Module SRM

Module SRM

Partiel du 29 mars 2002 : Solutions A. Circuits et composants

I. Impédance vue à l'extrémité d'une ligne

1. Pour f =1,2GHz, on a Z_L= (36 - 20j) Ω, soit en impédance normalisée zL = 0,72 - 0,4j.

D'où d'après l'abaque de Smith │ρ_L│ = 0,28, Arg(ρ_L) = -112° et TR = 1,76.

2. l/λ = 4×1,2×10⁹/ 2,1×10¹⁰ = 0,229 d'où à l'entrée de la ligne │ρE│ = 0,28, Arg(ρE) = 83°

et TRE = 1,76.

3. Les solutions possibles sont : (d1 = 0,26λ = 4,6 cm ; l1 = 0,17λ = 3 cm) et (d2 = 0,466λ = 8,2 cm ; l2 = 0,33λ = 5,8 cm).

II. Paramètres S.

1. Définitions.

Pour un quadripôle voyant d'une part en entrée l'onde incidente a1 et l'onde réfléchie b1, d'autre part en sortie l'onde incidente a2 et l'onde réfléchie b2, on a par définition des paramètres S :























=





=





=





=

=

=

=

=

adaptée entrée

à sortie en réflexion de

t coefficien ,

adaptée sortie

à sortie la vers entrée l' de on transmissi de

t coefficien ,

adaptée entrée

à entrée l' vers sortie la de on transmissi de

t coefficien ,

adaptée sortie

à entrée en réflexion de

t coefficien ,

2 0 22 2

1 0 21 2

2 0 12 1

1 0 11 1

2 2 1 2

a a a a

a S b

a S b

a S b

a S b

2. Quadripôle atténuateur.

Quand l'impédance R_c est placée à la sortie du quadripôle, l'impédance vue depuis l'entrée est constituée par R1 en série avec R2//(R1 + Rc). On a donc :

2 2 1 2

2 1 1

2 2 2 1

1

1 2

1 1 2

1 2

1 1 2

11 2 2

2 1 1

1 1

c c

c

c c c

c c c

R ) R R ( R R R R

R R R R

R R R

) R R ( R R

R

R R R

) R R ( R R

S R

+ + +

+

−

= +

+

 



+ + + +

−

 



+ + + +

=

En utilisant le théorème de Thévenin et le diviseur de tension, on a quand R_c est placé à la sortie du quadripôle :

) b a R ( R

R R R

R R R

R b R

c

c 1 1

2 1

2

2 1

2 1 1

2 +

+ + +

+

=

avec b1 = S11a1. Compte tenu de l'expression de S11 calculée précédemment, on obtient finalement :

2 2 1 2

2 1 1 21 2

2 2

2

c c

c

R ) R R ( R R R R

R S R

+ + +

= +

Le quadripôle étudié étant symétrique par rapport aux ports d'entrée et de sortie, on a de plus S22 = S11 et S12 = S21.

Enfin, S11 =0⇔R1

(

)

1. Le coefficient d'unilatéralité u est donné par ^{u= 0,38}

(

)(

)

est donc très petit devant 1 et on peut faire l'hypothèse que le quadripôle est unilatéral. En conséquence, on peut d'une part le considérer comme inconditionnellement stable et d'autre part écrire que le coefficient de réflexion ρin en entrée (respectivement ρout en sortie) est donné directement par S11 (respectivement S22).

Pour réaliser l'adaptation conjuguée en entrée par rapport à un générateur d'impédance interne Rc = 50 Ω et en sortie par rapport à une charge d'impédance Rc, il faut donc concevoir des cellules adaptant S11 et S22 par rapport à Rc.

Si l'on réalise ces cellules à base de composants discrets (du type inductance ou capacité), on a pour S11 quatre choix possibles. Dans la configuration où un premier composant discret est en série avec le quadripôle et un deuxième parallèle au générateur, on peut prendre les couples (1,7 nH ; 12 nH) ou (7,3 nH ; 1,5 pF) (avec 1^ère valeur : en série, 2^ème : en parallèle).

