Méthodes Numériques I Algorithmique numérique François Cuvelier

(1)

Méthodes Numériques I

Algorithmique numérique

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

5 décembre 2012

(2)

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires Vecteurs

Matrices

Factorisation LU

(3)

Définition

Soient n^PN et^px_i,y_i^q_iPv0,n^wavec^px_i,y_i^q^PR²et les x_i distincts deux à deux. Le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n 1 points^px_i,y_i^q_iPv0,n^w,notéP_n,est donné par

P_npx^q

n

¸

i0

y_iL_i^px^q, x ^PR (1) avec

L_i^px^q

n

¹

j0 ji

xx_j

x_ix_j, i ^P^v0,n^w, x ^PR. (2)

(4)

Théorème

Le polynôme d’interpolation de Lagrange,P_n,associé aux n 1 points^px_i,y_i^q_iPv0,n^w,est l’unique polynôme de degré au plus n,vérifiant

P_npx_i^qy_i, i^P^v0,n^w. (3)

(5)

Exemple

A titre d’exemple, on représente, En figure 1, le polynôme d’interpolation de Lagrange associé à 7 points donnés.

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

y

y=P₆(x) 7 Points (xi,yi)

FIGURE:Polynôme d’interpolation de Lagrange avec 7 points donnés)

(6)

Exercices

Exercice

Ecrire la fonction LAGRANGEpermettant de calculerP_n(polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n 1 points^px_i,y_i^q_iPv0,n^w) au point x ^PR.

Exercice

SoitP_n le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n 1 points^px_i,y_i^q_iPv0,n^w et XXX un vecteur deR^m.

1 Ecrire la fonction LAGRANGEVECpermettant de calculer le vecteur YYY ^PR^mtel que

Y_i P_npX_i^q, i^P^v1,m^w.

2 Evaluer le coût arithmétique de la fonction LAGRANGEVECen fonction de n et m.

(7)

Exercices

Exercice

Soient n^PN et^pa,b^q^PR²avec ab.On note XXX ^pX₁, . . . ,X_{n 1}^qla dicrétisation régulière de l’intervalle^ra,b^savec n 1 points et

YY

Y ^PR^{n 1} tel que Y_i f^pX_i^q, i^P^v1,n 1^w.

Ecrire un programme permettant de représenter graphiquement f et P_n(polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n 1 points

pX_i,Y_i^q_iPv0,n^w) sur l’intervalle^ra,b^s.

On utilisera pour celà la fonctionPLOT dont la syntaxe est P L O T(x,y) oùxetysont des vecteurs deR^k.Cette fonction relie successivement les points(x(j),y(j)), pour j allant de 1 à k, par des segments.

(8)

Erreur de l’interpolation

Soit une fonction f :^ra,b^s^Ý^ÑR.On suppose que les y_i sont donnés par

y_i f^px_i^q, i^P^v0,n^w. (4) On cherche à évaluer l’erreur En^px^qf^px^qP_npx^q.

(9)

Erreur de l’interpolation

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

y

y=f(x)=sin(x) y=P₆(x) 7 Points (xi,yi)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

y=f(x)=1/(1+x²) y=P₆(x) 7 Points (xi,yi)

FIGURE:Erreurs d’interpolation avec n6

(10)

Erreur de l’interpolation

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

y=f(x)=sin(x) y=P₁₀(x) 11 Points (xi,yi)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

y=f(x)=1/(1+x²) y=P₁₀(x) 11 Points (xi,yi)

(11)

Erreur de l’interpolation

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

y=f(x)=sin(x) y=P₁₈(x) 19 Points (xi,yi)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

y=f(x)=1/(1+x²) y=P₁₈(x) 19 Points (xi,yi)

(12)

Erreur de l’interpolation

Théorème (Cauchy, 1840)

Soit f :^ra,b^s^Ý^ÑR,une fonction^pn 1^q-fois différentiable et soitP_npx^q le polynôme d’interpolation de degré n passant par

px_i,f^px_i^qq, i ^P^v0,n^w.Alors,x ^P^ra,b^s,

Dξx ^P^pmin_iPv0,n^w^px_i,x^q,max_iPv0,n^w^px_i,x^qq, f^px^qP_npx^q f^p^{n 1}^q^pξx^q

pn 1^q!

n

¹

i0

pxx_i^q (5)

