6 Exercices type oral 6.1

(1)

Energie du champ électromagnétique

2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 10

6 Exercices type oral

6.1 Bilan d’énergie dans un conducteur ohmique

On considère un conducteur cylindrique parcouru par une intensité 𝐼 selon 𝑂𝑧 uniformément répartie et de conductivité 𝛾 uniforme. Il est de section 𝑆 , de rayon 𝑎, de longueur 𝐿 et dirigé selon 𝑂𝑧.

1) Donner la loi d’Ohm locale.

2) En déduire la puissance cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges.

3) Donner l’expression du champ magnétique crée par le cylindre pour 𝑟 > 𝑎. On supposera le cylindre infini.

4) Donner l’expression du vecteur de Poynting en fonction de 𝐼, 𝛾, 𝑆 en 𝑟 = 𝑎.

5) En déduire la valeur de la puissance entrant par rayonnement dans le dipôle en 𝑟 = 𝑎. Conclure.

1) Loi d’Ohm locale

𝑗⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗

2) Puissance cédée aux porteurs de charge 𝑝 = 𝑗⃗ ⋅ 𝐸⃗⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ ⋅ 𝐸⃗⃗ = 𝛾𝐸²

Ou encore : 𝑝 = 𝑗⃗ ⋅ 𝐸⃗⃗ = 𝑗⃗ ⋅^𝑗⃗

𝛾=¹

𝛾𝑗²=¹

𝛾(^𝐼

𝑆)²

En intégrant sur le volume : 𝑃 = 𝑝𝑆𝐿 =¹_𝛾(_𝑆^𝐼)²𝑆𝐿 =_𝛾𝑆^𝐿 𝐼²= 𝑅𝐼² 3) Champ magnétique

Champ magnétique crée par un cylindre parcouru par un courant I était : 𝐵⃗⃗ = ^𝜇⁰^𝐼

2𝜋𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗⃗_𝜃 4) Vecteur de Poynting

𝐸⃗⃗ =^𝑗⃗

𝛾= ^𝐼

𝛾𝑆𝑒⃗⃗⃗⃗_𝑧 ⇒ 𝛱⃗⃗⃗ =^{𝐸⃗⃗∧𝐵}^⃗⃗

𝜇₀ = ¹

𝜇₀(^𝐼

𝛾𝑆𝑒⃗⃗⃗⃗) ∧_𝑧 ^𝜇⁰^𝐼

2𝜋𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗⃗ = −_𝜃 ^𝐼²

2𝜋𝛾𝑆𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗ _𝑟

On constate que le vecteur de Poynting est radial et dirigé vers l’intérieur du cylindre.

5) Puissance rayonnée

L’apport énergétique se fait latéralement. Or, la surface latérale du cylindre est donnée par 2πrL d’où : 𝑃_{𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛𝑛é𝑒}=

∯ 𝛱⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆 = − ^𝐼²

2𝜋𝛾𝑆𝑟2𝜋𝑟𝐿 = −^𝐿

𝛾𝑆𝐼²= −𝑅𝐼²

Donc la puissance entrant par rayonnement dans le cylindre est entièrement convertie en puissance transférée aux porteurs (ou effet Joule). Aucune énergie n’est stockée dans un conducteur ohmique. Ce résultat est bien celui attendu.

6.2 Cas particulier du condensateur plan

6.2.1 Bilan d’énergie en régime stationnaire

On considère un condensateur plan dont les armatures de charges opposées (𝑄, −𝑄) ont une surface 𝑆, un rayon 𝑅 et sont distantes de 𝑑. Le champ électrostatique créé entre ses deux armatures est uniforme de norme 𝐸₀. La tension à ses bornes est notée 𝑈.

1) Déterminer l’expression du champ électrostatique entre ses armatures (que l’on pourra supposées infinies dans cette question). On donnera alors l’expression de 𝐸₀ en fonction de 𝑄, 𝑆 et 𝜀₀.

2) Déterminer alors l’expression de la tension 𝑈 entre ses bornes en fonction de 𝐸₀ et 𝑑.