Si au contraire le plus proche du quadripôle est en parallèle et celui le plus proche du générateur en série, on a les deux choix suivants : (30 nH ; 4 nH) et (6 nH ; 4,4 pF).

Pour l'adaptation de S22 on a également quatre choix, soit pour la configuration série-parallèle les couples (1 nH ; 21 nH) et (5 nH ; 0,8 pF) et pour la configuration parallèle-série (60 nH ; 2,3 nH) et (8,8 nH ; 7,6 pF).

2. Si on ne fait plus l'hypothèse d'unilatéralité du quadripôle, on peut d'une part en étudier

de stabilité K. On a en fait ∆ =0,2<1 et K = 4,5 > 1. Le quadripôle est donc inconditionnellement stable. D'autre part, ρin et ρout ne sont plus directement donnés par S11 et S22, ils dépendent aussi de S12, S21 et des coefficients de réflexion du générateur ρg et de la charge ρl. Pour réaliser l'adaptation conjuguée, il faut d'abord déterminer le couple de valeurs (ρms ; ρml) qui vérifie







ρ ρ

= ρ

ρ ρ

= ρ

) (

) (

ms out

* ml

ml in

*

ms , puis concevoir des cellules pour adapter ces coefficients de réflexion à ρg et ρl.

B. Communications numériques

I. Capteur CCD

1. La résolution horizontale est : 2592/210 = 12,34 pixels par mm.

2. Pour un signal sinusoïdal quantifié sur m = 2ⁿ niveaux (soit n bits) et d'amplitude crête à crête occupant toute la plage de quantification, le rapport signal à bruit de quantification est donné en dB par : S/NQ = 6n + 1,8. On veut S/NQ > 45 dB d'où n > 7,2. Le nombre minimal de bits à utiliser est donc n = 8.

3. Pour améliorer le rapport signal à bruit, on peut utiliser une loi de quantification logarithmique, comme les lois µ et A, employées respectivement aux Etas-Unis et en Europe pour les transmissions téléphoniques numérisées.

4. Capacité mémoire = 2592×12,34×297×8 = 76 Mbits = 9 Mo.

5. 100Mbits/s

ln(2) 101 10 ln(

15 1

log₂ = × ⁶ =



 

 +

= )

N B S

C 6. OUI !

7. Temps requis = 76 s.

8. Le format NRZ unipolaire est tel qu'un zéro logique 0L est codé par une tension nulle sur toute la durée Tb du bit et un logique 1L par une tension +V positive pendant Tb. Si la largeur de bande BNRZ de ce format est donnée par celle du 1^er lobe de sa densité spectrale de puissance, on a BNRZ = 1/Tb soit 1 MHz pour le débit évoqué (1 Mbits/s). Pour un format RZ1/2 unipolaire (idem pour 0L, mais retour à 0 V pendant la deuxième moitié de T_b pour 1L), la bande nécessaire est doublée soit BRZ_1/2 = 2/T_b = 2 MHz.

9. Utilisation de codes m-aires avec m > 2.

10. Le débit symbole M& est tel que D& =M& log₂m soit ici pour m = 4, M& =D& /2=500kHz.

II. Communication par codage de Miller

1. Si dk = dk-1 = 0, le code Miller est égal à H (resp. L) sur l'ITE k si on avait L (resp. H) à l'ITE k-1. Il y a dans tous les cas une transition en début d'ITE k, et pas de transition au milieu de cette ITE.

Si dk = 1 et dk-1 = 0, on a une transition montante ↑ ou descendante ↓ au milieu de l'ITE k, suivant le type de 1L transmis précédemment (↓ ou ↑, respectivement), précédée obligatoirement dans le premier cas d'un motif L et dans le deuxième d'un motif H. On a donc une transition en milieu d'ITE, mais pas en début d'ITE.

Si dk = 0 et dk-1 = 1, on peut avoir des enchaînements de k-1 à k des types (↓;L) et (↑;H). Il ne se produit pas alors de transition pendant l'ITE k, ni au début, ni au milieu.

Si d_k = dk-1 = 1, les enchaînements possibles sont (↓;↑) et (↑;↓). Dans les deux cas, une transition de produit au milieu de l'ITE k, mais pas à son début.

