Méthodes Numériques I Algorithmique numérique François Cuvelier

Méthodes Numériques I

Algorithmique numérique

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

29 mars 2016

29 mars 2016 1 / 48

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires

Définition

Definition 1.1

Soient n P N ^˚ et px _i , y _i q _iPv0,nw avec px _i , y _i q P R ² et les x _i distincts deux à deux. Le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n ` 1 points px _i , y _i q iPv0,nw , noté P _n , est donné par

P _n ptq “

n

ÿ

i“0

y _i L _i ptq, @t P R (1)

avec

L _i ptq “

n

ź

j“0 j‰i

t ´ x _j

x _i ´ x _j , @i P v0, nw, @t P R. (2)

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 3 / 48

Théorème

Theorem 1

Le polynôme d’interpolation de Lagrange, P _n , associé aux n ` 1 points px _i , y _i q _iPv0,nw , est l’unique polynôme de degré au plus n, vérifiant

P _n px _i q “ y _i , @i P v0, nw. (3)

Exemple

A titre d’exemple, on représente, En figure 1, le polynôme d’interpolation de Lagrange associé à 7 points donnés.

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t

y

y=P₆(t) 7 Points (x_i,y_i)

F IGURE – Polynôme d’interpolation de Lagrange avec 7 points donnés)

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 5 / 48

Exercices

Exercise 1.1

Ecrire la fonction L AGRANGE permettant de calculer P _n (polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n ` 1 points px _i , y _i q iPv0,nw ) au point x P R.

Exercise 1.2

Soit P _n le polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n ` 1 points px _i , y _i q _iPv0,nw et X X X un vecteur de R ^m .

1 Ecrire la fonction L AGRANGE V EC permettant de calculer le vecteur Y Y Y P R ^m tel que

Y _i “ P _n pX _i q, @i P v1, mw.

Exercices

Exercise 1.3

Soient n P N ^˚ et pa, bq P R ² avec a ă b. On note X X X “ pX ₁ , . . . , X <sub>n`1</sub> q la dicrétisation régulière de l’intervalle r a, b s avec n ` 1 points et Y Y Y P R <sup>n`1</sup> tel que Y <sub>i</sub> “ f pX <sub>i</sub> q, @i P v1, n ` 1w.

Ecrire un programme permettant de représenter graphiquement f et P _n (polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux n ` 1 points pX _i , Y _i q iPv0,nw ) sur l’intervalle ra, bs.

On utilisera pour celà la fonction PLOT dont la syntaxe est P L O T (x,y) où x et y sont des vecteurs de R ^k . Cette fonction relie successi- vement les points (x(j),y(j)), pour j allant de 1 à k, par des segments.

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 7 / 48

Erreur de l’interpolation

Soit une fonction f : ra, bs ÝÑ R. On suppose que les y _i sont donnés par

y _i “ f px _i q, @i P v0, nw. (4)

On cherche à évaluer l’erreur E n ptq “ f ptq ´ P _n ptq.

Erreur de l’interpolation

F IGURE – Erreurs d’interpolation avec n “ 6

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 9 / 48

Erreur de l’interpolation

F IGURE – Erreurs d’interpolation avec n “ 10

Erreur de l’interpolation

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

y

y=f(t)=1/(1+t²) y=P₁₈(t) 19 Points (x_i,y_i)

F IGURE – Erreurs d’interpolation avec n “ 18

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 11 / 48

Erreur de l’interpolation

Theorem 2: Cauchy, 1840

Soient f : ra, bs ÝÑ R, une fonction pn ` 1q-fois différentiable et P _n ptq le polynôme d’interpolation de degré n passant par px _i , f px _i qq,

@i P v0, nw. Alors, @t P ra, bs, Dξ _t P pmin _iPv0,nw px _i , tq, max _iPv0,nw px _i , tqq,

f ptq ´ P _n ptq “ f <sup>pn`1q</sup> pξ t q pn ` 1q!

n

ź

i“0

pt ´ x _i q (5)

Points de Chebyshev

Pour minimiser l’erreur commise lors de l’interpolation d’une fonction f par un polynôme d’interpolation de Lagrange, on peut, pour un n donné, "jouer" sur le choix des points x _i :