(13)

Points de Chebyshev

Pour minimiser l’erreur commise lors de l’interpolation d’une fonction f par un polynôme d’interpolation de Lagrange, on peut, pour un n donné, "jouer" sur le choix des points x_i :

Trouver^px¯_i^qⁿ_i

0,x_i ^P^ra,b^s,distincts deux à deux, tels que max

x^Pra,b^s n

¹

i0

|xx¯_i^|^¤ max

x^Pra,b^s n

¹

i0

|xx_i^|, ^px_i^qⁿ_i

0, x_i ^P^ra,b^s, distincts 2 à 2 (6)

(14)

Points de Chebyshev

Théorème

Les points réalisant (6) sont les points de Chebyshev donnés par

¯

x_i a b 2

ba

2 cos^p^p2i 1^qπ

2n 2 ^q, i ^P^v0,n^w. (7)

(15)

Points de Chebyshev

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

y

Points de Chebyshev

y=f(x)=sin(x) y=P₆(x) 7 Points (x_i,y_i)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

Points de Chebyshev

y=f(x)=1/(1+x²) y=P6(x) 7 Points (x_i,y_i)

(16)

Points de Chebyshev

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

y

Points de Chebyshev

y=f(x)=sin(x) y=P₁₀(x) 11 Points (x_i,y_i)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

Points de Chebyshev

(17)

Points de Chebyshev

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

Points de Chebyshev

y=f(x)=sin(x) y=P₁₈(x) 19 Points (x_i,y_i)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

Points de Chebyshev

(18)

Plan

Matrices

Factorisation LU

(19)

Dérivée

On propose de chercher une approximation de la dérivée première de f en un pointx¯^Psa,b^r.

Définition

Une fonction f définie sur un intervalle^ra,b^sest dérivable en un point

¯

x ^Psa,b^rsi la limite suivante existe et est finie f¹^px¯^qlim_hÑ0

1

h^pf^px¯ h^qf^px¯^q (8)

(20)

Premières approximations

différence finie progressive :

f¹^p¯x^q f^p¯x h^qf^px¯^q

h (9)

différence finie rétrograde :

f¹^p¯x^q f^p¯x^qf^px¯h^q

h (10)

(21)

Estimation d’erreur

Théorème (Taylor-Lagrange)

On suppose que f ^PC^{n 1} sur I.Alors, pour tout h^PRtel quex¯ h appartienne à I, il existeθ_h^Ps0,1^rtel que l’on ait

f^px¯ h^q

n

¸

k0

h^k

k!f^p^k^q^px¯^q h^{n 1}

pn 1^q!f^p^{n 1}^q^p¯x θhh^q (11)

(22)

Estimation d’erreur

Soit h ^¡0.Si f ^PC²psa,b^rq,alors^Dξ ^Psx¯,x¯ h^r,^Dξ ^Ps¯xh,x¯^r,tel que f^p¯x h^qf^px¯^q

h f¹^px¯^q h

2f^p²^q^pξ ^q (12) f^p¯x^qf^p¯xh^q

h f¹^px¯^qh 2f^p²^q^pξ

q (13)

(23)

Estimation d’erreur

Soit h ^¡0.Si f ^PC²psa,b^rq,alors^Dξ ^Psx¯,x¯ h^r,^Dξ

Ps¯xh,x¯^r,tel que f^px¯ h^qf^px¯^q

h f¹^px¯^q h¹

2 f^p²^q^pξ ^q (12) f^px¯^qf^px¯h^q

h f¹^px¯^qh¹ 2 f^p²^q^pξ

q (13) Ces formules sont des approximations d’ordre1de f¹^px¯^qpar rapport à h.

(24)

Estimation d’erreur

Soit h ^¡0.Si f ^PC²psa,b^rq,alors^Dξ ^Psx¯,x¯ h^r,^Dξ

Ps¯xh,x¯^r,tel que f^px¯ h^qf^px¯^q

h f¹^px¯^q h¹

2 f^p²^q^pξ ^q (12) f^px¯^qf^px¯h^q

h f¹^px¯^qh¹ 2 f^p²^q^pξ

q (13) Ces formules sont des approximations d’ordre1de f¹^px¯^qpar rapport à h.

On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes d’interpolation associés aux points^tx¯,¯x h^uet^tx¯h,x¯^u.