Pour résumer, si dk = 1 on a une transition en milieu d'ITE k mais pas en début, si dk = dk-1 = 0, il se produit une transition en début d'ITE k mais pas au milieu, et enfin si on a dk = 0 avec dk-1 = 1, on n'a aucune transition au cours de l'ITE k. On a donc une transition si et seulement si : d_k + d_k-1=1.

2. Si on débute par une transition en début d'ITE, soit dk = 0, on peut ensuite avoir dk+1 = 0 soit une transition en début d'ITE suivante et la durée du palier est égale à T, ou on peut avoir dk+1 = 1 auquel cas la transition suivante ne se produit qu'au milieu de l'ITE k+1, d'où une durée de palier de 3T/2. Si on débute par une transition en milieu d'ITE, soit dk = 1, on a 3 cas possibles pour la suite. Si dk+1 = 0, il n'y a pas de transition à l'ITE k+1, mais le palier s'interrompt forcément à l'ITE k+2 : soit au début de cette ITE pour dk+2 = 0, et on a alors une durée de palier égale à 3T/2, soit au milieu de l'ITE k+2 pour dk+2 = 1, le palier durant au total 2T. Enfin pour dk = dk+1 = 1, le palier s'interrompt par une transition au milieu de l'ITE k+1, sa durée étant de T. En conclusion, les durées possibles pour les paliers sont T = 1 µs, 3T/2 = 1,5 µs et 2T = 2 µs.

Pour les longues suites de 0L ou de 1L, le code de Miller est particulièrement avantageux puisque des transitions espacées de T sont alors présentes ce qui permet, comme dans le cas du codage Manchester (dit aussi biphase), la récupération de l'horloge. A l'opposé, on perd en NRZ la possibilité de récupérer l'horloge pour les longues suites de 0L ou de 1L, de même en RZ unipolaire ou AMI-NRZ (dit aussi bipolaire) dans le cas des longues suites de 0L. Pour Miller, la durée minimale d'un palier (T) est la même que pour un codage NRZ, ce qui est plus

Manchester (T/2). La durée maximale du palier (2T) conditionne quant à elle la borne inférieure du spectre du code. Dans le cas d'un canal coupant les basses fréquences, cette valeur assez faible est également favorable, mais elle l'est moins que dans le cas d'un codage Manchester (durée minimale d'un palier égale à T).

3. Si en entrée x on a un palier à VL ou VH sur toute la durée T de l'ITE, suivant la valeur 0L

ou 1L du bit transmis, on a en sortie y une transition en milieu d'ITE, avec dans le premier cas (0L) un motif ↓, et dans le deuxième cas (1L) un motif ↑. Le signal y est en fait le code Manchester (dit aussi biphase) associé au code NRZ x. On peut également considérer qu'il s'agit d'un transcodage 1B2B : chaque bit de durée T en x est transcodé en 2 bits NRZ de durée T/2 en y, avec la correspondance : x = 0L → y = (1L;0L) et x = 1L → y = (0L;1L).

Pour déterminer comment convertir y en z, on peut remarquer que le signal z présente une transition en milieu d'ITE k pour dk = 1, ce qui correspond à une transition ↑ au même moment sur y. De même, pour dk-1 = dk = 0, on a au début de l'ITE k une transition pour z et une transition ↑ pour y. Pour dk-1 = 1 et d_k = 0, il n'y a pas de transition pour z au cours de l'ITE k et seulement une transition ↓ pour y. En résumé, z présente des transitions aux moments des fronts ↑ de y. On est donc conduit pour transformer y en z à utiliser une bascule D, avec y sur l'entrée d'horloge Clk et rétroaction de la sortie Q sur l'entrée D, le code z étant obtenu sur le sortie Q (voir figure suivante). On doit enfin initialiser à 0 le dispositif (entrée

"Clear") au début du premier ITE. Ainsi le premier motif est L si d1 = 0L et ↑ sinon.

D

Clk y

Q z

Q Clear Initialisation

4.

2 5 2 2

2 5 10

2 0,95

7 ,

, ,

G_c =

×

< ∆ σ

⇔ σ >

⇔ ∆

×

<



 



 σ

= ∆

ε ⁻