Le probl` eme de Stokes.

(1)

Oscillations parasites et rem` edes pour le probl` eme de convection-diffusion et le probl` eme de Stokes

Pascal Omnes - Email : pascal.omnes@cea.fr - T´el : 01.69.08.43.57

Introduction

Les ´equations de Navier-Stokes r´egissent le mouvement d’un fluide visqueux.

Nous nous proposons d’étudier quelques aspects liés à la résolution numérique d’un problème simplifié, et de réaliser la mise en œuvre effective de celle-ci par une méthode d’éléments finis.

Nous considérons un domaine Ω borné de IR², de frontière Γ. Les équations de Navier-Stokes s’écrivent :

∂ρ

∂t +∇·(ρU) = 0. (1)

∂(ρU)

∂t +∇·(ρU⊗U) +∇P − ∇·τ = 0, (2) avec τ =µ(∇U+(∇U)^T)− 2

3µ∇·UI . (3)

L’équation (1) traduit la conservation de la masse et (2) la conservation de la quantité de mouvement en l’absence de sources de matière et de forces extérieures.

Nous avons désigné par ρ, U P et µrespectivement la densité, la vitesse et la pression du fluide. La matrice I désigne la matrice identité de IR².

On dit qu’un fluide est incompressible si sa densit´e ne varie ni spatiale- ment ni au cours du temps. Nous supposerons en outre que µest ´egalement une constante.

Question 1 Montrer que pour un fluide incompressible,

∇ ·U= 0 . (4)

En d´eduire que ∇·τ =µ∆U.

Nous posons par la suite p= ^P_ρ etν = ^µ_ρ qui sont respectivement la pression et la viscosité cinématiques, et que nous continuerons à nommer “pression”

et “viscosit´e”.

(2)

Question 2 Montrer que (2) s’´ecrit alors

∂U

∂t +U· ∇U−ν∆U+∇p= 0. (5) Nous n’allons pas étudier (4)-(5) qui est un système non-linéaire mais un système plus simple, indépendant du temps :

∇ ·U = 0, (6)

A· ∇U−ν∆U+∇p = 0, (7) où A est un vecteur supposé donné. Les difficultés numériques liées à la résolution de (6) et (7) sont de plusieurs types. Afin de mieux les comprendre, nous allons étudier, en dimension un, deux systèmes plus simples.

Un d´ etour par la dimension un.

Un probl` eme de convection diffusion.

Posons u=U_x et consid´erons a∂u

∂x −ν∂²u

∂x² = 0 , (8)

où a etν sont des constantes réelles données.

Question 3 Quelle est la solution générale de cette équation? En déduire que cette solution est monotone.

Il est important dans la pratique d’établir un schéma numérique préservant cette monotonie.

Considérons un découpage de IR en segments de longueur constante et égale

à ∆x. Considérons l’élément fini P1 de Lagrange associé aux nœuds de ce découpage. Pour le moment, nous ne nous préoccupons pas des conditions aux limites sur u.

Nous cherchons donc une solution approch´ee de (8) dans l’espace

Vh ={uh∈ C⁰(IR) ; ∀Kh ∈Υh , (uh)|Kh ∈P₁(Kh)}, (9) où Υh désigne l’ensemble des segments du découpage de IR et Kh l’un quel- conque de ces segments. On rappelle qu’une base de Vh est constituée de

(3)

l’ensemble des fonctions θj, avec j ∈ Ih, où Ih désigne l’ensemble des sommets des segments de Υh, définies par θj ∈ Vh et ∀(i, j), θj(xi) = δ_i^j, où xi

d´esigne la coordonn´ee du nœud i∈Ih.

Le probl`eme variationnel discret revient `a chercher une fonctionuh = ^X

j∈Ih

ujθj

telle que

∀i∈I_h,

Z

IRa∂uh

∂x θ_idx+

Z

IRν∂uh

∂x

∂θi

∂x dx= 0. (10) Question 4 Montrer que ce problème est équivalent à trouver (ui), i ∈ Ih

v´erifiant

∀i∈Ih, a

2(u_i+1−u_i−1) +ν −ui+1+ 2ui−ui−1

∆x = 0. (11)

Question 5 Quelle est la solution générale de cette équation? A quelle condition liant a, ν et ∆x cette solution est elle monotone?

Pour cette raison, les problèmes “dominés par la convection” (i.e. avec â_ν

“grand”) nécessitent des maillages fins et sont donc réputés plus difficiles.

Une parade consiste néanmoins à “décentrer vers l’amont” le terme de convection.

