7 Exercices type oral 7.1

(1)

Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen

2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 18

7 Exercices type oral 7.1 Baromètre de Torricelli

Le baromètre de Torricelli est composé d’un tube, rempli de mercure retourné sur une cuve, contenant également du mercure. L’atmosphère, qui exerce une pression 𝑃𝑎𝑡𝑚 sur la surface libre du mercure dans la cuve, empêche le tube de se vider.

1) Au-delà de quelle hauteur le tube n’est-il plus entièrement rempli ? 2) Expliquer alors le principe de la mesure barométrique (mesure de la pression atmosphérique).

3) Une unité employée parfois pour les pressions est le millimètre de mercure. Comment le convertit-on en Pascal ? 4) Quel serait le problème si l’on utilisait de l’eau, plutôt que du mercure ?

Données : - masse volumique du mercure : 𝜇_𝐻𝑔= 13,5.10³𝑘𝑔. 𝑚⁻³ - masse volumique de l’eau : 𝜇𝑒𝑎𝑢= 1,0.10³𝑘𝑔. 𝑚⁻³

- pression atmosphérique : 𝑃_𝑎𝑡𝑚 = 1𝑏𝑎𝑟 - accélération de la pesanteur : 𝑔 = 10𝑚. 𝑠⁻² 1) Hauteur minimale

On prend un axe (Oz) ascendant et l’origine au niveau de la surface libre du mercure dans la cuve.

On applique la relation de statique des fluides dans le cas d’un fluide incompressible et homogène pour trouver la pression au point B: 𝑃(𝑧_𝐵) = 𝑃_𝑎𝑡𝑚− 𝜇_𝐻𝑔𝑔𝑧_𝐵

Il faut ici trouver pour quelle hauteur zB de mercure dans le tube la pression s’annule au-dessus du mercure : 𝑃(𝑧_𝐵) = 𝑃_𝑎𝑡𝑚− 𝜇_𝐻𝑔𝑔𝑧_𝐵 = 0 ⇒ 𝑧_𝐵= 74𝑐𝑚

Donc le tube doit avoir une hauteur minimale de 74 cm.

2) Principe de fonctionnement

Pour un tube de hauteur supérieure à 74 cm, une poche de « quasi-vide » se forme au-dessus du mercure. La mesure de la colonne de mercure donne accès à la valeur de la pression atmosphérique :

𝑃_𝑎𝑡𝑚= 𝜇_𝐻𝑔𝑔𝑧_𝐵 3) Conversion du millimètre de mercure

Un millimètre de mercure correspond à : 𝑃 = 𝜇_𝐻𝑔𝑔𝑧_1𝑚𝑚= 135𝑃𝑎 4) Utilisation de l’eau

Dans le problème précédent, on a vu que la pression s’annulait pour l’eau à une hauteur de 10m, il faut donc un tube très encombrant pour réaliser un baromètre avec de l’eau.

Baromètre de Huygens :

http://subaru.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/thermo/barometre.html http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Sciences/Physique/Pression/Barometre.html

Manomètre :

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Sciences/Physique/Pression/hydrostatique.html

7.2 Tube en U contenant deux liquides

Un tube en U contient deux liquides non miscibles de masses volumiques 𝜇₁ 𝑒𝑡 𝜇₂. Ces deux liquides sont en contact avec l’air libre à la pression 𝑃_𝑎𝑡𝑚.

1) Exprimer la masse volumique 𝜇₂ en fonction de 𝜇₁, ℎ₁ 𝑒𝑡 ℎ₂. 2) Quel est le liquide le plus dense ?

3) Que dire du principe des vases communicants ? 1) Masse volumique

On prend un axe (Oz) ascendant et l’origine au niveau de la surface libre des deux liquides.

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On applique la relation de statique des fluides dans le cas d’un fluide incompressible et homogène pour trouver la pression à la profondeur h2: 𝑃(ℎ₂) = 𝑃_𝑎𝑡𝑚+ 𝜇₂𝑔ℎ₂

On applique la relation de statique des fluides dans le cas d’un fluide incompressible et homogène pour trouver la pression à la profondeur h1: 𝑃(ℎ1) = 𝑃_𝑎𝑡𝑚+ 𝜇1𝑔ℎ1

Ces deux pressions sont égales dans le liquide 1 car à la même hauteur : 𝜇₂𝑔ℎ₂= 𝜇₁𝑔ℎ₁ ⇒ 𝜇₂ =^𝜇¹^ℎ¹

ℎ₂

2) Densité du liquide

ℎ₂> ℎ₁ ⇒ 𝜇₂ < 𝜇₁ Le liquide 1 est le plus dense.

