8 Exercices type oral 8.1

8 Exercices type oral

8.1 Etude du contraste : source constituée de deux points

On considère une source monochromatique de longueur d’onde 𝜆₀ constituée de deux points 𝑃₁ et 𝑃₂, séparés d’une distance ℎ et qui éclaire deux trous d’Young. On suppose que l’on se place dans l’air d’indice optique : 𝑛 = 1.

Les deux points sources 𝑃₁ et 𝑃₂ sont incohérents, mais de même intensité 𝐼₀.

1) Comment obtenir l’intensité lumineuse totale au point 𝑀 ?

2) Donner son expression sous la forme :

𝐼 = 4𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽). On précisera la valeur de 𝛼 et 𝛽.

3) L’un des deux cosinus précédents ne dépend pas de la position du point 𝑀. On appelle ce terme contraste de la figure d’interférence. Expliquer pourquoi.

4) Lorsque le contraste de la figure est nul, on dit qu’il y a anti-coïncidence. Pourquoi ? 5) Lorsque le contraste de la figure est maximal, on dit qu’il y a coïncidence. Pourquoi ?

6) A partir de cet exemple, expliquer pourquoi dans le cas d’une simple fente source, celle-ci doit être suffisamment fine pour obtenir une figure d’interférence contrastée. On dit que la source doit être plus fine que la longueur de cohérence spatiale.

1) Intensité lumineuse

Les deux points sources P1 et P2 sont incohérents Ainsi, pour obtenir l’intensité résultante, il suffit de sommer les intensités, I1 et I2, crées par chacune des deux sources séparément.

2) Expression

En utilisant la formule de l’intensité lorsque la source est déplacée, on obtient : 𝐼₁(𝑀) = 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (^2𝜋

𝜆₀𝑎 (^𝑦

𝐷+ ^ℎ

2𝐷′))) 𝑒𝑡 𝐼₂(𝑀) = 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (^2𝜋

𝜆₀𝑎 (^𝑦

𝐷− ^ℎ

2𝐷′))) Alors, en supposant que les deux sources ont même luminosité et en les sommant :

𝐼(𝑀) = 𝐼₁(𝑀) + 𝐼₂(𝑀) = 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₀𝑎 (𝑦

𝐷+ ℎ

2𝐷′))) + 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₀𝑎 (𝑦

𝐷− ℎ 2𝐷′)))

= 2𝐼₀(2 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₀𝑎 (𝑦

𝐷+ ℎ

2𝐷′)) + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₀𝑎 (𝑦

𝐷− ℎ 2𝐷′)))

= 2𝐼₀(2 + 2𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆0

𝑎𝑦

𝐷) 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆0

𝑎 ℎ

2𝐷′)) = 4𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆0

𝑎ℎ 2𝐷′)

⏟

𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é

𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆0

𝑎𝑦 𝐷)

⏟

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒𝑠

) 3) Contraste

On trouve en facteur du terme d’interférences un terme appelé visibilité, noté V, qui va moduler l’intensité sur l’écran.

L’intensité varie maintenant entre 4𝐼₀(1 − |𝑉|)et 4𝐼₀(1 + |𝑉|) et non plus 0 et 8𝐼 (qui serait obtenu si les deux points sources étaient superposés). Les franges sombres ne sont plus tout à fait noires et les franges brillantes au maximum : le contraste a diminué.

𝐶 =𝐼_𝑚𝑎𝑥− 𝐼_𝑚𝑖𝑛

𝐼_𝑚𝑎𝑥+ 𝐼_𝑚𝑖𝑛 =4𝐼₀(1 + |𝑉|) − 4𝐼₀(1 − |𝑉|) 4𝐼₀(1 + |𝑉|) + 4𝐼₀(1 − |𝑉|)= |𝑉|

http://web.cortial.net/bibliohtml/young_d3.html 4) Anti-coïncidence

En fait, chacune des deux sources crée sa propre figure d’interférences avec le même interfrange. La figure finale est la superposition des deux. Selon la distance entre les deux sources :

- si les franges claires de l’une correspondent aux franges sombres de l’autre, on pourra obtenir un brouillage de la figure : anti-coïncidence

5) Coïncidence

- si les franges claires de l’une correspondent aux franges claires de l’autre, la figure sera bien contrastée : coïncidence

6) Source étendue

On peut utiliser ce même raisonnement pour expliquer pourquoi lorsque l’on a une source étendue selon y, on observe un brouillage de la figure d’interférences. En pratique, pour s’y soustraire, il faut que la source soit plus fine qu’une certaine longueur appelée : longueur de cohérence spatiale.