Supposons a >0. L’int´egration du terme de convection dans l’´equation (10) fait apparaˆıtre la somme suivante

Z

IRa∂θj

∂xθidx=^X

k

Z k∆x

(k−1)∆xa∂θj

∂xθidx . (12)

Pour chaque k, on utilise une formule de quadrature pour ´evaluer l’int´egrale correspondante :

Z k∆x

(k−1)∆xa∂θj

∂xθidx ≈a∆x∂θj

∂x(x_k−1)θi(x_k−1). (13) Question 6 Montrer que l’on a alors `a r´esoudre

∀i∈Ih; a(ui−ui−1) +ν −ui+1+ 2ui−u_i−1

∆x = 0. (14)

Question 7 Quelle est la solution générale de cette équation? Montrer que celle-ci est toujours monotone pour toute valeur de a, ν et ∆x.

Question 8 Montrer que la formule (14) peut ˆetre obtenue en rempla¸cant dans la formule (11) ν par ν⁰ que l’on exprimera en focntion de ν, a et ∆x.

On dit que la méthode de décentrement amont s’interprète également comme une méthode de “viscosité artificielle”.

(4)

Le probl` eme de Stokes.

Nous considérons à présent le problème simplifié suivant

∂u

∂x = 0, (15)

−ν∂²u

∂x² + ∂p

∂x = 0. (16)

Question 9 Quelle est la solution générale de ce problème?

Il est important d’établir un schéma numérique permettant de retrouver cette propriété pour ce problème aussi simple.

Une formulation variationnelle de (15)-(16) est de trouver un couple (u, p) tel que pour tout couple (v, q) :

Z

IR

∂u

∂xq dx = 0, (17)

Z

IRν∂u

∂x

∂v

∂xdx−

Z

IRp∂v

∂xdx = 0. (18)

Pour l’approximation num´erique de ce probl`eme nous cherchons toujours u_h ∈V_h.

Dans un premier temps, nous allons ´egalement chercher ph, approximation de pdans Vh et posonsph = ^X

j∈Ih

pjθj.

Question 10 Montrer que le syst`eme lin´eaire obtenu en rempla¸cant u, p, v et q respectivement par uh, ph, θi et θi dans (17)-(18) est le suivant :

∀i∈Ih; 1

2(ui+1−ui−1) = 0, (19)

∀i∈Ih; ν −ui+1+ 2ui−ui−1

∆x −1

2(pi+1−pi−1) = 0. (20) Question 11 Quelle est la solution générale de ce système? Qu’en concluez vous?

Pour remédier à ce type de problème, nous allons chercher ph dans l’espace Lh ={qh , ∀Kh ∈Υh , (qh)_|K_h ∈P₀(Kh)}. (21)

(5)

Une base de cet espace est constitu´e de la famille des φj avec j ∈Ih d´efinies par φj ∈Lh et∀(i, j), θj(x_i+¹

2) =δ_i^j, o`u x_i+¹

2 désigne la coordonnée du point milieu du segment d’extrémités (i, i+ 1), avec i∈Ih.

On cherche alors p_h sous la forme p_h = ^X

j∈Ih

p_j+¹

2φ_j.

Question 12 Montrer que le syst`eme lin´eaire obtenu en rempla¸cant u, p, v et q respectivement par uh, ph, θi et φi dans (17)-(18) est le suivant :

∀i∈I_h; u_i+1−u_i = 0, (22)

∀i∈Ih; ν−ui+1+ 2ui−u_i−1

∆x −(p_i+¹

2 −p_i−¹

2) = 0. (23) Question 13 Quelle est la solution générale de ce système? Qu’en concluez vous?

R´ esolution num´ erique du probl` eme de Stokes bidimensionnel.

Soit à résoudre dans le domaine Ω =]0,1[×]0,1[ de frontière Γ,

∇ ·U = 0 dans Ω, (24)

−ν∆U+∇p = 0 dans Ω, (25)

U = U₀ donn´e sur Γ. (26)

Question 14 Montrer que U₀ doit v´erifier la condition suivante

Z

Γ

U₀·ndΓ = 0 , (27)

où n est le vecteur normal sortant àΓ pour que ce problème ait une solution.

Question 15 La pression est elle d´efinie de mani`ere unique?

Il est pratique de chercher une pression `a moyenne nulle sur Ω, c’est-`a-dire

v´erifiant _Z

Ωp dΩ = 0. (28)

Afin de prendre en compte cette condition aisément lors de la résolution numérique, il est commode, pour garder un système linéaire carré et symétri- que, d’introduire une inconnue supplémentaire constante dans tout le domaine, que l’on nommera κ∈IR.

