MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 19
Semaine du lundi 8 au vendredi 12 mars 2021
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
La convexité est une notion importante mais elle est assez peu présente aux concours. Lors des épreuves écrites comme orales, des propriétés de la convexité sont utilisées (commeexp(u)≥1 +upour touturéel) mais rares sont les exercices théoriques.
Cette semaine nous serons interrogés sur deux chapitres : variables aléatoires et convexité.
Les Interrogateurs sont priés de poser des questions de cours sur les résultats marqués (*).
Chapitre 16 : variables aléatoires
Considérons un espace probabilisable(Ω,T), oùT est une tribu surΩ.
16.3. Espérance 16.3.3 Moments
Définition : moment d’ordrem(sous réserve d’existence).
Remarque : une VADR admettant un moment d’ordre2 nul est presque sûrement nulle.
Proposition (*) : pour une VADR, l’existence d’un moment d’ordre deux implique l’existence d’une espérance.
Remarque : se généralise sans peine (l’existence d’un moment d’ordremimplique l’existence de tous les moments d’ordren≤m).
Théorème (*) : de Cauchy-Schwarz.
Proposition : l’ensemble des VADR ayant un moment d’ordre2est un sous-espace vectoriel (de l’espace des VA d’espérance finie).
Définition : variance, écart-type (d’une VA admettant un moment d’ordre2).
Proposition (*) : pour une VA admettant un moment d’ordre 2, formule de König-Huygens (V(X) =E(X2)− E(X)2) etV(aX+b) =a2V(X).
Définition : variable réduite, variable centrée réduite, associées à une VA.
Théorème (*) : inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Définition : covariance de deux VA d’espérance finie.
Proposition (*) : existence etcov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y).
Proposition : propriétés de la covariance.
Proposition : deux VA indépendantes sont de covariance nulle.
Remarques : réciproque fausse, contraposée souvent utile.
Définition : variables aléatoires non corrélées.
Proposition (*) : variance de la somme de deux VADR.
Proposition (*) : variance de la somme d’un nombre fini de VADR.
16.4. Loi faible des grands nombres Théorème (*) : loi faible des grands nombres.
16.5. Fonctions génératrices
Définition : fonction génératriceGX deX.
Proposition : propriétés de la fonction génératrice d’une VA. En particulier diverses formules si le rayon de convergence deGX est strictement supérieur à1.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/3 23 janvier 2021
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Remarque : GX =GY impliquePX =PY.
Proposition (*) : CNS pour qu’une VA admette une espérance (resp. un moment d’ordre2), à l’aide de la dérivabilité (resp. dérivabilité d’ordre2) de sa fonction génératrice en1.
Proposition : fonction génératrice de la somme de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
16.6. Lois usuelles 16.6.1 Loi binomiale
Définition, notation X ,→B(n, p), espérance (*) et variance (*).
16.6.2 Loi géométrique
Définition, notation X ,→G(p), espérance (*) et variance (*).
Proposition (*) : la loi géométrique est la seule sans mémoire.
16.6.3 Loi de Poisson (ou « des événements rares ») Définition, notation X ,→P(λ), espérance (*) et variance (*).
Proposition (*) : approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson.
Proposition :1poisson+ 1poisson= 1poisson ! En d’autres termes siX ,→P(λ)et Y ,→P(µ)sont indépen- dantes alorsX+Y ,→P(λ+µ).
Remarque : dans le cas général, astuces pour le calcul de la loi deZ =X+Y.
Chapitre 17 : convexité
1. Sous-espaces affines.
1.1 Définition et propriétés élémentaires
Définition : sous-espace affineF, directionF; vecteurs et points.
Exemples usuels : singletons, droites affines, plans affines ; ensemble des solutions des EDL. . . Propriétés élémentaires.
Propriétés (*) : unicité de la direction ; F=A+F pour toutA∈ F;F ={−−→
AM / M ∈ F }pour toutA∈ F.
Proposition : caractérisation d’un SEA (par l’existence d’un SEVF tel que. . . ).
1.2 Translations
Définition : translation de vecteuru.
Propriétés immédiates.