8.2 Etude du contraste : source constituée de deux longueurs d’onde

On considère une source ponctuelle délivrant deux longueurs d’onde 𝜆₁ et 𝜆₂ très proches telles que 𝛥𝜆 = 𝜆₂− 𝜆₁≪ (𝜆₁, 𝜆₂) qui éclaire deux trous d’Young. On utilise, par exemple, une lampe à vapeur de sodium. On suppose que l’on se place dans l’air d’indice optique : 𝑛 = 1.

1) Comment obtenir l’intensité lumineuse totale au point 𝑀 ?

2) Donner son expression sous la forme : 𝐼 = 4𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽). On précisera la valeur de 𝛼 et 𝛽.

3) Dans l’un des deux cosinus on retrouve une périodicité égale à l’interfrange. Le second cosinus est appelé contraste. Expliquer pourquoi.

4) Pour quelle valeur de 𝛥𝜆 observe-t-on un brouillage de la figure d’interférence ? 5) Expliquez le phénomène en revenant sur la notion de cohérence temporelle.

1) Intensité lumineuse

Les deux longueurs d’onde sont incohérentes. L’intensité totale observée sur l’écran sera donc la somme des intensités correspondant à chaque longueur d’onde.

2) Expression

On obtient donc les deux intensités :

𝐼 (𝑀) = 2𝐼 (1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑛𝑎𝑦

)) 𝑒𝑡 𝐼 (𝑀) = 2𝐼 (1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑛𝑎𝑦 ))

Alors, en supposant que les deux sources ont même luminosité et en les sommant : 𝐼(𝑀) = 𝐼₁(𝑀) + 𝐼₂(𝑀) = 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋

𝜆₁ 𝑎𝑦

𝐷)) + 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₂

𝑎𝑦 𝐷))

= 2𝐼₀(2 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₁

𝑎𝑦

𝐷) + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝜆₂

𝑎𝑦

𝐷)) = 2𝐼₀(2 + 2 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑎𝑦 𝐷 (1

𝜆₁+ 1

𝜆₂)) 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑎𝑦 𝐷 (1

𝜆₁− 1 𝜆₂)))

= 4𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑎𝑦

𝐷 (𝜆₁+ 𝜆₂

𝜆₁𝜆₂ )) 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑎𝑦 𝐷 ( 𝛥𝜆

𝜆₁𝜆₂)))

Comme λ1 et λ2 sont très proches, on peut les prendre égales à leur moyenne λ0 tel que :

𝐼(𝑀) = 4𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝜋^𝑎𝑦_𝐷 (^𝛥𝜆

𝜆₀²)) 𝑐𝑜𝑠 (𝜋^𝑎𝑦

𝐷 (^2𝜆0

𝜆₀²))) = 4𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝜋^𝑎𝑦_𝐷 (^𝛥𝜆

𝜆₀²))

⏟

𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é

𝑐𝑜𝑠 (^2𝜋

𝜆₀ 𝑎𝑦

𝐷)

⏟

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒𝑠

) 3) Contraste

On trouve en facteur du terme d’interférences un nouveau terme appelé visibilité, noté V, qui va moduler l’intensité sur l’écran. Le contraste va diminuer et suivant la valeur de Δλ, on pourra observer un brouillage de la figure.

