Master Enseignement

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Analyse 1 2018-2019

Universit´ e Paris 13

Devoir maison d’analyse

Le but de ce petit probl` eme est d’´ etudier les fonctions convexes. ` A partir de la d´ efinition g´ eom´ etrique, on d´ emontrera les propri´ et´ es de base (in´ egalit´ es des “pentes croissantes”, r´ esultats sur la d´ erivabilit´ e et la continuit´ e). On d´ emontrera ensuite une in´ egalit´ e plus g´ en´ erale, dont une cons´ equence sera une comparaison entre la moyenne arithm´ etique et la moyenne g´ eom´ etrique.

Dans tout le probl` eme, I d´ esigne un intervalle de R avec au moins deux points.

1 D´ efinition et premiers exemples

D´ efinition : Soit f une application de I dans R . On dit que f est une fonction convexe sur I si

∀(x, y) ∈ I ² , ∀t ∈ [0, 1], f (tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f (y). (*) D´ efinition : Pour x < y dans I, on appelle arc du graphe de f entre x et y l’ensemble des points de coordonn´ ees (z, f(z)) o` u z d´ ecrit l’intervalle [x, y]. Pour x < y dans I , on appelle corde du graphe de f entre x et y le segment d’extr´ emit´ es (x, f (x)) et (y, f (y)).

Interpr´ etation g´ eom´ etrique : Une fonction est convexe sur I si et seulement si tout arc du graphe de f est en-dessous de sa corde.

D´ efinition : Soit I un intervalle de R et f une application de I dans R . On dit que f est une fonction concave sur I si

∀(x, y) ∈ I ² , ∀t ∈ [0, 1], f (tx + (1 − t)y) ≥ tf(x) + (1 − t)f (y).

Question 1.1 D´ eterminer g´ eom´ etriquement lesquelles des fonctions suivantes sont con- vexes :

a) f : R → R , f (x) = e ^x si x ∈ R . b) f : R → R, f (x) = x ² si x ∈ R.

c) f : R → R , f (x) = x ³ si x ∈ R . d) f : R ⁺ → R , f (x) = x ³ si x ∈ R ⁺ .

e) f : [−1, 1] → R, f (−1) = 2, f (1) = 2 et f (x) = x ² si x ∈] − 1, 1[.

f) f : [−1, 1] → R , f (−1) = 0, f (1) = 0 et f (x) = −x ² si x ∈] − 1, 1[.

g) f : [−1, 1] → R , f (x) = 0 si x < 0 et f (x) = x si x ≥ 0.

(On tracera l’allure des graphes et si la fonction n’est pas convexe, on tracera une corde le prouvant.)

Question 1.2 Soit f une application de I dans R . Montrer que f est convexe si et seulement si −f est concave.

Question 1.3 Donner l’interpr´ etation g´ eom´ etrique de la concavit´ e. En d´ eduire les appli-

cations qui sont ` a la fois convexes et concaves.

2 Propri´ et´ es de continuit´ e et d´ erivabilit´ e des fonctions con- vexes

2.1 In´ egalit´ e des pentes croissantes

Soit f : I → R . On veut montrer la caract´ erisation suivante de la convexit´ e :

f convexe sur I ⇔

∀(x, y, z) ∈ I ³ , x < y < z ⇒ f (y) − f (x)

y − x ≤ f (z) − f (x)

z − x ≤ f (z) − f (y) z − y

On appelle la double in´ egalit´ e du terme de droite l’in´ egalit´ e des pentes croissantes.

Pour d´ emontrer cette caract´ erisation, on va raisonner g´ eom´ etriquement. Pour x < y < z dans I , on introduit les points suivants :

A de coordonn´ ees (x, f (x)), B de coordonn´ ees (y, f (y)), C de coordonn´ ees (z, f(z)) et P le point d’abscisse y sur le segment [AC].

Question 2.1.a (Repr´ esentation graphique d’un cas particulier)

Tracer l’allure de la courbe de f = exp sur [−1, 1], et placer les points A, B, C et P dans le cas x = −1, y = 0, z = 1. Interpr´ eter g´ eom´ etriquement les trois valeurs dans l’in´ egalit´ e des pentes croissantes.

On prouve maintenant la caract´ erisation dans le cas g´ en´ eral.

Question 2.1.b Exprimer l’ordonn´ ee de P (que l’on note y _P ) en fonction de f(x), y − x et de la pente de la droite (AC). Exprimer y P d’autre part en fonction de f (z), y − z et de la pente de la droite (AC).

Question 2.1.c D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que si f est convexe sur I, alors l’in´ egalit´ e des pentes croissantes est v´ erifi´ ee.

Question 2.1.d R´ eciproquement, si on suppose que l’in´ egalit´ e des pentes croissantes est v´ erifi´ ee pour f, montrer que f (y) ≤ y _P et en d´ eduire que f est convexe sur I.

