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ème1
INTERROGATION DE MATHEMATIQUES
Cosinus
Jeudi 12 avril 2012 CORRIGE
EXERCICE N°1
Nous pouvons fournir la figure suivante pour fixer les idées. Nous avons fait apparaître une
diagonale qui est en l’occurrence la bissectrice des angles DAB et n BCD n (il ne fallait pas démontrer ce résultat classique dans le carré). On en déduit immédiatement que l’angle BAC n admet pour mesure 45°.
On a alors : Données
ABC triangle rectangle en B.
AB = a et BAC n = 45 ° Définition
Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Conclusion
n AB cos BAC
= AC Soit :
cos 45°
AC
= a
D’où : a = AC cos 45° × et enfin :
AC 2
cos 45° 1
a a
= = = × a
A B
D C
Conclusion
EXERCIC
ABCD est Le point H On donne
1. Comm Donnée Le trian AB = 5 Définit Cosinu Conclu
Soit : c
D’où :
n générale (
CE N°2
un parallélo H est le pied
: AB = 5 et
e le point H es
ngle ABH e 5 et AH = 2 tion
us d’un angl usion
n 2 cos HAB =
n n DAB = HA
L’ang A
(à connaître Dans un à la longueu
ogramme.
de la haute t AH = 2 .
H appartient
est rectangle 2 .
le aigu dans
2 0, 4 5 = . n AB = arccos
gle DAB ad n B
H
!) :
carré, la lon ur du côté m
ur issue du
au segment
e en H.
s un triangle
2 arccos 5 =
dmet pour m
ngueur de la multipliée p
sommet B.
t [ ] AD , on
e rectangle.
cos HAB n =
0, 4 66, 4°
mesure exac
a diagonale ar la racine
a immédiat
AH AB
° .
cte arccos 0,
est égale carrée de 2
tement : DA n
, 4 soit envi D
2.
n AB = HAB n
iron 66,4°.
C
.
2. Le résultat de l’énoncé ( BH = 21 ) ne suggérait-il pas l’utilisation du théorème de Pythagore ? Données
Le triangle ABH est rectangle en H.
AB = 5 et AH = 2 . Propriété
Théorème de Pythagore.
Conclusion
2 2 2
AB = AH + HB Soit : 5
2= 2
2+ HB
2, d’où : HB
2= 25 4 − = 21 .
Finalement, HB étant un nombre positif (distance) : HB = 21 . La distance HB est égale à 21 .
3. Données
ABD est un triangle rectangle en B.
Propriété
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
Conclusion
BAD n n + BDA = ° 90
D’où : DAB n = BAD n = ° − 90 BDA n = ° − 90 BDH n .
Données
HBD est un triangle rectangle en B.
Propriété
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
Conclusion
HBD n n + HDB = ° 90
D’où : HBD n = ° − 90 HDB n = ° − 90 n BDH .
Comme on a : DAB n = ° − 90 n BDH et HBD n = ° − 90 BDH n , on en conclut immédiatement : n n
DAB = HBD
4. Données
HAB est un triangle rectangle en H.
AB = 2 et AH = 2 . Définition
Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Conclusion
n n AH 2 cos DAB cos HAB
AB 5
= = =
Données
HBD est un triangle rectangle en H.
HB = 21 . Définition
Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Conclusion
n BH 21 cos HBD
BD BD
= =
Comme DAB n = HBD n , on a : cos DAB n = cos HBD n , soit :
2 21
5 = BD
Le produit en croix donne alors : 2 BD × = × 5 21 . D’où : 5 21 5
BD 21
2 2
= × = × .
BD 5 21
= × 2
5. On connaît AB et on vient de calculer BD … Données
Le triangle ABD est rectangle en B.
AB = 5 et 5
BD 21
= × 2 . Propriété
Théorème de Pythagore.
Conclusion
2 2 2
AD = AB + BD
Soit :
2
2 2
2 2 2