4) Brouillage 𝑐𝑜𝑠 (𝜋^𝑎𝑦

𝐷 (^𝛥𝜆

𝜆₀²)) = 0 ⇒ 𝜋^𝑎𝑦

𝐷 (^𝛥𝜆

𝜆₀²) = (2𝑝 + 1)^𝜋

2 ⇒ ^𝛥𝜆

𝜆₀²= (2𝑝 + 1) ^𝐷

2𝑎𝑦 ⇒ 𝛥𝜆 = (2𝑝 + 1) ^𝐷

2𝑎𝑦𝜆₀² 5) Cohérence temporelle

On peut utiliser ce même raisonnement pour expliquer pourquoi lorsque l’on a une source à spectre étendu (Δλ autour de λ0), donc non monochromatique, on observe un brouillage de la figure d’interférences. En pratique, pour s’y soustraire, il faut que la longueur de cohérence temporelle qui est reliée à la largeur spectrale de la source et s’interprète comme la longueur d’un train d’onde soit faible devant la différence de marche optique.

8.3 Interférences entre deux ondes monochromatiques

Soit deux sources secondaires 𝑆₁ et 𝑆₂ issues d’une même source 𝑆. Elles produisent donc la même intensité lumineuse 𝐼₀, ont la même phase à l’origine et la même pulsation 𝜔. On appelle 𝑠₁(𝑡) l’amplitude scalaire émise par 𝑆₁ et 𝑠₂(𝑡) celle émise par 𝑆₂ .

Les sources sont placées dans un plan perpendiculaire à l’écran où l’on cherche à observer les interférences. (Voir figure ci-contre)

On pose : 𝑂𝑂^′ = 𝐷, 𝑆₁𝑆₂= 𝑎, 𝐷 ≫ 𝑎, |𝑥|, |𝑦| ≫ 𝜆

1) Exprimer la différence de marche 𝛿 entre les deux rayons.

2) En déduire l’expression de l’intensité lumineuse au point 𝑀(𝑥, 𝑦, 0).

3) Quelle est la forme de la figure d’interférence observée sur l’écran ?

4) Donner l’expression de l’ordre d’interférence 𝑝 .

5) Etablir l’expression du rayon 𝑟_𝑝 de l’anneau correspondant à l’ordre d’interférence 𝑝.

1) Différence de marche

On suppose toujours que : 𝐷 ≫ 𝑎, |𝑥|, |𝑦|   ≫ 𝜆 𝑆₁𝑀 = √𝑥²+ 𝑦²+ (𝐷 −^𝑎

2)² 𝑒𝑡 𝑆₂𝑀 = √𝑥²+ 𝑦²+ (𝐷 +^𝑎

2)² On pose : 𝜌²= 𝑥²+ 𝑦² ⇒

{

𝑆₁𝑀 = √𝜌²+ (𝐷 −^𝑎

2)² 𝑆₂𝑀 = √𝜌²+ (𝐷 +^𝑎

2)²

On peut effectuer un développement limité au troisième ordre en ρ/D et a/D :

𝑆₁𝑀 = 𝐷√1 + (𝜌 𝐷)

2

+ ( 𝑎 2𝐷)

2

−𝑎 𝐷

≈ 𝐷 (1 +1 2((𝜌

𝐷)

2

+ ( 𝑎 2𝐷)

2

−𝑎 𝐷) −1

8(((𝜌 𝐷)

2

+ ( 𝑎 2𝐷)

2

−𝑎 𝐷))

2

+ 1 16(((𝜌

𝐷)

2

+ ( 𝑎 2𝐷)

2

−𝑎 𝐷))

3

)

≈ 𝐷 (1 − 𝑎 2𝐷+1

2(𝜌 𝐷)

2

+1 2(𝑎

2𝐷)

2

−1 8(𝑎

𝐷)

2

⏟

0

+2 8(𝜌

𝐷)

2𝑎 𝐷+2

8( 𝑎 2𝐷)

2𝑎 𝐷− 1

16(𝑎 𝐷)

3

⏟

0

)

≈ 𝐷 (1 − 𝑎 2𝐷+1

2(𝜌 𝐷)

2

+1 4(𝜌

𝐷)

2𝑎 𝐷) 𝑆₂𝑀 ≈ 𝐷 (1 + 𝑎

2𝐷+1 2

𝜌² 𝐷²−1

4 𝜌²𝑎

𝐷³) Alors, pour la différence de marche, on obtient : 𝛿(𝑀) = 𝑛(𝑆₂𝑀 − 𝑆₁𝑀) ≈ 𝑛𝐷 (^𝑎

𝐷−¹

2 𝜌²𝑎

𝐷³) ≈ 𝑛𝑎 (1 −¹

2 𝜌² 𝐷²) 2) Intensité lumineuse

𝐼(𝑀) = 2𝐼₀(1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑛𝑎 𝜆₀ (1 −1

2 𝜌² 𝐷²))) 3) Figure d’interférence

L’intensité ne dépend que de la seule coordonnée ρ : les franges d’interférences sont donc des cercles centrés sur l’axe S1S2, on leur donne le nom d’anneaux.