(6)

Question 16 Montrer que le système (24) à (28) est équivalent au système (25) à (28) auquel on ajoute

∇ ·U−κ= 0 dans Ω. (29) Nous considérons pour l’approximation de ce problème une quadrangulation Υhde Ω formée de carrés réguliers de côtéh= _N¹ avecN ∈IN^∗. Le carré dont le centre a pour coordonnées le couple x_i−¹

2 =i−¹₂h, y_j−¹

2 =j− ¹₂h avec (i, j)∈[1, N]² est nomm´e K_i−¹

2,j−¹₂.

D’autre part, nous consid´erons la famille F¹ (respectivement F²) des points de coordonn´ees xi =ih, y_j−¹

2

(resp. x_i−¹

2, yj =jh) avec (i, j)∈ [0, N]× [0, N+ 1] (resp. (i, j)∈[0, N+ 1]×[0, N]). Tous ces points sont dans ¯Ω sauf ceux correspondant à j = 0 et à j =N + 1 (resp. à i = 0 et à i= N + 1).

Nous les avons ajout´es afin de prendre en compte les conditions aux limites sur uh, approximation de Ux (resp. vh approximation de Uy).

Nous construisons K¹ (resp. K²) la quadrangulation constitu´ee des carr´es ayant pour sommets les points de F¹ (resp. F²). Nous nommerons Ω¹ = ]0,1[×]− ^h₂,1 + ^h₂[ (resp. Ω² =]− ^h₂,1 + ^h₂[×]0,1[) et K_i−¹

2,j avec (i, j) ∈ [1, N]×[0, N] (resp. K_i,j−¹

2 avec (i, j)∈[0, N]×[1, N]) le carr´e deK¹ (resp.

K²) de centre le point de coordonn´ees x_i−¹

2, y_j (resp. x_i, y_j−¹

2

).

Compte tenu de l’exp´erience monodimensionnelle pour le probl`eme de Stokes, nous cherchons ph, approximation de p dans l’espace suivant :

Lh ={qh , ∀Kh ∈Υh , (qh)_|K_h ∈P0(Kh)}, (30) et uh etvh respectivement dans les espaces suivants :

V_h¹ ={wh ∈ C⁰( ¯Ω¹), ∀Kh ∈K¹ , (wh)_|K_h ∈Q1(Kh)} (31) et

V_h² ={wh ∈ C⁰( ¯Ω²), ∀Kh ∈K² , (wh)|Kh ∈Q1(Kh)}. (32) Nous rappelons qu’une base deLh est constitu´ee des fonctions q_i−¹

2,j−¹₂ deLh

avec (i, j)∈[1, N]² telles que ∀(k, `)∈[1, N]², q_i−¹

2,j−¹₂(x_k−¹

2, y_`−¹

2) =δ_i^kδ_j^`. Une base de V_h¹ (resp. V_h²) est constitu´ee des fonctions w_i,j−¹

2 de V_h¹ avec (i, j)∈[0, N]×[0, N+ 1] (resp. w_i−¹

2,j de V_h² avec (i, j)∈[0, N+ 1]×[0, N]) telles que∀(k, `)∈[0, N]×[0, N+1],w_i,j−¹

2(xk, y_`−¹

2) =δ_i^kδ_j^`(resp. ∀(k, `)∈ [0, N + 1]×[0, N], w_i−¹

2,j(x_k−¹

2, y`) =δ_i^kδ_j^`).

(7)

On ´ecrira donc ph = ^X

(i,j)∈[1,N]²

p_i−¹

2,j−¹₂q_i−¹

2,j−¹₂ et U_h = (uh, vh) avec uh =

X

(i,j)∈[0,N]×[0,N+1]

u_i,j−¹

2w_i,j−¹

2 et vh = ^X

(i,j)∈[0,N+1]×[0,N]

u_i−¹

2,jw_i−¹

2,j.

Question 17 Soit (i, j)∈[1, N]². Montrer que ∀(k, `)∈[0, N]×[0, N+ 1],

Z

Ω

∂w_k,`−¹

2

∂x q_i−¹

2,j−¹₂ dx dy= (δ_i^k+δ_i^k+1)h

Z yj

yj−1

∂w_k,`−¹

2

∂x (y)dy (33) et que ∀(k, `)∈[0, N + 1]×[0, N],

Z

Ω

∂w_k−¹

2,`

∂y q_i−¹

2,j−¹₂ dx dy= (δ_j^l +δ_j^l+1)h

Z xi

xi−1

∂w_k−¹

2,`

∂y (x)dx . (34) Question 18 En utilisant la formule de quadrature suivante :

Z b

a f(s)ds≈(b−a)f a+b 2

!

