ENS Lyon Analyse Complexe
L3 2008-2009
Examen (seconde session) Aoˆ ut 2009
Dur´ee : 3h. Aucun document autoris´e. Toute r´eponse doit ˆetre soigneusement justifi´ee (mais les r´esultats du cours peuvent ˆetre utilis´es sans d´emonstration).
1. Soient f et g deux fonctions enti`eres telles que |f(z)| ≤ |g(z)| pour tout z. Montrer qu’il existe un nombre complexe c∈C tel que f =c·g.
2. On rappelle la forme suivante du principe du maximum. Soit U un ouvert born´e, f une fonction continue sur U, holomorphe sur U. Alors pour tout z ∈ U, |f(z)| ≤
sup
w∈∂U|f(w)|(o`u∂U d´esigne la fronti`ere de U).
Dans la suite, Ω d´esigne la bande{z ∈C: 0<Re z <1}.
(a) Donner un exemple de fonction continue sur Ω, holomorphe sur Ω qui soit born´ee sur ∂Ω mais non born´ee sur Ω (le r´esultat pr´ec´edent est donc faux en g´en´eral pour les ouverts non born´es).
Dans la suite, f d´esigne une fonction continue sur Ω, holomorphe et born´ee sur Ω.
(b) Montrer que si |f(z)| ≤ 1 pour z ∈ ∂Ω, alors |f(z)| ≤ 1 pour tout z ∈ Ω.
Indication : appliquer le r´esultat de la question (a) `a la fonctionfε(z) =f(z)eεz2, sur une r´egion appropri´ee.
(c) NotonsM0 = sup
y∈R|f(iy)|etM1 = sup
y∈R|f(1 +iy)|. On suppose ici et dans la suite que M0, M1 >0. Montrer que
sup
y∈R|f(x+iy)| ≤M01−xM1x
pour tout x avec 0≤x≤1.Indication : consid´erer la fonction M0z−1M1−zf(z).
(d) Montrer que la fonction log(sup
y∈R|f(x+iy)|) est une fonction convexe dex∈[0,1].
3. Pour λ∈C, on consid`ere l’´equation
z4−5z+λ= 0 (∗) du quatri`eme degr´e en l’inconnue z.
(a) Montrer que pour λ suffisamment proche de 1, (∗) admet une unique solution dans le disque unit´e D={z ∈C:|z| <1}.
1
(b) Pour λproche de 1, on note ϕ(λ) la solution obtenue en (a). Utiliser le principe de variation l’argument pour exprimer ϕ(λ) comme une int´egrale sur le cercle unit´e ∂D.
(c) Utiliser l’expression int´egrale obtenue en (b) pour montrer queϕest holomorphe au voisinage de 1.
4. Soit n >1 un entier. On consid`ere la fonction fn:z 7→ e2πiz
2 n
e2πiz −1 et le contour γε,n,R
dessin´e ci-dessous.
n 2 n 2+iR
n 2−iR 0
−iR iR
ε ε
(a) Montrer que Z
γε,n,R
fn(z) dz = X
0<k<n2
e2πik
2
n = 1
2 X
0<k<n
k6=n
2
e2πik
2 n
pourǫ assez petit (l’indice de sommationk des sommes ci-dessus est un nombre entier).
(b) Montrer que la somme des int´egrales de fn le long des deux demi-cercles par- courus par γε,n,R tend vers
−1
2(1 + in+ (−i)n
2 )
lorsque ε tend vers 0.
(c) Montrer que l’int´egrale de fn le long des segments horizontaux tend vers 0 lorsque R tend vers +∞.
(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes le fait que
n−1
X
k=0
e2πik
2
n =√
n 1 + (−i)n 1−i
Indication : on pourra utiliser sans justification la valeur de l’int´egrale de Fres- nel,
Z ∞ 0
eix2 dx=
√π 2 eiπ4.
2