3) Exprimer la capacité 𝐶 d’un condensateur plan en fonction de ses dimensions 𝑆, 𝑑 et 𝜀₀. 4) En déduire l’expression de l’énergie 𝑈_𝐸 stockée dans le condensateur en fonction de 𝐸₀ et de ses dimensions.

5) Comparer à la densité volumique d’énergie électrique, 𝑢_𝐸. 6.2.2 Bilan d’énergie dans le cadre de l’ARQS

On effectue le bilan énergétique d’un condensateur lors de sa charge très lente (ARQS).

Dans le cadre de l’ARQS : 𝑅𝜔 ≪ 𝑐. On pose aussi : 𝜀₀𝜇₀ = ¹

𝑐²

On note 𝑞(𝑡) = 𝑞₀𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) la charge de l’armature du condensateur située en 𝑧 = 𝑑.

S

d

O z

(2)

6) Réécrire l’expression du champ électrique entre les 2 armatures en fonction de 𝑆, 𝑞(𝑡) et 𝜀₀. La variation du champ électrique est à l’origine de l’existence d’un courant de déplacement. Quelle est son expression en fonction de de 𝑆 et 𝑞(𝑡) ?

7) Quelle est la valeur de la densité de courant volumique 𝑗⃗ entre les deux armatures ? Quelle est l’expression du champ magnétique entre les deux armatures de surface 𝑆 ? (Utiliser le théorème d’Ampère généralisé). Donner alors sa valeur pour 𝑟 = 𝑅.

8) Comparer les ordres de grandeur des termes électrique et magnétique de la densité volumique d’énergie. Donner alors l’expression de l’énergie électromagnétique, 𝑈, stockée dans le condensateur. Où est-elle localisée ? Donner aussi l’expression de la dérivée de 𝑈 par rapport au temps.

9) Quelle est l’expression du vecteur de Poynting ? Exprimer alors la puissance rayonnée à travers la surface latérale du condensateur.

10) Faire un bilan d’énergie. Conclure.

1) Champ électrostatique

Voir cours d’électrostatique : 𝐸⃗⃗ = 𝐸₀𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ =_𝑧 ^𝑄

𝑆𝜀₀𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑧 2) Tension

𝑈 = 𝑉₁− 𝑉₂= 𝐸₀𝑑 3) Capacité

La capacité d’un condensateur plan se met sous la forme : 𝐶 = 𝜀₀^𝑆_𝑑 4) Energie

𝑈_𝐸=¹

2𝐶𝑈² =^𝜀⁰

2 𝑆𝑑𝐸₀² 5) Densité volumique

On en déduit la densité volumique d’énergie électrique donnée par : 𝑢_𝐸=^𝜀⁰^𝐸⁰²

2

6) Champ électrique

Le champ électrique entre les deux armatures en régime stationnaire est uniforme égal à : 𝐸⃗⃗ = −𝜎

𝜀₀𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ = −_𝑧 𝑞(𝑡)

𝑆𝜀₀ 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ = −_𝑧 𝑞(𝑡) 𝜋𝑅²𝜀₀𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑧 Il est à l’origine du courant de déplacement : 𝑗⃗⃗⃗⃗ = 𝜀_𝐷 ₀^{𝜕𝐸⃗⃗}_𝜕𝑡 = −¹_𝑆^𝑑𝑞_𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ = −_𝑧 _𝜋𝑅¹₂^𝑑𝑞_𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑧 7) Champ magnétique

Entre les deux armatures : 𝑗⃗ = 0⃗⃗

D’après les symétries et invariances : 𝐵⃗⃗ = 𝐵(𝑟)𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝜃

D’après le théorème d’Ampère généralisé, appliqué sur un cercle d’axe Oz, de rayon R, et orienté dans le sens trigonométrique :

∮𝐵⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝛤

= 𝜇₀∬(𝑗⃗ + 𝑗⃗⃗⃗⃗) ⋅ 𝑑𝑆_𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

⇒ 𝐵(𝑟, 𝑧)2𝜋𝑟 = 𝜇₀∬ −1 𝑆

𝑑𝑞 𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆_𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆

= −𝜇₀ 𝑆

𝜕𝑞

𝜕𝑡(𝑡)𝜋𝑟² ⇒ 𝐵_𝑚𝑎𝑥

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝜇₀ 2𝜋𝑅

𝑑𝑞 𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝜃 8) Energie électromagnétique