, (35)

montrer que ∀(i, j)∈[1, N]²,

Z

Ω(∇ ·U_h−κ)q_i−¹

2,j−¹₂ dΩ (36)

se r´eduit `a

h(u_i,j−¹

2 −u_i−1,j−¹

2) +h(v_i−¹

2,j−v_i−¹

2,j−1)−h²κ (37)

Question 19 Soit (i, j)∈[1, N−1]×[1, N]. Montrer que ∀(k, `)∈[0, N]× [0, N + 1],

Z

Ω¹

∂w_k,`−¹

2

∂x

∂w_i,j−¹

2

∂x +∂w_k,`−¹

2

∂y

∂w_i,j−¹

2

∂y

!

dx dy = (38)

h



 Z y_{j+ 1}

2

y_j

−3 2

∂w_k,`−¹

2

∂x

∂w_i,j−¹

2

∂x (x_i−¹

2, y)dy+

Z y_{j+ 1}

2

y_j

−3 2

∂w_k,`−¹

2

∂x

∂w_i,j−¹

2

∂x (x_i+¹

2, y)dy



 + h

Z xi+1

xi−1

∂w_k,`−¹

2

∂y

∂w_i,j−¹

2

∂y (x, yj−1)dx+

Z xi+1

xi−1

∂w_k,`−¹

2

∂y

∂w_i,j−¹

2

∂y (x, yj)dx

!

(8)

Question 20 En utilisant la formule de quadrature suivante :

Z b

a f(s)ds≈ (b−a) 4

"

f(a) + 2f a+b 2

!

+f(b)

#

, (39)

montrer que ∀(i, j)∈[1, N−1]×[1, N] ν

Z

Ω¹∇uh· ∇w_i,j−¹

2 dΩ−

Z

Ω¹ph

∂w_i,j−¹

2

∂x dΩ (40)

se r´eduit `a ν(−u_i−1,j−¹

2 + 2u_i,j−¹

2 −u_i+1,j−¹

2) + ν(−u_i,j−³

2 + 2u_i,j−¹

2 −u_i,j+¹

2) + h(p_i+¹

2,j−¹₂ −p_i−¹

2,j−¹₂). (41) Question 21 Montrer de même que des formules de quadrature adéquates permettent d’écrire que ∀(i, j)∈[1, N]×[1, N −1]

ν

Z

Ω²∇vh· ∇w_i−¹

2,jdΩ−

Z

Ω²p_h∂w_i−¹

2,j

∂y dΩ (42)

se r´eduit `a ν(−v_i−³

2,j+ 2v_i−¹

2,j−v_i+¹

2,j) + ν(−v_i−¹

2,j−1+ 2v_i−¹

2,j−v_i−¹

2,j+1) + h(p_i−¹

2,j+₂¹ −p_i−¹

2,j−₂¹). (43)

Question 22 Comment discr´etisez vous l’´equation (28)?

Pour prendre en compte les conditions aux limites, nous ´ecrivons :

• pour x= 0 : u_0,j−¹

2 =U0x(0, y_j−¹

2) et v₋¹

2,j = 2U0y(0, yj)−v¹

2,j.

• pour x= 1 : u_1,j−¹

2 =U0x(1, y_j−¹

2) et v_N+¹

2,j = 2U0y(1, yj)−v_N₋¹

2,j.

• pour y= 0 : u_i,−¹

2 = 2U0x(xi,0)−u_i,¹

2 etv_i−¹

2,0 =U0y(x_i−¹

2,0).

• pour y= 1 : u_i,N+¹

2 = 2U0x(xi,1)−u_i,N−¹

2 et v_i−¹

2,1 =U0y(x_i−¹

2,1).

(9)

Question 23 Montrer que le système linéaire à résoudre peut se mettre sous la forme







Ax 0 Gx 0 0 Ay Gy 0 G^T_x G^T_y 0 L

0 0 L^T 0













u v p κ







= b , (44)

o`u les matrices Ax, Ay, Gx, Gy et L et les vecteurs u, v et p et le second membre b seront explicit´es.

Question 24 Quelle est la solution analytique pourUetplorsqueU_0,x(0, y) = U0,x(1, y) = y(1−y), U0,y(0, y) = U0,y(1, y) = 0, U0,x(x,0) = U0,x(x,1) = 0, U_0,y(x,0) =U_0,y(x,1) = 0?

Comparez la solution analytique et la solution numérique obtenue en résolvant le systme (44) par la méthode de votre choix, pour différentes valeurs de ν et différentes valeurs de N.