
L’enthalpie massique finale est égale à : ℎ𝑓 = ℎ𝑣(13𝑏𝑎𝑟) = 416𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ⇒ ℎ𝑣(5𝑏𝑎𝑟) < ℎ𝑓 Donc la vapeur est sèche après la transformation. Impossible de déterminer sa température finale.
11.4 Machine à vapeur : cycle de Rankine
Dans une machine à vapeur, l’eau décrit un cycle de Rankine :
- AB : l’eau liquide (𝑃1, 𝑇1) à saturation est comprimée de façon isentropique dans une pompe jusqu’à la pression 𝑃2 de la chaudière. Cette transformation se fait pratiquement sans variation de volume. On raisonne sur l’unité de masse.
- BD et DE : l’eau liquide est injectée dans la chaudière, s’y réchauffe jusqu’à 𝑇2 (BD) et s’y vaporise (DE) à la pression
2) Exprimer le rendement de ce moteur thermique uniquement en termes enthalpiques : 𝜌 = 𝑓(𝐻𝐴, 𝐻𝐵, 𝐻𝐸, 𝐻𝐹).
3) Donner l’allure du cycle en diagramme entropique (T,s) fourni.
4) A partir de données expérimentales, calculer le rendement du cycle.
Données :
Liquide Vapeur
𝑃(𝑏𝑎𝑟) 𝑇(°𝐶) 𝑠𝑙(𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1) ℎ𝑙(𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1) 𝑠𝑣(𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1) ℎ𝑣(𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1)
𝑃1= 0,2 𝑇1= 60 0,83 251 7,9 2608
P2 = 12 T2 = 188 2,2 798 6,52 2783
Diagramme entropique de l’eau :
1) Diagramme de Clapeyron
La transformation AB est une isentropique sans variation de volume. En utilisant la première identité thermodynamique, on a : 𝑑𝑆 =𝑑𝑢
𝑇 +𝑃
𝑇𝑑𝑉 = 𝑐𝑣𝑑𝑇
𝑇 +𝑃
𝑇 𝑑𝑉
𝑉 ≈ 𝑐𝑣𝑑𝑇
𝑇 = 0 Donc les températures en A et B sont très proches.
2) Rendement
Sur les deux isentropiques : 𝑄𝐴𝐵 = 𝑄𝐸𝐹 = 0
Sur les deux isobares : 𝑄𝐵𝐸 = 𝛥𝐻𝐵𝐸= 𝐻𝐸− 𝐻𝐵 𝑒𝑡 𝑄𝐹𝐴= 𝛥𝐻𝐹𝐴= 𝐻𝐴− 𝐻𝐹
Sur un cycle, en appliquant le premier principe, on a :
𝛥𝑈 = 𝑊 + 𝑄𝐵𝐸+ 𝑄𝐹𝐴= 0 ⇒ 𝑊 = −(𝑄𝐵𝐸+ 𝑄𝐹𝐴) Le rendement est alors égal à : 𝜂 = − 𝑊
𝑄𝐵𝐸 =𝑄𝐵𝐸+𝑄𝐹𝐴
𝑄𝐵𝐸 = 1 −𝐻𝐹−𝐻𝐴
𝐻𝐸−𝐻𝐵
3) Diagrammes entropiques
4) Rendement
On connait : ℎ𝐴= ℎ𝑙(𝑇1) = 251𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ℎ𝐸 = ℎ𝑣(𝑇2) = 2783𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ℎ𝐵= ℎ𝐴 = 251𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 ℎ𝐹= 𝑥ℎ𝑣(𝑇1) + (1 − 𝑥)ℎ𝑙(𝑇1) 𝑒𝑡 𝑠𝐹= 𝑥𝑠𝑣(𝑇1) + (1 − 𝑥)𝑠𝑙(𝑇1) = 𝑠𝐸 = 𝑠𝑣(𝑇2)
⇒ 𝑥 = 0,80 𝑒𝑡 ℎ𝐹= 2137𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 Alors le rendement est égal à : 𝜂 = 1 −ℎ𝐹−ℎ𝐴
ℎ𝐸−ℎ𝐵= 25%
11.5 Machine à vapeur
Dans un cycle de machine à vapeur, la phase motrice est une détente de la vapeur d’eau dans un cylindre fermé par un piston mobile.
Cette détente est suffisamment rapide pour que les transferts thermiques puissent être négligés. On supposera également cette détente réversible.
Cette détente à lieu à partir de vapeur saturante sèche à 𝑇1 = 485𝐾 et on obtient un mélange liquide-vapeur à 𝑇2= 373𝐾. les enthalpies de vaporisations sont 𝑙1= 1892 𝑘𝐽/𝑘𝑔 à 𝑇1 et 𝑙2= 2258 𝑘𝐽/𝑘𝑔 à𝑇2. On donne la capacité thermique de l’eau liquide : 𝑐 = 4,18 𝑘𝐽. 𝐾−1. 𝑘𝑔−1 .
Calculer le titre en vapeur final. On pourra s’aider d’une représentation de la détente dans un diagramme entropique.
La détente est adiabatique réversible, donc isentropique : 𝛥𝑠𝐴𝐵= 0
Pour pouvoir calculer le titre massique en B, on va utiliser le chemin AA’B’B :
𝛥𝑠𝐴𝐵 = 𝛥𝑠𝐴𝐴′+ 𝛥𝑠𝐴′𝐵′+ 𝛥𝑠𝐵′𝐵
= −𝑙1
𝑇1+ 𝑐 𝑙𝑛 (𝑇2
𝑇1) + 𝑥𝑙2
𝑇2= 0 ⇒ 𝑥
= 0,83
11.6 Extrait Centrale TSI 2016
Annexe 1. Diagramme enthalpique du R134A (A rendre avec la copie)
Correction :