Corollaire : le groupe des translations.
Proposition : invariance d’un SEV par translation par un vecteur du SEV.
Proposition : un SEA et sa direction sont images l’un de l’autre par une translation.
1.3 Intersection et parallélisme
Proposition (*) : l’intersection de deux SEA est soit vide, soit un SEA de direction l’intersection des directions.
Définition : SEA parallèle à un autre ; SEA parallèles.
Proposition : deux SEA sont parallèles ssi ils sont images l’un de l’autre par une translation.
Proposition : si un SEA est parallèle à un autre, alors leur intersection est soit vide soit au premier SEA.
Corollaire : deux SEA parallèles sont soit disjoints, soit confondus.
2. Barycentre.
Programme officiel : « la notion de barycentre est introduite exclusivement en vue de l’étude de la convexité ».
2.1 Barycentre d’un système de points pondérés
Définition : point pondéré(A, α), coefficient ou masse d’un point pondéré.
Définition : barycentre d’une famille finie de points pondérés. Isobarycentre.
Remarque : notation affine / notation vectorielle du barycentre.
Exemples : milieu d’un segment, symétrique d’un point par rapport à un autre, isobarycentre de3 points.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/3 23 janvier 2021
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Proposition : on peut se ramener à un barycentre de points de somme des pondérations valant1.
Corollaire (*) : tout SEA est stable par barycentration.
Définition : base affine, repère affine ; coordonnées barycentriques.
Proposition : SEA engendré par une famille finie de points.
2.2 Propriétés du barycentre
Proposition (*) : commutativité, homogénéité, associativité.
3. Ensembles convexes.
Définition : segment (barycentre à coefficients positifs de deux points).
Définition : partie convexe.
Exemples : les convexes de R sont les intervalles (DÉMO NON EXIGÉE), les EV, les SEA, les boules sont convexes ; ni les sphères ni les bananes.
Proposition : l’intersection d’une famille quelconque de convexes est convexe.
Remarque : pas la réunion !
Théorème (*) : caractérisation de la convexité par la stabilité par barycentration.
4. Fonctions convexes.
4.1 Définition et interprétation géométrique Définition : fonction convexe, fonction concave.
Exemples : la fonction carré, la fonction valeur absolue.
4.2 Caractérisation géométrique de la convexité
Proposition : une fonction est convexe ssi son épigraphe est un ensemble convexe.
Proposition (*) : caractérisation de la convexité par la croissance des taux d’accroissements.
Proposition : caractérisation de la concavité par la décroissance des taux d’accroissements.
Corollaire : les seules fonctions convexes et concaves sont les fonctions affines.
4.3 Caractérisation des fonctions convexes dérivables
Proposition (*) : caractérisation de la convexité par la croissance de la dérivée.
Proposition : caractérisation de la concavité par la décroissance de la dérivée.
Proposition : caractérisation de la convexité par la positivité de la dérivée seconde.
4.4 Position de la courbe par rapport à la tangente
Proposition (*) : caractérisation de la convexité par la position courbe/tangente (etf(x)≥f(a) + (x−a)f0(a)).
5. Applications : inégalités de convexité.
5.1 Inégalité de Jensen ou de convexité
Théorème : inégalité de Jensen. Deux démonstrations, l’une géométrique, l’autre par récurrence.
5.2 Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique et quadratique.
Corollaire : comparaison des moyennes géométrique et arithmétique.
Corollaire : comparaison des moyennes arithmétique et quadratique.
Exemples : de relations obtenues à l’aide de ces moyennes.
5.3 Inégalité de Hölder
Lemme : pour tous (x, y)∈(R∗+)2 et(p, q)∈]1,+∞[avec 1 p+1
q = 1, on axy≤xp p +yq
q . Théorème : inégalité de Hölder.
Remarque :p=q= 2 redonne le théorème de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire usuel dansRn. 5.4 Inégalité de Minkowski
Théorème : inégalité de Minkowski.
Corollaire : les normes k · kppour toutp≥1.
Semaine suivante : équations différentielles linéaires.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 3/3 23 janvier 2021