Trouver p x ¯ _i q ⁿ _i“0 , x _i P ra, bs, distincts deux à deux, tels que

max

t Pra,bs n

ź

i“0

|t ´ x ¯ _i | ď max

tPra,bs n

ź

i“0

|t ´ x _i |, @px _i q ⁿ _i“0 , x _i P ra, bs, distincts 2 à 2 (6)

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 13 / 48

Points de Chebyshev

Theorem 3

Les points réalisant (6) sont les points de Chebyshev donnés par

¯ x _i “ a ` b

2 ` b ´ a

2 cosp p 2i ` 1 qπ

2n ` 2 q, @i P v0, nw. (7)

Points de Chebyshev

F IGURE – Erreurs d’interpolation avec n “ 6

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 15 / 48

Points de Chebyshev

F IGURE – Erreurs d’interpolation avec n “ 10

Points de Chebyshev

F IGURE – Erreurs d’interpolation avec n “ 18

Polynômes d’interpolation de Lagrange 29 mars 2016 17 / 48

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires

Dérivée

On propose de chercher une approximation de la dérivée première de f en un point x Psa, br.

Definition 2.1

Une fonction f définie sur un intervalle r a, b s est dérivable en un point x Psa, br si la limite suivante existe et est finie

f ¹ px q “ lim _hÑ0 1

h pf px ` hq ´ f px q (8)

Dérivation numérique 29 mars 2016 19 / 48

Premières approximations

différence finie progressive :

f ¹ pxq « f px ` hq ´ f px q

h (9)

différence finie rétrograde :

f ¹ pxq « f pxq ´ f px ´ hq

h (10)

Estimation d’erreur

Theorem 4: Taylor-Lagrange

On suppose que f P C <sup>n`1</sup> sur I. Alors, pour tout h P R tel que x ` h appartienne à I, il existe θ _h Ps0, 1r tel que l’on ait

f px ` hq “

n

ÿ

k“0

h ^k

k ! f ^pkq px q ` h <sup>n`1</sup>

pn ` 1q! f <sup>pn`1q</sup> px ` θ _h hq (11)

Dérivation numérique 29 mars 2016 21 / 48

Estimation d’erreur

Soit h ą 0. Si f P C ² psa, brq, alors Dξ ` Psx , x ` hr, Dξ ´ Psx ´ h, x r,tel que f px ` hq ´ f px q

h “ f ¹ px q ` h

2 f ^p2q pξ _` q (12) f pxq ´ fpx ´ hq

h “ f ¹ px q ´ h

2 f ^p2q pξ ´ q (13)

‚ Ces formules sont des approximations d’ordre 1 de f ¹ px q par rapport à h.

‚ On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes

d’interpolation associés aux points tx, x ` hu et tx ´ h, x u.

Estimation d’erreur

Soit h ą 0. Si f P C ² psa, brq, alors Dξ <sub>`</sub> Psx , x ` hr, Dξ _´ Psx ´ h, x r,tel que fpx ` hq ´ f px q

h “ f ¹ px q ` h ¹

2 f ^p2q pξ _` q (12) fpx q ´ f px ´ hq

h “ f ¹ px q ´ h ¹

2 f ^p2q pξ _´ q (13)

‚ Ces formules sont des approximations d’ordre 1 de f ¹ p x q par rapport à h.

‚ On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes d’interpolation associés aux points tx, x ` hu et tx ´ h, x u.

Dérivation numérique 29 mars 2016 22 / 48

Estimation d’erreur

Soit h ą 0. Si f P C ² psa, brq, alors Dξ <sub>`</sub> Psx , x ` hr, Dξ _´ Psx ´ h, x r,tel que fpx ` hq ´ f px q

h “ f ¹ px q ` h ¹

2 f ^p2q pξ _` q (12) fpx q ´ f px ´ hq

h “ f ¹ px q ´ h ¹

2 f ^p2q pξ _´ q (13)

‚ Ces formules sont des approximations d’ordre 1 de f ¹ p x q par rapport à h.

