Module SRM : Examen du 15 juin 2001

Module SRM : Examen du 15 juin 2001

Durée : 3 heures.

Aucun document n'est autorisé. Les réponses aux questions doivent toujours être justifiées. Les parties A et B doivent être rendues sur des copies séparées.

A. Antennes

Un générateur micro-onde alimente une ouverture rayonnante, constituée par un carré de côté a = 30 cm. La fréquence du générateur est de 10 GHz. Le loi d'illumination est telle que :

2 x

0 a

cos y E ) y

; x

( e

E 



 



=  π (1)

pour un système de coordonnées cartésiennes (O;ex;ey;ez) dont l'axe (Oz) est l'axe de symétrie de l'ouverture.

1. A quelle distance minimale d_min doit-on se situer par rapport à l'ouverture pour se placer en

"champ lointain" vis-à-vis de celle-ci ? 2. Caractéristique vectorielle de rayonnement

a. Calculer la caractéristique vectorielle de rayonnement F(α,β) de l'ouverture, où α et β sont deux des trois coordonnées, ou "cosinus directeurs", repérant la direction d'observation.

b. Tracer en coordonnées cartésiennes l'allure du diagramme de rayonnement dans les plans E et H. On précisera en particulier les abscisses αm et βm, où m est un entier relatif, conduisant à l'annulation de F(α,β), et on prendra soin de limiter ces tracés à "l'espace visible".

c. En définissant la largeur des lobes principaux grâce à α1 et β1, déterminer en fonction de a et λ l'ouverture angulaire ∆θ des lobes principaux dans les plans E et H. Applications numériques.

d. Déterminer analytiquement le niveau de lobe secondaire dans le plan E. Faire de même dans le plan H en supposant que l'abscisse donnant le niveau de lobe secondaire dans ce plan coïncide avec celle d'un lobe secondaire dans le plan E. Applications numériques.

e. La loi d'illumination est affectée d'un déphasage linéaire en x et y :

x ) y x ( 2 jk

0 e ^{0 0}

a cos y E ) y

; x

( e

E  ^{− α +β}



 



=  π (2)

a. Pour une ouverture carrée de côté a, la directivité peut atteindre une valeur maximale D_M. Dans quelles conditions ? Donner l'expression de DM en fonction de a et λ. Application numérique.

b. Calculer la directivité D₀ de l'ouverture dans la direction du maximum de rayonnement dans le cas de la loi d'illumination (1). Application numérique. Comparer DM et D0.

4. Liaison radar

L'ouverture rayonnante considérée est pointée vers une cible située à une distance r₁ de l'ouverture. Le gain en ré-émission de la cible est G et son aire d'absorption σ. L'onde re-rayonnée par la cible est captée par deuxième ouverture pointée vers elle, située à une distance r₂ de la cible, et identique à la première.

a. En supposant que D0 est le gain de l'ouverture, déterminer le rapport entre la puissance WR

reçue sur l'ouverture réceptrice et la puissance d'alimentation WE de l'ouverture réceptrice.

b. A. N. : calculer WR/WE en dB pour la surface équivalente radar G.σ = 10 m², et r_E = r_R = 1 km.

c. Quelles sont les solutions possibles pour "balayer" l'espace et localiser une cible.

5. Réception et adaptation d'impédance

Dans le cas de la liaison précédente, l'ouverture rayonnante se comporte vis-à-vis du récepteur comme un générateur équivalent de force électromotrice U_éq et d'un impédance interne Z_éq. Ce générateur alimente, par l'intermédiaire d'un coaxial d'impédance caractéristique ZC, le récepteur dont l'étage d'entrée est constitué par un amplificateur faible bruit d'impédance d'entrée ZL. On considère Z_éq = Z_C = 50 Ω et Z_L = (130 + j.70) Ω.

a. De quels paramètres caractéristiques de l'ouverture rayonnante dépendent Uéq et Zéq ? Répondre en quelques phrases.

b. Déterminer le coefficient de réflexion ρL sur la charge et le taux d'ondes stationnaires T_R associé.

c. A l'aide de l'abaque de Smith fourni en annexe, proposer deux solutions d'adaptation d'impédance à un stub.

d. Proposer une solution d'adaptation d'impédance à deux stubs.

