9 Exercices type oral 9.1

(1)

Description d’un fluide en écoulement stationnaire dans une conduite

2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 20

9 Exercices type oral 9.1 Conservation du débit

On veut accélérer la circulation d’un fluide incompressible en écoulement stationnaire dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé par l’angle 𝛼.

1) Calculer le rapport des rayons (^𝑅_𝑅¹

2).

2) En déduire la longueur 𝑙.

Données : 𝑅₁= 50𝑚𝑚 et 𝛼 = 15°

1) Conservation du débit volumique : 𝑉₁𝑆₁= 𝑉₂𝑆₂ ⇒ ^𝑆¹

𝑆₂=^𝑉²

𝑉₁ ⇒ ^𝑅¹

𝑅₂= √^𝑉_𝑉²

1= 2 2) 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =^𝑅¹^−𝑅²

𝑙 ⇒ 𝑙 =^𝑅¹^−𝑅²

𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 93,3𝑚𝑚

9.2 Ecoulement sanguin

A la sortie du cœur, l’aorte peut être considérée comme une conduite cylindrique de rayon 𝑎₀= 1𝑐𝑚. Le débit volumique est 𝐷_𝑉= 6𝐿. 𝑚𝑖𝑛⁻¹ et on suppose que l’écoulement peut être considéré comme stationnaire. Sa masse volumique vaut 𝜇 = 1,0.10³𝑘𝑔. 𝑚⁻³.

1) Quelle est la vitesse 𝑣 du sang dans l’aorte ? On supposera que le champ des vitesses est uniforme sur une section droite.

Le sang est évacué du cœur d’abord au niveau de l’aorte, qui se divise en 𝑁_𝑎 artères de rayon 𝑎_𝑎, puis en 𝑁′_𝑎 artérioles de rayon 𝑎′_𝑎= 20µ𝑚. Le débit volumique au travers d’une artère est 𝐷_𝑉,𝑎 = 2.10⁻⁶𝑚³. 𝑠⁻¹.

2) Calculer le nombre 𝑁_𝑎 d’artères.

3) Faire de même le nombre total d’artérioles 𝑁′_𝑎 sachant que la vitesse du sang dans une artériole est 𝑣′_𝑎= 5𝑚𝑚. 𝑠⁻¹.

1) Vitesse du sang

Débit volumique : 𝐷_𝑉= 𝑣𝑆 = 𝜋𝑎₀²𝑣 ⇒ 𝑣 = 0,3𝑚. 𝑠⁻¹ 2) Nombre d’artères

Conservation du débit volumique : 𝐷_𝑉 = 𝑁_𝑎𝐷_𝑉,𝑎 ⇒ 𝑁_𝑎= 50 3) Nombre d’artérioles

Débit volumique dans une artériole : 𝐷_𝑉,𝑎′= 𝜋𝑎′_𝑎²𝑣′_𝑎= 6,2.10⁻¹²𝑚³. 𝑠⁻¹ Conservation du débit volumique : 𝐷_𝑉 = 𝑁′_𝑎𝐷_𝑉,𝑎′ ⇒ 𝑁′_𝑎= 1,6.10⁷

9.3 Modélisation d’un tourbillon de vidange

On modélise, en coordonnées cylindriques d’axe (𝑂𝑧), le tourbillon de vidange d’un lavabo par un cœur cylindrique de rayon 𝑎 et d’axe (𝑂𝑧) dans lequel la vitesse (pour 𝑟 < 𝑎) est donnée par 𝑣⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝜔𝑢₁ ⃗⃗⃗⃗ où 𝜔 est la vitesse angulaire 𝜃

du fluide.

Dans la zone périphérique qui entoure le cœur (pour 𝑟 > 𝑎), le champ des vitesses est de la forme 𝑣⃗⃗⃗⃗ =₂ ^𝐶

𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗ , où 𝐶 est _𝜃 constante.

En coordonnes cylindriques : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑣 ) = (¹

𝑟

𝜕𝑣_𝑧

𝜕𝜃 −^𝜕𝑣^𝜃

𝜕𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + (_𝑟 ^𝜕𝑣^𝑟

𝜕𝑧 −^𝜕𝑣^𝑧

𝜕𝑟) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + (_𝜃 ¹

𝑟

𝜕𝑟𝑣_𝜃

𝜕𝑟 −¹

𝑟

𝜕𝑣_𝑟

𝜕𝜃) 𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧

1) Tracer l’allure de la vitesse en fonction de 𝑟. En déduire l’expression de la constante 𝐶 sachant que la vitesse est continue en 𝑟 = 𝑎.

2) Montrer que l’écoulement n’est rotationnel que dans une région que l’on précisera.

3) On se place dans la zone périphérique du tourbillon. Donner l’allure des lignes de courants dans un plan orthogonal à (Oz). Décrire brièvement le mouvement d’un bouchon placé à la surface de l’eau dans cette zone. Le bouchon tourne- t-il sur lui-même ? Tourne-t-il autour de l’axe du tourbillon ?