3) Principe des vases communicants

La surface à l’air libre n’est à la même hauteur que si on a le même liquide dans le tube.

7.3 Modèles d’atmosphère

L’air de la troposphère (partie de l’atmosphère dans laquelle nous vivons) est considéré comme un gaz parfait de masse molaire 𝑀. On suppose le champ de pesanteur uniforme. Au niveau du sol (𝑧 = 0), la pression est 𝑃0 et la température 𝑇₀.

1) On suppose que la température de l’atmosphère est uniforme. A partir de la relation de statique des fluides, établir la loi de variation de la pression en fonction de l’altitude 𝑧. On introduira une hauteur caractéristique 𝐻 du phénomène.

2) On suppose maintenant que la température de l’air décroit linéairement avec l’altitude 𝑧 selon la loi (𝜆 > 0) : 𝑇(𝑧) = 𝑇₀− 𝜆𝑧

2.a) Montrer que la pression à l’altitude 𝑧 est de la forme : 𝑃(𝑧) = 𝑃₀(1 − ^𝜆

𝑇₀𝑧)

𝑇0 𝜆𝐻

2.b) Calculer, dans ce modèle, la pression au sommet de l’Everest (8850 m).

3) Pour 𝑧 ≪ 𝐻, montrer que les résultats obtenus à l’aide des deux modèles précédents conduisent à une même fonction affine 𝑃(𝑧) donnant la pression en fonction de l’altitude.

Données : 𝑀 = 29𝑔. 𝑚𝑜𝑙⁻¹ ; 𝑔 = 9,8𝑚. 𝑠⁻² ; 𝑃₀= 1,0𝑏𝑎𝑟 ; 𝑇₀= 310𝐾 ; 𝜆 = 5,0.10⁻³𝐾. 𝑚⁻¹ 1) Température uniforme

On suppose que l’on est en présence d’un gaz parfait, alors d’après l’ESFS (en prenant un axe Oz ascendant) :

𝑑𝑃

𝑑𝑧 = −𝜌𝑔 𝑒𝑡 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ⇒ 𝑃𝑉 =^𝑚

𝑀𝑅𝑇 ⇒ 𝑃 = ^𝜌

𝑀𝑅𝑇 ⇒ 𝜌 =^𝑃𝑀

𝑅𝑇

⇒𝑑𝑃

𝑑𝑧= −𝑃𝑀 𝑅𝑇₀𝑔

On obtient une équation différentielle du premier ordre, dont la solution est : 𝑃(𝑧) = 𝑃₀𝑒𝑥𝑝 (−^𝑀𝑔

𝑅𝑇₀𝑧) = 𝑃₀𝑒𝑥𝑝 (−^𝑧

𝐻) 2) Température affine

2.a) Expression de la pression

On remplace dans l’ESFS : ^𝑑𝑃_𝑑𝑧 = −_𝑅(𝑇^𝑃𝑀

0−𝜆𝑧)𝑔 ⇒^𝑑𝑃_𝑃 = −_𝑅(𝑇^𝑀𝑔

0−𝜆𝑧)𝑑𝑧 En intégrant entre z = 0 et z, on obtient :

∫_𝑃^𝑃(𝑧)^𝑑𝑃_𝑃

0 = −^𝑀𝑔

𝑅 ∫ _𝑇^𝑑𝑧

0−𝜆𝑧 𝑧

0 ⇒ 𝑙𝑛 (^𝑃(𝑧)

𝑃₀ ) =^𝑀𝑔

𝑅𝜆𝑙𝑛 (^𝑇⁰^−𝜆𝑧

𝑇₀ ) ⇒ 𝑃(𝑧) = 𝑃₀(1 − ^𝜆

𝑇₀𝑧)

𝑇0 𝜆𝐻

2.b) Pression au sommet de l’Everest

𝑃(8850) = 0,34𝑏𝑎𝑟C’est 1/3 de la pression au niveau de la mer.