‚ On peut aussi obtenir ces formules en dérivant les polynômes

d’interpolation associés aux points tx , x ` hu et tx ´ h, x u.

Exercice 1

Exercise 2.1

On note x _i “ a ` ih, i P v0, nw, une discrétisation régulière de l’intervalle ra, bs. Soit une fonction f : ra, bs ÝÑ R suffisament régulière. On suppose que les y _i sont donnés par

y _i “ f p x _i q, @ i P v 0, n w. (14) Ecrire une fonction D ERIVE 1 permettant de calculer des approxi- mations d’ordre 1 de f ¹ px _i q pour i P v0, nw.

Dérivation numérique 29 mars 2016 23 / 48

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 de f ¹ pxq, on suppose f P C ³ psa, brq et on peut alors développer les formules de Taylor de fpx ` hq et f px ´ hq jusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f ¹ px q “ f px ` hq ´ fpx ´ hq

2h ` . (15)

‚ Cette approximation est la formule des différences finies centrées.

‚ Cette approximation est d’ordre 2.

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 de f ¹ pxq, on suppose f P C ³ psa, brq et on peut alors développer les formules de Taylor de fpx ` hq et f px ´ hq jusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f ¹ px q “ f px ` hq ´ fpx ´ hq

2h ` Oph ² q. (15)

‚ Cette approximation est la formule des différences finies centrées.

‚ Cette approximation est d’ordre 2.

Dérivation numérique 29 mars 2016 24 / 48

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 de f ¹ pxq, on suppose f P C ³ psa, brq et on peut alors développer les formules de Taylor de fpx ` hq et f px ´ hq jusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f ¹ px q “ f px ` hq ´ fpx ´ hq

2h ` Oph ² q. (15)

‚ Cette approximation est la formule des différences finies centrées.

‚ Cette approximation est d’ordre 2.

Ordre 2

Pour obtenir une formule d’approximation d’ordre 2 de f ¹ pxq, on suppose f P C ³ psa, brq et on peut alors développer les formules de Taylor de fpx ` hq et f px ´ hq jusqu’au troisième ordre.

On obtient alors

f ¹ px q “ f px ` hq ´ fpx ´ hq

2h ` Oph ² q. (15)

‚ Cette approximation est la formule des différences finies centrées.

‚ Cette approximation est d’ordre 2.

Dérivation numérique 29 mars 2016 24 / 48

Exercice 2

Exercise 2.2

On note x _i “ a ` ih, i P v0, nw, une discrétisation régulière de l’intervalle ra, bs. Soit une fonction f : ra, bs ÝÑ R suffisament régulière. On suppose que les y _i sont donnés par

y _i “ f p x _i q, @ i P v 0, n w. (16)

Ecrire une fonction D ERIVE 2 permettant de calculer des approxi-

mations d’ordre 2 de f ¹ px _i q pour i P v0, nw.

Dérivée seconde

Si f P C ⁴ psa, brq, on peut alors développer les formules de Taylor de f px ` hq et fpx ´ hq jusqu’au quatrième ordre.

On obtient alors

f ^p2q pxq “ f px ` hq ´ 2f px q ` f px ´ hq

h ² ` . (17)

Cette approximation est d’ordre 2.

Dérivation numérique 29 mars 2016 26 / 48

Dérivée seconde

Si f P C ⁴ psa, brq, on peut alors développer les formules de Taylor de f px ` hq et fpx ´ hq jusqu’au quatrième ordre.

On obtient alors

f ^p2q pxq “ f px ` hq ´ 2f px q ` f px ´ hq

h ² ` Oph ² q. (17)

Cette approximation est d’ordre 2.

Dérivée seconde

Si f P C ⁴ psa, brq, on peut alors développer les formules de Taylor de f px ` hq et fpx ´ hq jusqu’au quatrième ordre.

On obtient alors

f ^p2q pxq “ f px ` hq ´ 2f px q ` f px ´ hq

h ² ` Oph ² q. (17)

Cette approximation est d’ordre 2.