𝑢_𝐸=¹

2𝜀₀𝐸²=¹

2 𝑞²

𝑆²𝜀₀ 𝑒𝑡 𝑢_{𝑀,𝑚𝑎𝑥} =¹

2 𝐵_𝑚𝑎𝑥²

𝜇₀ = ^𝜇⁰

8𝜋²𝑅²(^𝑑𝑞

𝑑𝑡)²=^𝜇⁰^𝑅²

8𝑆² (^𝑑𝑞

𝑑𝑡)² Faisons un calcul d’ordre de grandeur : |^𝑑𝑄_𝑑𝑡| ∝ |𝜔||𝑄| ⇒ |𝑢_𝑀|_𝑚𝑎𝑥∝^𝜇⁰^𝑅²

𝑆² 𝜔²𝑞² 𝑒𝑡 |𝑢_𝐸| ∝¹

2 𝑞² 𝑆²𝜀₀

𝑒𝑡 𝑅𝜔 ≪ 𝑐 ⇒ |𝑢_𝑀|_𝑚𝑎𝑥 ≪𝜇₀

𝑆²𝑞²𝑐²= 1

𝜀₀𝑆²𝑞²= |𝑢_𝐸|

Donc l’énergie électromagnétique dans le cadre de l’ARQS est stockée sous forme électrique et localisée au niveau des armatures (charges) et : 𝑈 = 𝑢_𝐸𝑑𝑆 =¹

2 𝑑𝑞² 𝑆𝜀₀ 𝑑𝑈

𝑑𝑡 =_𝑑𝑡^𝑑 (¹₂^𝑑𝑞_𝑆𝜀²

0) =_𝑆𝜀^𝑑𝑞

0

𝑑𝑞 𝑑𝑡

(3)

On reconnait : 𝐶 =^𝑆𝜀⁰

𝑑 ⇒ ^𝑑𝑈

𝑑𝑡 =¹

𝐶𝑞^𝑑𝑞

𝑑𝑡 = ^𝑑

𝑑𝑡(¹

2𝐶𝑞²) 9) Vecteur de Poynting

𝛱⃗⃗⃗ =^{𝐸⃗⃗∧𝐵}_𝜇^⃗⃗

0 =_𝜇¹

0(−^𝑞(𝑡)_𝑆𝜀

0𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ −_𝑧 _2𝜋𝑅^𝜇⁰ ^𝑑𝑞_𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗) = −_𝜃 _{2𝜋𝑅𝑆𝜀}^𝑞(𝑡)

0

𝑑𝑞 𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑟 En r=R : 𝑃_{𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛𝑛é𝑒}= ∯ 𝛱⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆 = ∯ (− ^𝑞(𝑡)

2𝜋𝑅𝑆𝜀₀ 𝑑𝑞

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗) ⋅ 𝑑𝑆𝑢_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗_𝑟

𝑆 = − ^𝑞(𝑡)

2𝜋𝑅𝑆𝜀₀ 𝑑𝑞

𝑑𝑡× 2𝜋𝑅𝑑 = − ^𝑑

𝑆𝜀₀𝑞(𝑡)^𝑑𝑞

𝑑𝑡

On reconnait : 𝐶 =^𝑆𝜀⁰

𝑑 ⇒ 𝑃_{𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛𝑛é𝑒}= −¹

𝐶 𝑑 𝑑𝑡(¹

2𝑞²) = −^𝑑

𝑑𝑡(¹

2𝐶𝑞²) 10) Bilan d’énergie

Pas de puissance cédée aux porteurs car intérieur du condensateur vide 𝑑𝑖𝑣𝛱⃗⃗⃗ +^𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 0 ⇒ ∯ 𝛱⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆 +^𝑑𝑈

𝑑𝑡 = 0

L’énergie reçue (stockée dans le condensateur) est égale à l’énergie entrée sous forme de rayonnement à travers les parois.

6.3 Cas particulier du solénoïde

6.3.1 Bilan d’énergie en régime stationnaire

On considère un solénoïde d’axe 𝑂𝑧, de longueur 𝑙 contenant 𝑁 spires de section 𝑆 de rayon 𝑎 parcouru par un courant 𝑖.