(2)

1) Vitesse

Vitesse continue en r = a : 𝐶 = 𝑎²𝜔

2) Ecoulement rotationnel Dans le cœur : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑣 ) = (^𝜕𝑣^𝜃

𝜕𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + (_𝑟 ¹

𝑟

𝜕𝑟𝑣_𝜃

𝜕𝑟 ) 𝑢⃗⃗⃗⃗ =_𝑧 ¹

𝑟

𝜕𝑟²𝜔

𝜕𝑟 𝑢⃗⃗⃗⃗ = 2𝜔𝑢_𝑧 ⃗⃗⃗⃗ _𝑧 En mécanique des fluides, on utilise le vecteur tourbillon : Ω⃗⃗ =¹

2𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑣 ) = 𝜔𝑢⃗⃗⃗⃗ dans ce cas _𝑧 En périphérie : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑣 ) =¹

𝑟

𝜕𝑟^𝑎2𝜔

𝑟

𝜕𝑟 𝑢⃗⃗⃗⃗ = 0_𝑧 ⃗ 3) Mouvement d’un bouchon

En périphérie : les lignes de courants sont des cercles d’axe (Oz) et de rayon r. Un bouchon placé à la surface tourne autour de l’axe mais ne tourne pas sur lui-même puisque le rotationnel est nul.

9.4 Ecoulement de Couette plan

Un fluide incompressible de masse volumique 𝜇 et de viscosité dynamique 𝜂 est en écoulement stationnaire dans une conduite de longueur 𝐿 selon (𝑂𝑧), entre deux plaques l’une en 𝑥 = 0 fixe et l’autre en 𝑥 = 𝑎 animée d’une vitesse 𝑣⃗⃗⃗⃗ =₀ 𝑣₀𝑢⃗⃗⃗⃗ . Le champ des vitesses s’écrit donc : 𝑣 = 𝑣_𝑧 _𝑧(𝑥)𝑢⃗⃗⃗⃗ . La pression est supposée _𝑧 être la même en entrée et en sortie de la conduite égale à 𝑃₀. Soit une particule de fluide de volume 𝑑𝑉 appartenant à cet écoulement, centrée sur le point 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) et assimilée à un point matériel.

1) Faire un bilan des forces sur la particule de fluide.

2) Donner l’expression de la vitesse de cette particule de fluide.

1) Bilan des forces

- force de pesanteur : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝜇(𝑀)𝑔𝑑𝑉𝑢_𝑃 ⃗⃗⃗⃗ _𝑥

- forces de pression : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =_𝑆 {

(𝑃 (𝑥 −^𝑑𝑥₂ , 𝑦, 𝑧) − 𝑃 (𝑥 +^𝑑𝑥₂ , 𝑦, 𝑧)) 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 (𝑃 (𝑥, 𝑦 −^𝑑𝑦

2 , 𝑧) − 𝑃 (𝑥, 𝑦 +^𝑑𝑦

2 , 𝑧)) 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑦 (𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧 −^𝑑𝑧

2) − 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧 +^𝑑𝑧

2)) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧 - force de viscosité exercée par la particule en 𝑥 +^𝑑𝑥

2 : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜂_{𝑣𝑖𝑠,1} ^𝜕𝑣^𝑧

𝜕𝑥 (𝑥 +^𝑑𝑥

2) 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧 - force de viscosité exercée par la particule en 𝑥 −^𝑑𝑥

2 : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜂_{𝑣𝑖𝑠,2} ^𝜕𝑣^𝑧

𝜕𝑥 (𝑥 −^𝑑𝑥

2) 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧 2) Vitesse de la particule

PFD + projection sur les axes : Selon (Ox) :−𝜇𝑔𝑑𝑉 + (𝑃 (𝑥 −^𝑑𝑥

2 , 𝑦, 𝑧) − 𝑃 (𝑥 +^𝑑𝑥

2 , 𝑦, 𝑧)) 𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝜇𝑔𝑑𝑉 −^𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑑𝑉 ⇒ ^𝜕𝑃

𝜕𝑥= −𝜇𝑔 Donc : 𝑃(𝑥, 𝑧) = 𝐾1(𝑧) − 𝜇𝑔𝑥

Selon (Oy) : (𝑃 (𝑥, 𝑦 −^𝑑𝑦

2 , 𝑧) − 𝑃 (𝑥, 𝑦 +^𝑑𝑦

2 , 𝑧)) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = −^𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝑉 = 0 ⇒ ^𝜕𝑃

𝜕𝑦= 0 Donc : la pression est indépendante de y.

Selon (Oz) : (𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧 −^𝑑𝑧

2) − 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧 +^𝑑𝑧

2)) 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜂^𝜕𝑣^𝑧

𝜕𝑥(𝑥 +^𝑑𝑥

2) 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜂^𝜕𝑣^𝑧

𝜕𝑥(𝑥 −^𝑑𝑥

2) 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0

⇒ −^𝜕𝑃_𝜕𝑧𝑑𝑉 + 𝜂^𝜕_𝜕𝑥²^𝑣₂^𝑧𝑑𝑉 = 0 ⇒ 𝜂^𝜕_𝜕𝑥²^𝑣₂^𝑧=^𝜕𝑃_𝜕𝑧=^𝜕𝐾_𝜕𝑧¹= 𝐾2

(3)

Car le membre de droite est une fonction de z et celui de x uniquement.