4) Ordre d’interférences 𝑝 =^𝑛𝑎

𝜆₀(1 −¹

2 𝜌² 𝐷²) 5) Rayon des anneaux

On remarque que la différence de marche au centre correspond à na, on la note δ0. On note également l’ordre d’interférence au centre, p0 (non nul dans ce cas). Alors : 𝑝 =^𝛿_𝜆⁰

0(1 −¹_2𝐷^𝑟2₂) = 𝑝₀(1 −¹_2𝐷^𝑟2₂) On peut alors exprimer le rayon de l’anneau p en fonction de p0 tel que : 𝑟_𝑝= 𝐷√2√^𝑝0_𝑝^−𝑝

0

8.4 Réseau par transmission (MP CCP 2006)

Considérons un réseau plan constitué de 𝑁 fentes identiques, fines et parallèles. On pose 𝑝 le pas de ce réseau utilisé par transmission.

1) Le réseau est éclairé par un faisceau parallèle, monochromatique, de longueur d’onde 𝜆 , sous une incidence 𝑖. Le faisceau est diffracté à l’infini dans la direction 𝜃. Les angles 𝑖 et 𝜃 mentionnées sont positifs.

a) Exprimer la différence de marche 𝛿 entre deux rayons homologues séparés d’une distance 𝑝 dans le plan du réseau.

b) Déterminer les directions 𝜃_𝑘 des maximums principaux d’ordre 𝑘.

2) On suppose que le spectre de raies des radiations du mercure est limité par les radiations violette (𝜆_𝑣= 400𝑛𝑚) et rouge (𝜆_𝑟 = 700𝑛𝑚).

a) Déterminer les ordres observables, sous une incidence de 30°, pour ces deux radiations et avec un réseau de pas 𝑝 = 2𝜇𝑚.

b) A partir de quel ordre se produit le recouvrement des spectres ? Justifier votre réponse.

1a) Différence de marche

𝛿 = 𝑝(𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝑖) 1b) Formule des réseaux

𝑝(𝑠𝑖𝑛(𝜃_𝑘) − 𝑠𝑖𝑛(𝑖)) = 𝑘𝜆 𝑘 ∈ ℤ 2a) Ordres observables (valeurs de 𝑠𝑖𝑛(𝜃_𝑘) dans le tableau)

k -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

𝜆_𝑣 -0,9 -0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

𝜆_𝑟 -0,9 -0,55 -0,2 0,15 0,5 0,85

2b) Recouvrement de spectres

k -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

𝜆_𝑣 -0,9 -0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

𝜆𝑟 -0,9 -0,55 -0,2 0,15 0,5 0,85

L’ordre 3 apparait avant la fin de l’ordre 2.

8.5 Recouvrement des ordres

Un réseau comportant 𝑛₀= 800 motifs par millimètre est éclairé par une lampe à vapeur atomique en incidence normale. Les longueurs d’onde sont comprises entre 𝜆_𝑚𝑖𝑛 = 450𝑛𝑚 et 𝜆_𝑚𝑎𝑥 = 600𝑛𝑚. Les spectres se recouvrent- ils et, si oui, à partir de quel ordre ?

Le pas est donné par : 𝑎 = ¹

𝑛₀= 1,25.10⁻³𝑚𝑚.

Angle d’émergence pour les ordres 1, 2 et 3 pour les deux longueurs d’onde :

p=1 p=2 p=3

violet 21,1° 46,1° x

jaune 28,7° 73,7° x

Les ordres ne se recouvrent donc pas.