MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 1
Semaine du lundi 14 au vendredi 18 septembre 2020
Chapitre 1 : groupes
Beaucoup de résultats sont des généralisations de résultats de première année.
Lorsqu’une démonstration n’a pas été rappelée ou effectuée en cours, c’est indiqué explicitement sur le programme de colle.
Toutes les autres démonstrations sont de fait exigibles des étudiants.
I. Loi de composition interne (rappels de MPSI).
Définitions : LCI, partie stable, LCI induite, associativité, commutativité, éléments neutres (à gauche, à droite, des deux côtés).
Théorème : sieet e0 neutres à gauche et à droite respectivement, alorse=e0; en particulier unicité du neutre.
Définition : éléments symétrisables (à gauche, à droite, des deux côtés).
Théorème : si LCI associative, alors unicité du symétrique.
Théorème : si LCI associative, inverse du produit d’éléments.
Définition : distributivité d’une loi sur une autre.
Notations additives et multiplicatives.
II. Groupe.
Définition : groupe, groupe abélien.
Remarques : un groupe est non-vide ; existence et unicité du neutre et du symétrique de tout élément ; régularité des éléments ; inverse à gauche ssi à droite ssi inverse ; inverse de l’inverse.
Théorème : groupe produit.
Définition : sous-groupe.
Théorème : caractérisation d’un sous-groupe.
Théorème : l’intersection de sous-groupes est un sous-groupe.
Définition : sous-groupehAiengendré par une partieA.
Proposition : le sous-groupe engendré par une partie est le plus petit sous-groupe contenant ladite partie.
Proposition : le sous-groupe engendré par une partie est l’ensemble des produits finis d’éléments de cette partie, ou de leurs inverses.
Définition : groupe monogène, éléments générateur, groupe cyclique.
Théorème : les sous-groupes du groupe additifs des entiers relatifs.
III. Morphisme de groupes.
Définition : morphisme de groupes, endomorphisme d’un groupe.
Proposition : image du neutre, de l’inverse, par un morphisme de groupes.
Proposition : composition de morphismes de groupes.
Proposition : image directe et réciproque de sous-groupes par un morphisme de groupes.
Définition : noyau et image d’un morphisme de groupes.
Théorème : caractérisation des morphismes injectifs, surjectifs.
Définition : isomorphisme de groupes, automorphisme d’un groupe.
Théorème : la bijection réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes.
Rappels sur le groupe symétrique. Les démonstrations de MPSI ne sont pas exigibles pour cette colle.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 29 août 2020
MP 2020-21
IV. Groupe monogène, cyclique, le groupe (Z/nZ,+).
Définition : relation d’équivalence, classe d’équivalence, représentant d’une classe.
Proposition : les classes d’équivalence forment une partition, et toute partition donne lieu à une relation d’équi- valence.
Théorème (Lagrange) : dans un groupe fini, le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal du groupe.
Définition : congruence modulon.
Proposition : la relation de congruence modulonest une relation d’équivalence.
Définition : l’ensembleZ/nZdes classes d’équivalence modulo n.
Proposition/définition : l’addition dansZ/nZne dépend pas des représentants des classes.
Théorème : le groupe quotient(Z/nZ,+).
Proposition : la surjection canoniqueZ→Z/nZ.
Théorème : les générateurs de(Z/nZ,+)sont les classes d’entiers premiers avecn.
Théorème : produit des groupes(Z/nZ,+)et (Z/pZ,+) quandnetpsont premiers entre eux.
Corollaires : théorème chinois, théorème chinois généralisé (pour des systèmes de congruence).
Définition : ordre d’un élément d’un groupe.
Proposition : description des groupes monogènes.
Théorème : l’ordre d’un élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe.
Semaine suivante : anneaux, corps, algèbres.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 29 août 2020