Alors : 𝐾₁= 𝐾₂𝑧 + 𝐾₃ ⇒ 𝑃(𝑥, 𝑧) = 𝐾₂𝑧 + 𝐾₃− 𝜇𝑔𝑥

Or, la pression en z=0 est P0 : 𝑃(𝑥, 0) = 𝐾₃− 𝜇𝑔𝑥 = 𝑃₀ ⇒ 𝐾₃ = 𝑃₀ Et, la pression en z=L est P0 : 𝑃 (𝑥, 𝐿()₂₀₀₂)

Soit : 𝑃(𝑥, 𝑧) = 𝑃₀− 𝜇𝑔𝑥 Alors : 𝜂^𝜕²^𝑣^𝑧

𝜕𝑥² = 𝐾₂= 0 ⇒ 𝑣_𝑧(𝑥) = 𝐾₄𝑥 + 𝐾₅ et { 𝑣_𝑧(0) = 𝐾₅= 0

𝑣_𝑧(𝑎) = 𝐾₄𝑎 = 𝑣₀ ⇒ 𝑣 =^𝑣⁰

𝑎𝑥𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑧

9.5 Modélisation d’une lubrification

Un fluide newtonien est réparti sur une hauteur 𝑒 entre deux plaques horizontales très longues. La plaque du dessous est immobile et celle de dessus possède la vitesse constante 𝑣₀.

1) Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par la vitesse de l’écoulement ?

2) Proposer la forme la plus simple possible du champ des vitesses vérifiant ces conditions.

3) Quelle est la composante horizontale de la force exercée par le fluide, par unité de surface, sur la plaque supérieure ?

Un bloc parallélépipédique, de surface carrée de côté 𝑎 = 10𝑐𝑚 et de masse 𝑚 = 1𝑘𝑔, est posé sur un plan incliné d’un angle 𝛼 = 45° par rapport à l’horizontale. Le plan incliné est lubrifié, c’est-à-dire enduit d’une huile de viscosité dynamique 𝜂 . La plaque se met alors en mouvement. On suppose que l’écoulement de l’huile peut être modélisé de la même manière qu’au début de cet exercice, avec une épaisseur 𝑒 = 1𝑚𝑚 d’huile. Le champ de pesanteur est noté 𝑔 = 9,8𝑚. 𝑠⁻².

4) En déduire l’équation du mouvement du bloc.

5) Après un certain temps, la vitesse du bloc se stabilise à la valeur 𝑣_𝑓 = 0,5𝑚. 𝑠⁻¹ . En déduire la viscosité 𝜂 de l’huile.

6) Quelle est la durée du régime transitoire ? 1) Conditions aux limites

Le fluide est visqueux, au voisinage de la paroi, il a la même vitesse que celle-ci : { 𝑣 (𝑧 = 0) = 0⃗ 𝑣 (𝑧 = 𝑒) = 𝑣₀𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 2) Champ des vitesses

On a un champ des vitesses linéaire soit : 𝑣 (𝑧) = 𝑣₀^𝑧

𝑒𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 On vérifier qu’on respecte bien les conditions aux limites.

3) Composante horizontale de la force

Force de la paroi sur le fluide due à la viscosité : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜂^𝜕𝑣^𝑧

𝜕𝑥 𝑑𝑆𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝜂_𝑥 ^𝑣⁰

𝑒 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 Donc la force surfacique du fluide sur la paroi est : 𝑓⃗⃗⃗ = −𝜂_𝑆 ^𝑣⁰

𝑒 𝑢⃗⃗⃗⃗ _𝑥 4) Equation du mouvement

PFD : 𝑚𝑎 = 𝑃⃗ + 𝑎²𝑓⃗⃗⃗ _𝑆

Projection sur (Ox), axe du plan incliné : 𝑚^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜂^𝑣

𝑒𝑎² 5) Viscosité

En régime permanent : 𝑚^𝑑𝑣

𝑑𝑡= 0 ⇒ 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝜂^𝑣

𝑒𝑎² = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑣_𝑓 =^{𝑚𝑔𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝛼}

𝜂𝑎² ⇒ 𝜂 =^{𝑚𝑔𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝛼}

𝑣_𝑓𝑎² = 1,4𝑃𝑙 6) Durée du régime transitoire

Equation différentielle du type : ^𝑑𝑣_𝑑𝑡+^𝑣

𝜏=^𝑣^𝑓

𝜏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏 = ^𝑚𝑒

𝜂𝑎²= 0,07𝑠 Régime transitoire : 3𝜏 =^3𝑚𝑒_𝜂𝑎₂ = 0,21𝑠