(25)

Exercice 1

Exercice

On note x_i a ih,i^P^v0,n^w,une discrétisation régulière de l’intervalle^ra,b^s.Soit une fonction f :^ra,b^s^Ý^ÑRsuffisament régulière. On suppose que les y_i sont donnés par

y_i f^px_i^q, i^P^v0,n^w. (14) Ecrire une fonction DERIVE1 permettant de calculer des

approximations d’ordre 1 de f¹^px_i^qpour i ^P^v0,n^w.

(26)

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 de f¹^p¯x^q,on suppose f ^PC³psa,b^rqet on peut alors développer les formules de Taylor de f^p¯x h^qet f^px¯h^qjusqu’au troisième ordre.

(27)

Ordre 2

On obtient alors

f¹^px¯^q f^px¯ h^qf^px¯h^q

2h O^ph²^q. (15)

(28)

Ordre 2

On obtient alors

2h O^ph²^q. (15)

Cette approximation est la formule des différences finies centrées.

(29)

Ordre 2

On obtient alors

2h O^ph²^q. (15)

Cette approximation est la formule des différences finies centrées.

Cette approximation est d’ordre2.

(30)

Exercice 2

Exercice

y_i f^px_i^q, i^P^v0,n^w. (16) Ecrire une fonction DERIVE2 permettant de calculer des

approximations d’ordre 2 de f¹^px_i^qpour i ^P^v0,n^w.

(31)

Dérivée seconde

Si f ^PC⁴psa,b^rq,on peut alors développer les formules de Taylor de f^p¯x h^qet f^px¯h^qjusqu’au quatrième ordre.

(32)

Dérivée seconde

On obtient alors

f^p²^q^p¯x^q f^px¯ h^q2f^px¯^q f^px¯h^q

h² O^ph²^q. (17)

(33)

Dérivée seconde

On obtient alors

f^p²^q^p¯x^q f^px¯ h^q2f^px¯^q f^px¯h^q

h² O^ph²^q. (17)

Cette approximation est d’ordre2.

(34)

Exercice 3

Exercice

y_i f^px_i^q, i^P^v0,n^w. (18) Ecrire une fonction DERIVESECONDE2 permettant de calculer des approximations d’ordre 2 de f^p²^q^px_i^qpour i ^P^v0,n^w.

(35)

Plan

Matrices

Factorisation LU

(36)

Intégration

Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle^ra,b^sdonné.

On propose de chercher une approximation de I

»b a

f^px^qdx

a b

f(a)

f(b)

f(x)

FIGURE:Représentation de la fonction f

(37)

Intégration

Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle^ra,b^sdonné.

On propose de chercher une approximation de I

»b a

f^px^qdx

a b

f(a)

f(b)

f(x)

FIGURE:Représentation de

³b af^px^qdx

(38)

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant P^px^qf^pa^q.

a b

f(a)

f(b)

f(x)

(39)

Méthodes simplistes

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(x)

³b

aP^px^qdx

(40)

Méthodes simplistes

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(x)

³b

aP^px^qdx

»b a

f^px^qdx ^pba^qf^pa^q, formule du rectangle (à gauche)

(41)

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant P^px^qf^pb^q.

a b

f(a)

f(b)

f(x)

(42)

Méthodes simplistes

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(x)

³b

aP^px^qdx

(43)

Méthodes simplistes

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

f(x)

³b

aP^px^qdx

»b a

f^px^qdx ^pba^qf^pb^q, formule du rectangle (à droite)

(44)

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant P^px^qf^pc^q,avec c ^pa b^q{2.

a b

f(a)

f(b)

f(x)

(45)

Méthodes simplistes

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

c=(a+b)/2 f(c)

f(x)

³b

aP^px^qdx

(46)

Méthodes simplistes

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

c=(a+b)/2 f(c)

f(x)

³b

aP^px^qdx

»b a

f^px^qdx ^pba^qf^pa b

2 ^q, formule du point milieu

(47)

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière de^ra,b^s:i^P^v0,n^w,x_i a ih avec h ^b_n^a.

(48)

Méthodes de Newton-Cotes

2 On approche f par le polynôme d’interpolation de LagrangeP_nde degré n tel que

P_npx_i^qf^px_i^q, i^P^v0,n^w.