3) Concordance des deux modèles

Aux faibles altitudes, à l’aide de développements limités : 𝑃(𝑧) = 𝑃₀𝑒𝑥𝑝 (−^𝑧

𝐻) ≃ 𝑃₀(1 −^𝑧

𝐻) 𝑃(𝑧) = 𝑃0(1 −_𝑇^𝜆

0𝑧)

𝑇0

𝜆𝐻≃ 𝑃0(1 −_𝜆𝐻^𝑇⁰_𝑇^𝜆

0𝑧) ≃ 𝑃0(1 −_𝐻^𝑧) On trouve la même fonction affine.

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8 Exercices Terminale STI2D (DM pour le 08/09/2020) 8.1 Pression au fond d’une piscine

Avant de se lancer dans la construction d’une piscine privée, il faut étudier les forces pressantes, autrement dit la pression exercée sur le fond de la piscine, afin de construire une piscine résistante à ces forces. La piscine fait 8,80m de long sur 4,20m de large. Sa profondeur varie linéairement de 1,00m à 1,90m pour sa partie la plus profonde.

1) Quelle la valeur de la pression de l’eau à une profondeur z ?

2) En déduire la valeur maximale des forces de pression s’exerçant sur le fond de la piscine.

1) 𝑃(𝑧) = 𝑃₀+ 𝜇𝑔𝑧

2) 𝐹_𝑚𝑎𝑥= 𝑃_𝑚𝑎𝑥𝑆 avec 𝑃_𝑚𝑎𝑥 = 𝑃₀+ 𝜇𝑔𝑧_𝑚𝑎𝑥 = 1,19. 10⁵𝑃𝑎 où 𝑧_𝑚𝑎𝑥 = 1,90𝑚 et 𝑆 = 8,80 × 4,20 = 37,0𝑚² Alors 𝐹_𝑚𝑎𝑥 = 4,40. 10⁶𝑁

8.2 Le « paradoxe » de Pascal

Un tonneau de bois rempli d’eau, surmonté d’un tube creux ouvert aux deux extrémités, peut éclater si l’on verse de l’eau dans le tube à une hauteur suffisante, quelle que soit la section de ce tube, même si elle est très faible ; ce qui semble contraire au « bon sens ». Expliquer ce phénomène.

On a la relation suivante : 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝜇𝑔(𝑧_𝐴− 𝑧_𝐵)

Donc si l’on verse une hauteur suffisante d’eau (le tonneau étant rempli), on augmente la pression dans le tonneau et donc les forces de pression qui s’exercent sur celui-ci. Arrivé à un certain point, celui-ci peut éclater.

8.3 Plongée

Un plongeur en apnée évolue à la profondeur h=15m où règne une pression absolue d’environ 2,5 bar. Chacun de ses tympans a une surface d’aire S=0,60cm².

1) Calculer l’intensité de la force pressante F s’exerçant sur la face externe de chaque tympan.

2) Quelle serait la masse qui produirait une force de même intensité ? 1) 𝐹 = 𝑃𝑆 = 2,5. 10⁵× 0,60. 10⁻⁴= 15𝑁

2) 𝐹 = 𝑚𝑔 ⇒ 𝑚 =^𝐹_𝑔= 1,5𝑘𝑔

8.4 Force subie par un hublot d’avion

Un avion de ligne vole à environ 11000m d’altitude avec une

« altitude cabine » d’environ 2500m.

1) Déterminer la pression à l’extérieur et à l’intérieur de l’avion.

2) Sachant que la différence entre ces deux pressions se traduit par une force sur le hublot, déterminer l’intensité de cette force pour un hublot de 600 cm².

3) Quelle serait la masse qui produirait une force de même intensité ?

1) Pression à l’extérieur : 𝑃(11000) ≈ 250ℎ𝑃𝑎 et pression à l’intérieur : 𝑃(2500) ≈ 800ℎ𝑃𝑎 2) Force sur le hublot : 𝐹 = (𝑃(2500) − 𝑃(11000))𝑆 = 550. 10²× 600. 10⁻⁴= 3,30. 10³𝑁 3) 𝐹 = 𝑚𝑔 ⇒ 𝑚 =^𝐹

𝑔= 330𝑘𝑔