Exercices 8
Cours ďintroduction à la logique, semestre ďhiver 2005-2006 A rendre avant le lundi 9 janvier, 10 h
Nom(s):
Points obtenus (dans 9 questions avec un total de 20 points):
1. (2 points) Classifiez les propositions suivantes selon la distinction “SaP” / “SiP/ “SeP”
/ “SoP”:
(a) “Tous les anges sont immortels.”
(b) “Aucun ange n’est mortel.”
(c) “Ľhomme est un être raisonnable.”
(d) “Quelques oeuvres ďart ne sont pas jolies.”
(e) “Quelques oeuvres ďart sont laides.”
(f) “Personne parmi les hommes n’est sans vice.”
2. (1 point) Faites un diagramme de Venn pour la proposition suivante. Est-elle compatible avec “AucunF n’estG”?
Tous lesF sontGet tous lesGsontF.
3. (2 points) Soient les cartes suivantes :
E K 4 7
On sait que chaque carte comporte une lettre de ľalphabet ďun côté et un chiffre de ľautre. Supposez que ľon fasse ľaffirmation suivante :
S’il y a une voyelle ďun côté de ces quatre cartes, il y a un nombre pair de ľautre côté.
Combien de cartes faut-il retourner au minimu!pour vérifier cette affirmation ? Les- quelles ?
4. (1 point) Est-ce que les phrases suivantes peuvent être vraies ensembles ; si oui, com- ment ?(utilisez le prédicat “personne(x)” et la relation “xaimey”)
(a) Toute personne aime quelqu’un.
(b) Personne n’est aimé par tout le monde.
5. (2 points) Formalisez les deux propositions suivantes dans le calcul des prédicats (avec
“oiseau(x)”,“corbeau(x)”,“personne(x)”,“blanc(x)”,“noir(x)”,“vertueux(x)”,“heureux(x)”) et dites s’il s’agit ou non de tautologies (de la logique des prédicats):
(a) S’il y a des oiseaux blancs et pas de corbeaux noirs, alors certains oiseaux ne sont pas des corbeaux.
(b) S’il est vrai que, si tous les gens sont vertueux, alors tous les gens sont heureux, alors tous les gens vertueux sont heureux.
6. (1 point) Formalisez les deux énoncés suivants dans le calcul des prédicats. Ces deux énoncés sont-ils sémantiquement équivalents ?
(a) Tous les hommes ont une cervelle de moineau.
(b) Seuls les hommes ont une cervelle de moineau.
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7. (3 points) Soient les abréviations suivantes :
“a” pour le nom propre “Aristote”
“s” pour le nom propre “Socrate”
“P h(. . .)” pour le prédicat unaire “. . .est un philosophe”
“P o(. . .)” pour le prédicat unaire “. . .est un politicien”
“S(. . .)” pour le prédicat unaire “. . .est sérieux”
“A(. . . ,· · ·)” pour le prédicat binaire “. . .admire· · ·”
“R(. . . ,· · ·)” pour le prédicat binaire “. . .respecte· · ·”
Ainsi, on peut écrire “S(s)” pour “Socrate est sérieux”,“A(s, a)” pour “Socrate admire Aristote”,“∃x(P h(x))” pour “il y a un philosophe” etc.
Au moyen de ces abréviations, donnez une formalisation dans le langage du calcul des prédicats de chacune des propositions suivantes (lorsqu’une proposition est ambiguë, donnez les deux formalisations possibles):
(a) “Les philosophes sont sérieux.”
(b) “Les philosophes ne sont pas tous sérieux.”
(c) “Quelques philosophes sont politiciens.”
(d) “Tout politicien s’admire.”
(e) “Tout philosophe respecte Aristote.”
(f) “Certains philosophes respectent Aristote et Socrate.”
(g) “Tous les philosophes admirent un politicien.”
(h) “Les philosophes respectent les politiciens sérieux.”
(i) “Aristote est admiré.”
8. (2 points) Formulez, dans le langage naturel, des phrases contradictoires aux phrases suivantes (indiquez les ambiguïtés là où il y en a):
(a) Tout ce qui brille n’est pas ďor.
(b) Cette salle est à moitié vide.
(c) Tous les chemins mènent à Rome.
(d) Certains Québécois ont au moins deux voitures.
(e) Les chiens ont quatre pattes.
(f) Le chien est un animal.
(g) Le pingouin est mon animal préféré.
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9. (6 points) Soit L+ une langue de la logique des prédicats avec I = {0}, J = {0,1,2}, K = {0,1}, λ(0) = 2, µ(0) = 1,µ(1) = µ(2) = 2. Nous remplaçons les signes non-logiques par les suivants :
. . . R0· · · ❀ . . .≤ · · · f0(. . .) ❀ −. . . f1(. . . ,· · ·) ❀ . . .+· · · f2(. . . ,· · ·) ❀ · · · × · · ·
c0 ❀ 0
c1 ❀ 1
(a) Les expressions suivantes sont-elles des termes deL+? (i) “0”
(ii) “x1+ 1”
(iii) “+x1” (iv) “x1×”
(v) “x1×(0 + 1)”
(vi) “2”
(b) Les expressions suivantes sont-elles des formules atomiques deL+? (i!) “x1+ 1”
(ii!) “0 + 0%= 1”
(iii!) “(x1 ≤1) %= 1”
(iv!) “∀x1(x1≤(0 + 1))”
(v!) “0 + 1%= 0×1”
(vi!) “x1≤1”
(c) Les expressions suivantes sont-elles des formules deL+? (i!!) “0”
(ii!!) “x1+ 1≤x1” (iii!!) “∀x1(x1×(0 + 1))”
(iv!!) “1 +(x1×(0 + 1))”
(v!!) “(1 + 1)∧(0≤1)”
(vi!!) “∀x1(x1≤(0 + 1))”
(d) Dans lesquelles des formules suivantes L+ la variable “x1” a-t-elle une occurrence libre ?
(i!!!) “x1+ 1≤1”
(ii!!!) “∀x1¬(x1 %=(0 + 1))”
(iii!!!) “∃x2(1 +(x2×(0 + 1)≤x1))”
(iv!!!) “∀x1(0≤x1)∧((0≤1)∨1%=x1)”
(v!!!) “∀x1((0≤x1)→(1%=x1))”
(vi!!!) “∀x2∃x1¬(x2 ≤x1)”
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