(49)

Méthodes de Newton-Cotes

P_npx_i^qf^px_i^q, i^P^v0,n^w. P_npx^q

n

¸

i0

L_i^px^qf^px_i^q

(50)

Méthodes de Newton-Cotes

n

¸

i0

L_i^px^qf^px_i^q

3 On a alors

»b a

f^px^qdx

»b a

P_npx^qdx

n

¸

i0

f^px_i^q

»b a

L_i^px^qdx.

(51)

Méthodes de Newton-Cotes

n

¸

i0

L_i^px^qf^px_i^q

3 On a alors

»b a

f^px^qdx

»b a

P_npx^qdx

n

¸

i0

f^px_i^q

»b a

L_i^px^qdx.

Les formules de Newton-Cotes génériques :

»b a

f^px^qdx

n

¸

α_if^px_i^q

(52)

Méthodes de Newton-Cotes

»b a

f^px^qdx

n

¸

i0

α_if^px_i^q avec α_i

»b a

L_i^px^qdx En posantα_i hAw_i,on a

n A w₀ w₁ w₂ w₃ w₄ nom ordre

1 1^{2 1 1 trapèzes 1

2 1^{3 1 4 1 Simpson 3

3 3^{8 1 3 3 1 Simpson (3/8) 3

4 2^{45 7 32 12 32 7 Villarceau 5

Simpson :

»b a

f^px^qdx

(53)

Méthodes de Newton-Cotes

»b a

f^px^qdx

n

¸

i0

α_if^px_i^q avec α_i

»b a

L_i^px^qdx En posantα_i hAw_i,on a

n A w₀ w₁ w₂ w₃ w₄ nom ordre

1 1^{2 1 1 trapèzes 1

2 1^{3 1 4 1 Simpson 3

3 3^{8 1 3 3 1 Simpson (3/8) 3

4 2^{45 7 32 12 32 7 Villarceau 5

Simpson :

»b a

f^px^qdx ba 6

f^pa^q 4f^pa b

2 ^q f^pb^q

(54)

Méthodes de Newton-Cotes

Définition

On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est d’ordre n si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Théorème

Les formules de Newton-Cotes à n 1 points sont d’ordre n si n est impair et d’ordre n 1 sinon.

(55)

Méthodes de Newton-Cotes

Définition

On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est d’ordre n si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Théorème

Les formules de Newton-Cotes à n 1 points sont d’ordre n si n est impair et d’ordre n 1 sinon.

Attention

Du au phénomène de Runge, ces formules ne sont pas "fiables" pour des ordres élevés.

(56)

Méthodes composites

Les méthodes composites sont basées sur la relation de Chasles.

Soit^px_k^q_kPv0,n^w une discrétisation régulière de l’intervalle^ra,b^s: x_k a kh avec h^pba^q{n.On a alors

»b a

f^px^qdx

n

¸

k1

»xk

x_k1

f^px^qdx.

(57)

Méthodes composites des points milieux

»b a

f^px^qdx

n

¸

k1

»x_k xk1

f^px^qdx.

On note m_k ^x^k¹₂ ^x^k.

»xk

x_k1

f^px^qdx hf^pm_k^q

(58)

Méthodes composites des points milieux

»b a

f^px^qdx

n

¸

k1

»x_k xk1

f^px^qdx.

»xk

x_k1

f^px^qdx hf^pm_k^q

Théorème

»b a

f^px^qdx h

n

¸

k1

f^pm_k^q O^ph²^q.

(59)

Méthodes composites des points milieux

»b a

f^px^qdx

n

¸

k1

»x_k xk1

f^px^qdx.

»xk

x_k1

f^px^qdx hf^pm_k^q

Théorème

»b a

f^px^qdx h

n

¸

k1

f^pm_k^q O^ph²^q.

Formule d’ordre2(par rapport à h.)

(60)

Méthodes composites des points milieux : Exercice

Exercice

Soit f une fonction définie sur l’intervalle^ra,b^s.Ecrire la fonction QUADPM permettant de calculer une approximation de l’intégrale de f sur^ra,b^spar la méthode composite des points milieux.

(61)

Méthodes composites des trapèzes

»b a

f^px^qdx

n

¸

k1

»x_k xk1

f^px^qdx.

»xk

x_k1

f^px^qdx h^pf^px_k1 f^px_k^q

2 ^q