2.2 D´ erivabilit´ e et continuit´ e

Soit f une fonction convexe de I dans R. On veut montrer qu’en tout point int´ erieur ` a I, f est continue, d´ erivable ` a gauche et d´ erivable ` a droite.

Soit x ₀ un point int´ erieur ` a I. On introduit la fonction φ : I∩] − ∞, x ₀ [→ R d´ efinie par :

∀x ∈ I ∩] − ∞, x ₀ [, φ(x) = f (x) − f (x 0 ) x − x 0

.

Question 2.2.a Soit x et y dans I tels que x < y < x 0 . En utilisant l’in´ egalit´ e des pentes croissantes, d´ emontrer que φ(x) ≤ φ(y).

Question 2.2.b Soit λ dans I avec λ > x 0 . D´ emontrer que φ est major´ ee par f (λ) − f (x 0 ) λ − x ₀ . (on pourra utiliser l’in´ egalit´ e des pentes croissantes)

Question 2.2.c En d´ eduire que f est d´ erivable ` a gauche en x 0 et est continue ` a gauche

en x 0 .

Question 2.2.d Comment pourrait-on proc´ eder pour montrer que f est d´ erivable ` a droite en x <sub>0</sub> et est continue ` a droite en x ₀ ?

Remarque ` a retenir : On a montr´ e qu’une fonction convexe ´ etait d´ erivable ` a gauche et ` a droite (donc continue) en tout point int´ erieur ` a I . Cependant, elle peut tr` es bien ne pas ˆ etre d´ erivable en un point (cf. l’exemple g de la question 1.1), et peut ne pas ˆ etre continue aux extr´ emit´ es de l’intervalle (cf l’exemple e de la question 1.1).

Concernant les d´ eriv´ ees ` a gauche et ` a droite, on pourrait montrer de plus que f _g ⁰ (x ₀ ) ≤ f _d ⁰ (x ₀ ) pour x ₀ int´ erieur ` a I (et mˆ eme que l’ensemble des points de non-d´ erivabilit´ e est au plus d´ enombrable).

2.3 Caract´ erisation des fonctions convexes d´ erivables

Dans toute cette partie 2.3, on suppose que f est une fonction d´ erivable de I dans R . Question 2.3.a Supposons f convexe. Soit x < z fix´ es dans I , et y dans ]x, z[.

En utilisant l’in´ egalit´ e des pentes croissantes, d´ emontrer que f ⁰ (x) ≤ f (z) − f (x)

z − x ≤ f ⁰ (z).

(on pourra faire tendre y vers des valeurs bien choisies pour prouver chacune des in´ egalit´ es) Question 2.3.b En d´ eduire que si f est convexe, alors f ⁰ est croissante.

On s’int´ eresse maintenant ` a l’implication r´ eciproque. On suppose donc f <sup>0</sup> croissante dans les questions ` a venir de la partie 2.3, et on souhaite d´ emontrer que f est convexe.

Soit x < y fix´ es dans I , et φ : [0, 1] → R d´ efinie par

∀t ∈ [0, 1], φ(t) = tf(x) + (1 − t)f (y) − f (tx + (1 − t)y).

Question 2.3.c D´ emontrer que φ est d´ erivable et calculer sa d´ eriv´ ee. Calculer φ(0) et φ(1).

Question 2.3.d Ecrire l’´ egalit´ e des accroissements finis pour f entre x et y. En d´ eduire qu’il existe λ ∈]0, 1[ tel que pour tout t de [0, 1],

φ ⁰ (t) = (x − y)

f ⁰ (λx + (1 − λ)y) − f ⁰ (tx + (1 − t)y) .

Question 2.3.e R´ esoudre l’in´ egalit´ e λx + (1 − λ)y ≥ tx + (1 − t)y d’inconnue t et en d´ eduire le signe de φ ⁰ sur [0, λ] et sur [λ, 1].

Question 2.3.f Etablir le tableau de variation de φ (on ne pr´ ecisera pas f (λ)).

Question 2.3.g Conclure.

Remarque ` a retenir : Cette partie 2.3 prouve donc que pour une fonction f d´ erivable, il y a ´ equivalence entre la convexit´ e de f et la croissance de f ⁰ . On en d´ eduit ais´ ement que pour f deux fois d´ erivable, il y a ´ equivalence entre la convexit´ e de f et la positivit´ e de f ⁰⁰ .

De fa¸ con similaire, on peut montrer qu’une fonction d´ erivable est convexe si et seulement

si son graphe est au-dessus de toutes ses tangentes.

3 Des utilisations de la convexit´ e

Soit f une application de I dans R.

Soit n ∈ N ^∗ , (x 1 , . . . , x n ) ∈ I ⁿ et (λ 1 , . . . , λ n ) ∈ [0, 1] ⁿ v´ erifiant λ 1 + . . . + λ n = 1.

