Description d’un fluide en écoulement stationnaire dans une conduite
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Description d’un fluide en écoulement stationnaire dans une conduite
1 Description eulérienne d’un fluide
Etude d’une particule de fluide à l’échelle mésoscopique désignée par le point M, de volume dVet de masse dm, en un instant t.
Deux grandeurs intensives étudiées : - masse volumique :
M t,
dm dV
- vitesse mésoscopique du fluide : v M t
,
.Cette vitesse représente la moyenne des vitesses microscopiques des molécules ou atomes composant la particule de fluide.
Description eulérienne : étude des propriétés de fluide en un point donné M fixé et en un instant donné t.
Ecoulement stationnaire : les grandeurs n’évolueront pas au cours du temps ,
M ,v M .2 Visualisation d’un écoulement 2.1 Carte de champ
Carte de champ : représentation graphique plane où l’on représente le vecteur vitesse en un certain nombre de points. La direction indiquée par une flèche sur la carte sera celle de la vitesse en ce point et la longueur de la flèche sera proportionnelle à la norme de la vitesse.
2.2 Ligne de courant
Définition :
On appelle ligne de courant une ligne, qui en chacun de ses points, est tangente à la vitesse de l’écoulement.
Remarque :
Pour un écoulement stationnaire, la ligne de courant s’identifie à la trajectoire d’une particule de fluide.
2.3 Tube de courant
Définition :
On appelle tube de courant une surface formée par l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé.
Ainsi, le champ des vitesses est donc tangent en tout point M à la surface du tube de courant.
2.4 Exemples d’écoulements
Trois principales caractéristiques :
l’écoulement est uniforme si la vitesse de l’écoulement est la même en tout point.
l’écoulement est divergent si la particule de fluide se déforme au cours de son mouvement.
Son volume varie au cours du mouvement et donc sa masse volumique aussi.
l’écoulement est rotationnel si certaines lignes de courant se referment sur elles-mêmes.
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Connaissant l’expression de la vitesse, on peut vérifier la nature de l’écoulement en appliquant deux opérateurs différentiels appelés divergence et rotationnel.
On définit la divergence en coordonnées cartésiennes par : vx vy vz
divv x y z
Un écoulement sera divergent si divv0.
On définit le rotationnel en coordonnées cartésiennes par :
y x y x
z z
x y z
v v v v
v v
rotv u u u
y z z x x y
Un écoulement sera rotationnel si rotv0.
3 Débits massique et volumique 3.1 Débit massique
3.1.1 Définition Définition :
Soit une surface S dans un fluide que l’on oriente arbitrairement, on donne n le vecteur normal à cette surface. On appelle débit massique Dm au travers de la surface S la masse de fluide dm la traversant par unité de temps, soit (en kg.s-1) :
m
D dm
dt (1)
Remarque :
dm est comptée positivement si elle passe dans le sens de l’orientation de la surface, négativement sinon.
3.1.2 Relation avec la vitesse d’écoulement
Soit un écoulement homogène (masse volumique constante) et uniforme (vitesse v constante), on pose S une surface perpendiculaire à l’écoulement. Alors la masse dm traversant S pendant dt est celle contenue dans le cylindre de section S et de hauteur vdt, soit :
dmSvdt ; et le débit massique peut s’écrire :
Dm Sv (2)
Dans le cas d’un écoulement quelconque, la vitesse n’est plus forcément perpendiculaire à la surface S, ni uniforme alors :
m S
D
M v M dS3.2 Conservation du débit massique
Sur un tube de courant pendant la durée dt, variation de la masse de dmD dtme D dtms . Régime stationnaire, donc la masse n’est pas censée varier avec le temps. Ainsi : Dme Dms En régime stationnaire, le débit massique se conserve le long d’un tube de courant.
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Remarque :
On peut généraliser aux dispositifs ayant plusieurs entrées et sortie : me i, ms i,
i i
D D
.3.3 Débit volumique
3.3.1 Définition Définition :
On définit le débit volumique DV (en m3.s-1) comme le volume du fluide dV traversant une surface S donnée par unité de temps, ce volume étant compté positivement si la traversée a lieu dans le sens de l’orientation de S, et négativement sinon :
V
D dV
dt (3)
Soit un écoulement homogène (masse volumique constante) et uniforme (vitesse v constante), on pose S une surface perpendiculaire à l’écoulement. Alors le volume dV traversant S pendant dt est celle contenue dans le cylindre de section S et de hauteur vdt, soit : dVSvdt ; et le débit volumique peut s’écrire :
DV Sv (4)
On a donc la relation suivante entre débit massique et volumique :
m V
D D (5)
Dans le cas d’un écoulement quelconque, le débit volumique s’écrit : V
S
D
v M dS3.3.2 Cas d’un fluide incompressible en écoulement La masse volumique du fluide est alors constante.
Pour un fluide incompressible et homogène il y a conservation du débit volumique sur un tube de courant.
Conséquence :
Une des conséquences de cette conservation est
l’augmentation de la vitesse du fluide quand les lignes de courant se rapprochent. En effet, en faisant un bilan en s’appuyant sur la figure suivante, on obtient :
Ve Vs e e s s e s s e
D D v S v S si S S alors v v
Remarque :
Ce type d’écoulement peut aussi être qualifié de non divergent, puisque le volume d’une particule de fluide reste constant sur un tube de courant.