B. Transmission numérique : Principe de la transmission CDMA

Les parties I., II. et III. forment un tout.

I. Modulation

Pour transmettre une information numérique binaire (a=1ou0) au format NRZ antipolaire (a =1→x(t)=1 ,a=0→x(t)=-1) on utilise, du côté émetteur, le schéma de principe suivant constitué de multiplieurs :

x(t) v(t) w(t)

X X

g(t) p(t) = cos(ω0t)

Figure 1

Les amplitudes des signaux ainsi que les coefficients des multiplieurs sont normalisés à 1. La durée d'un élément binaire est notée T (rythme _m M& =1/T_m bauds). Le signal de codage g(t), synchronisé avec le rythme binaire, est aussi au format NRZ binaire antipolaire mais périodique de période T et de durée d'un symbole _m T /N, N étant un entier. On prendra pour la suite N = 4. _m

On considère les quatre possibilités suivantes pour g(t), tracées sur une seule période.

g₁(t) g₂(t) g₃(t) g₄(t)

1 1 1 1

-1 -1 -1

Tm Tm Tm Tm Figure 2

en fréquences Bx ?

4. En déduire l'encombrement en fréquences Bw du signal w(t) pour les quatre cas possibles du code g(t).

II. Démodulation

Pour démoduler, après transmission, on récupère la porteuse et on cale la différence de phase à 0 à l'aide d'une boucle PLL, puis on utilise le schéma de principe ci-dessous :

échantillonneur T d(t)

w(t) c b

X

Figure 3

C

corrélateur F

Le filtre passe-bas F a une fréquence de coupure supérieure à Bw et très faible devant ω0/(2π).

L'échantillonneur de période T=T_m/4, synchronisé avec le rythme binaire T , donne 4 _m échantillons dk de d(t) durant T , le premier décalé de _m T /8. Le code g_m i(t), également synchronisé avec le rythme binaire T , correspond à l'un des quatre signaux de la figure 2. _m

Le corrélateur effectue l'opération

∑

=

= ⁴

1 k

i k.g (t) d

c . Le comparateur C donne en sortie b = 1 quand c≥0 et b = 0 quand c<0.

1. Exprimer d(t) en fonction de v(t).

2. L'émetteur et le récepteur utilisent tous deux le code g₃(t). Donner les quatre valeurs successives de dk quand on transmet pour a un '1', puis quand on transmet un '0'. En déduire c et b et comparer b et a.

3. On émet toujours avec le code g₃(t) mais on démodule successivement avec les codes g₁(t), g₂(t) et g₄(t). Comparer b avec les deux valeurs de a pour les trois cas.

III. Multiplexage

Deux utilisateurs utilisent simultanément le même émetteur selon le schéma de la figure 4. On note a les bits correspondant au premier utilisateur et a' ceux correspondant au second.

x(t) v(t) w(t)

X + X

g1(t) p(t) = cos(ω0t)

x'(t) v'(t)

X

g3(t) Figure 4

1. On réceptionne avec le code g1(t). Donner b en fonction des 4 couples des bits a et a'.

Conclusion.

2. Mêmes questions si on réceptionne avec g₃(t).

3. On réceptionne maintenant avec le code g4(t). Donner de nouveau b en fonction des a et a'.

Commentaire.

4. Effectuer les produits scalaires <g₃(t),g₁(t)>, <g₃(t),g₂(t)>, <g₃(t),g₄(t)>, <g₁(t),g₂(t)>,

<g1(t),g4(t)>, <g2(t),g4(t)> (où

∑

=



 



 +



 



 +

>=

< ³

0 k

m j

m i

j

i 4

T 2

1 k g 2 4 . T 2

1 k g 2 )

t ( g ), t (

g ), et en

déduire, compte tenu des résultats précédents, une propriété que doivent satisfaire les codes pour assurer convenablement les transmissions.

5. On prend maintenant N >> 4. Justifier le vocable 'transmission par étalement de spectre' pour ce type de multiplexage.

6. Que devient ce spectre si K utilisateurs partagent la même bande de fréquences ?