On admet pour les parties 3.1, 3.2 et 3.3 que l’in´ egalit´ e suivante est v´ erifi´ ee si f est convexe.

f

n

X

i=1

λ i x i

!

≤

n

X

i=1

λ i f (x i ) (**)

On prouvera dans la partie 3.4 que l’in´ egalit´ e (∗) implique bien l’in´ egalit´ e (∗∗).

3.1 Moyennes arithm´ etique et g´ eom´ etrique

Question 3.1.a Grˆ ace aux r´ esultats de la partie 2.3, d´ emontrer que la fonction logarithme n´ ep´ erien est concave.

Question 3.1.b On consid` ere maintenant n ∈ N ^∗ , (x 1 , . . . , x n ) ∈ (R ⁺ _∗ ) ⁿ . D´ emontrer que

ln 1 n

n

X

i=1

x i

!

≥ ln





n

Y

i=1

x i

!



 .

Question 3.1.c En d´ eduire que la moyenne arithm´ etique des nombres x 1 , . . . , x n est sup´ erieure ` a leur moyenne g´ eom´ etrique.

3.2 Entropie d’une probabilit´ e

On consid` ere l’univers Ω = {1, ..., n} et P une probabilit´ e sur Ω. On rappelle que P est caract´ eris´ ee par les r´ eels p _k = P ({k}) pour 1 ≤ k ≤ n. L’entropie de la probabilit´ e P est d´ efinie par

H( P ) = −

n

X

k=1

p _k ln(p _k ).

Avec pour convention 0 ln(0) = 0.

Question 3.2.a Montrer que H est ` a valeurs dans R + et trouver une P telle que H(P) = 0.

Question 3.2.b Calculer H( P ) lorsque P est la loi uniforme sur {1, ..., n}.

Question 3.2.c Soit (q _k , k ∈ [|1, n|]) et (p _k , k ∈ [|1, n|]) deux probabilit´ es sur {1, . . . , n}, telles qu’aucun p _k ou q _k ne s’annule. D´ emontrer ` a l’aide de l’in´ egalit´ e (∗∗) appliqu´ ee ` a la fonction − ln, aux points x k = p k /q k et ` a λ k = q k que

n

X

k=1

q k ln(p k ) ≤

n

X

k=1

q k ln(q k ).

En choisissant p _k = 1/n pour tout k ∈ {1, . . . , n}, en d´ eduire que la probabilit´ e uniforme r´ ealise le maximum de H. ¹

1

De fa¸ con heuristique, l’entropie mesure le manque d’information d’une loi : on voit ainsi que la loi

uniforme, qui ne favorise aucun des possibles, est la loi qui apporte le moins d’information. Inversement,

la loi de probabilit´ e o` u un des possibles a probabilit´ e 1 de se r´ ealiser r´ ealise le minimum de l’entropie sur

Ω = {1, ..., n}.

3.3 Une autre application

Soient a, b, c trois r´ eels strictement positifs. D´ emontrer que a

b + c + b

a + c + c a + b ≥ 3

2 .

Indication : On pourra commencer par supposer que a + b + c = 1.

3.4 In´ egalit´ e g´ en´ eralis´ ee de convexit´ e

On veut ici d´ emontrer l’in´ egalit´ e (∗∗) (souvent appel´ ee in´ egalit´ e de Jensen) pour une fonction convexe f . On proc` ede par r´ ecurrence sur n.

Question 3.3.a D´ emontrer que (∗∗) est v´ erifi´ ee pour n = 1 et pour n = 2.

Pour toute la suite, soit n fix´ e tel que (∗∗) soit vraie. On veut d´ emontrer que (∗∗) est vraie au rang suivant.

Fixons donc (x 1 , . . . , x n+1 ) ∈ I ⁿ⁺¹ et (λ 1 , . . . , λ n+1 ) ∈ [0, 1] ⁿ⁺¹ v´ erifiant λ 1 +. . .+λ n+1 = 1.

Question 3.3.b Montrer que si λ _n+1 = 1, alors (∗∗) est v´ erifi´ ee.

Question 3.3.c On s’int´ eresse maintenant au cas λ n+1 < 1.

On a donc P n

i=1 λ _i = 1 − λ _n+1 > 0.

Posons y = 1 P _n

i=1 λ _i

n

X

i=1

λ i x i . On admet que y est bien un point de I .

Montrer f

n+1

X

i=1

λ _i x _i

!

≤ (1 − λ _n+1 )f (y) + λ _n+1 f (x _n+1 ).

D’autre part, montrer via l’hypoth` ese de r´ ecurrence que f(y) ≤ 1 1 − λ n+1

n

X

i=1

λ _i f (x _i ).

Combiner les deux in´ egalit´ es pr´ ec´ edentes pour obtenir l’in´ egalit´ e (∗∗) au rang n + 1.