1) Déterminer l’expression du champ magnétostatique à l’intérieur du solénoïde (que l’on considèrera infini dans cette question) en le supposant nul à l’extérieur. On notera 𝐵₀ sa norme que l’on exprimera en fonction de 𝜇₀, 𝑁, 𝑙 et 𝑖.

2) Déterminer le flux propre 𝜙_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} du solénoïde.

3) Retrouver l’expression de l’inductance 𝐿 du solénoïde en fonction de ses dimensions 𝑆 et 𝑙 et de 𝑁 et 𝜇0. 4) En déduire l’expression de l’énergie 𝑈_𝑀 emmagasinée dans la bobine en fonction de 𝐵₀ et de ses dimensions.

5) Comparer à la densité volumique d’énergie magnétique, 𝑢_𝑀. 6.3.2 Bilan d’énergie dans le cadre de l’ARQS

Le solénoïde est maintenant parcouru par un courant d’intensité 𝑖(𝑡) = 𝐼₀𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡). On suppose le courant variant suffisamment lentement pour se placer dans l’ARQS et que les lois de la magnétostatique soient applicables.

Dans ce cadre : 𝑎𝜔 ≪ 𝑐. On pose aussi : 𝜀₀𝜇₀= ¹

𝑐²

6) Rappeler l’expression du champ magnétique qui existe à l’intérieur du solénoïde en fonction de 𝑖(𝑡).

7) En déduire l’expression du champ électrique à l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday en tout point 𝑀 à l’intérieur du solénoïde. Donner en particulier la valeur du champ électrique pour 𝑟 = 𝑎.

8) Comparer les ordres de grandeur des termes électrique et magnétique de la densité volumique d’énergie. Donner alors l’expression de l’énergie électromagnétique, 𝑈, stockée dans une portion de longueur 𝑑 du solénoïde. Où est- elle localisée ? Donner aussi l’expression de la dérivée de 𝑈.

9) Calculer l’expression du vecteur de Poynting, puis sa puissance rayonnée à travers la paroi du solénoïde (cylindre d’axe (𝑂𝑧) de rayon 𝑎 et de hauteur 𝑑).

10) Interpréter les résultats précédents.

En coordonnées cylindriques : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎⃗ = (¹

𝑟

𝜕𝑎_𝑧

𝜕𝜃 −^𝜕𝑎^𝜃

𝜕𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + (_𝑟 ^𝜕𝑎^𝑟

𝜕𝑧 −^𝜕𝑎^𝑧

𝜕𝑟) 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + (_𝜃 ¹

𝑟

𝜕𝑟𝑎_𝜃

𝜕𝑟 −¹

𝑟

𝜕𝑎_𝑟

𝜕𝜃) 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑧 1) Champ magnétostatique

Voir cours de magnétostatique : 𝐵₀= 𝜇₀^𝑁_𝑙𝑖 2) Flux propre

𝜙_{𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒} = 𝜇₀^𝑁_𝑙²𝑖𝑆 3) Inductance

L’inductance d’un solénoïde infini se met sous la forme : 𝐿 = 𝜇₀𝑁^{2 𝑆}

𝑙

4) Energie

(4)

𝑈_𝑀=1

2𝐿𝑖²=1 2

𝐵₀² 𝜇₀𝑆𝑙 5) Densité volumique

On en déduit la densité volumique d’énergie magnétique est donnée par :𝑢_𝑀= ^𝐵⁰²

2𝜇₀

6) Champ magnétique

Le champ magnétique crée à l’intérieur d’un solénoïde est : 𝐵⃗⃗ = 𝜇₀𝑛𝑖(𝑡)𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑧 7) Champ électrique

D’après les invariances : ‖𝐸⃗⃗‖ = 𝐸(𝑟)

D’après l’équation de Maxwell-Faraday : (on peut passer par le théorème de Stokes plutôt) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐸⃗⃗ = −𝜕𝐵⃗⃗

𝜕𝑡 = −𝜇₀𝑛𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗_𝑧 ⇒ 1 𝑟

𝜕𝑟𝐸_𝜃

𝜕𝑟 −1 𝑟

𝜕𝐸_𝑟

⏟ 𝜕𝜃

𝑐𝑡𝑒=0

= −𝜇₀𝑛𝑑𝑖

𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑟𝐸_𝜃= −𝜇₀𝑛𝑟𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑑𝑟 ⇒ 𝑟𝐸_𝜃

= −1

2𝜇₀𝑛𝑟²𝑑𝑖 𝑑𝑡+ 𝑐𝑡𝑒⏟

0

⇒ 𝐸⃗⃗ = −1

2𝜇₀𝑛𝑟𝑑𝑖 𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝜃 8) Energie électromagnétique

𝑢_{𝐸,𝑚𝑎𝑥} =¹

2𝜀₀𝐸²=¹

8𝜀₀𝜇₀²𝑛²𝑎²(^𝑑𝑖

𝑑𝑡)² 𝑒𝑡 𝑢_𝑀=¹

2 𝐵² 𝜇₀=¹

2𝜇₀𝑛²𝑖²

Faisons un calcul d’ordre de grandeur : |^𝑑𝑖_𝑑𝑡| ∝ |𝜔||𝐼| ⇒ |𝑢_𝑀| ∝ 𝜇₀𝑛²𝑖² 𝑒𝑡 |𝑢_𝐸|_𝑚𝑎𝑥∝ 𝜀0𝜇₀²𝑛²𝑎²𝜔²𝑖² 𝑒𝑡 𝑎𝜔 ≪ 𝑐 ⇒ |𝑢_𝐸|_𝑚𝑎𝑥≪ 𝜀₀𝜇₀²𝑛²𝑐²𝑖²= 𝜇₀𝑛²𝑖²= |𝑢_𝑀|

Donc l’énergie électromagnétique dans le cadre de l’ARQS est stockée sous forme magnétique et localisée au niveau des spires (courant) et : 𝑈 = 𝑢 × 𝑉 = 𝑢𝑆𝑑 =¹

2𝜇₀𝑛²𝑖²𝑆𝑑

𝑑𝑈 𝑑𝑡 = ^𝑑

𝑑𝑡(¹

2𝜇₀𝑛²𝑖²𝑑𝑆) = 𝜇₀𝑛²𝑑𝑆𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡

On reconnait : 𝐿 = 𝜇₀𝑁^{2 𝑆}

𝑑= 𝜇₀𝑛²𝑆𝑑 ⇒ ^𝑑𝑈

𝑑𝑡 = 𝐿𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡= ^𝑑

𝑑𝑡(¹

2𝐿𝑖²) 9) Vecteur de Poynting

𝛱⃗⃗⃗ =^{𝐸⃗⃗∧𝐵}^⃗⃗

𝜇₀ = ¹

𝜇₀(−¹

2𝜇₀𝑛𝑟^𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝜇_𝜃 ₀𝑛𝑖(𝑡)𝑢⃗⃗⃗⃗⃗) = −_𝑧 ¹

2𝜇₀𝑛²𝑟𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑟 𝑃_{𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛𝑛é𝑒} = ∯ 𝛱⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆 = ∯ (−¹

2𝜇₀𝑛²𝑎𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗) ⋅ 𝑑𝑆𝑢_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗_𝑟

𝑆 = −¹

2𝜇₀𝑛²𝑎𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡× 2𝜋𝑎𝑑 = −𝜇₀𝑛²𝜋𝑎²𝑑𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡=

−𝜇₀𝑛²𝑆𝑑𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡On reconnait : 𝐿 = 𝜇₀𝑛²𝑆𝑑 ⇒ 𝑃_{𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛𝑛é𝑒}= −𝜇₀𝑛²𝑆𝑑𝑖^𝑑𝑖

𝑑𝑡= − ^𝑑

𝑑𝑡(¹

2𝐿𝑖²) 10) Bilan d’énergie

Pas de puissance cédée aux porteurs car spires associées à un conducteur parfait.

𝑑𝑖𝑣𝛱⃗⃗⃗ +^𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 0 ⇒ ∯ 𝛱⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆 +^𝑑𝑈

𝑑𝑡 = 0

L’énergie reçue (emmagasinée dans la bobine) est égale à l’énergie entrée sous forme de rayonnement à travers les parois.