Dérivation numérique 29 mars 2016 26 / 48

Exercice 3

Exercise 2.3

On note x _i “ a ` ih, i P v0, nw, une discrétisation régulière de l’intervalle ra, bs. Soit une fonction f : ra, bs ÝÑ R suffisament régulière. On suppose que les y _i sont donnés par

y _i “ f p x _i q, @ i P v 0, n w. (18)

Ecrire une fonction D ERIVE S ECONDE 2 permettant de calculer des

approximations d’ordre 2 de f ^p2q px _i q pour i P v0, nw.

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires

Intégration numérique 29 mars 2016 28 / 48

Intégration

Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle ra, bs donné.

On propose de chercher une approximation de I “

ż _b

a

f p t q dt

Intégration

Soit f une fonction définie et intégrable sur un intervalle ra, bs donné.

On propose de chercher une approximation de I “

ż _b

a

f p t q dt

F IGURE – Représentation de ş b a f ptqdt

Intégration numérique 29 mars 2016 29 / 48

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f paq.

F IGURE – Représentation de la fonction f

ż _b

a

f p t q dt « p b ´ a q f p a q, formule du rectangle (à gauche)

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f paq.

F IGURE – Représentation de ş b a Pptqdt

ż _b

a

f ptqdt « pb ´ aqf paq, formule du rectangle (à gauche)

Intégration numérique Méthodes simplistes 29 mars 2016 30 / 48

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f paq.

F IGURE – Représentation de ş b

a Pptqdt

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f pbq.

F IGURE – Représentation de la fonction f

ż _b

a

f p t q dt « p b ´ a q f p b q, formule du rectangle (à droite)

Intégration numérique Méthodes simplistes 29 mars 2016 31 / 48

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f pbq.

F IGURE – Représentation de ş b a Pptqdt

ż _b

a

fptqdt « pb ´ aqfpbq, formule du rectangle (à droite)

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f pbq.

F IGURE – Représentation de ş b a Pptqdt

ż _b

a

fptqdt « pb ´ aqfpbq, formule du rectangle (à droite)

Intégration numérique Méthodes simplistes 29 mars 2016 31 / 48

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f pcq, avec c “ pa ` bq{2.

F IGURE – Représentation de la fonction f

ż _b

a

f ptqdx « pb ´ aqf p a ` b

2 q, formule du point milieu

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f pcq, avec c “ pa ` bq{2.

F IGURE – Représentation de ş b a Pptqdt

ż _b

a

f ptqdx « pb ´ aqf p a ` b

2 q, formule du point milieu

Intégration numérique Méthodes simplistes 29 mars 2016 32 / 48

Méthodes simplistes

On approche f par le polynôme constant Pptq “ f pcq, avec c “ pa ` bq{2.

F IGURE – Représentation de ş b

a Pptqdt

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière de r a, b s : @ i P v 0, n w, t _i “ a ` ih avec h “ ^b´a _n .

2 On approche f par le polynôme d’interpolation de Lagrange P _n de degré n tel que

P _n pt _i q “ fpt _i q, @i P v0, nw.

P _n ptq “

n

ÿ

i“0

L _i ptqfpt _i q

3 On a alors ż b

a

fptqdt « ż b

a

P _n ptqdt “

n

ÿ

i“0

f pt _i q ż b

a

L _i ptqdt.

Les formules de Newton-Cotes génériques : ż _b

a

f ptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q

Intégration numérique Méthodes de Newton-Cotes 29 mars 2016 33 / 48

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière de r a, b s : @ i P v 0, n w, t _i “ a ` ih avec h “ ^b´a _n .

2 On approche f par le polynôme d’interpolation de Lagrange P _n de degré n tel que

P _n pt _i q “ fpt _i q, @i P v0, nw.

P _n ptq “

n

ÿ

i“0

L _i ptqfpt _i q

3 On a alors ż b

a

fptqdt « ż b

a

P _n ptqdt “

n

ÿ

i“0

f pt _i q ż b

a

L _i ptqdt.

Les formules de Newton-Cotes génériques : ż _b

a

f ptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière de r a, b s : @ i P v 0, n w, t _i “ a ` ih avec h “ ^b´a _n .

2 On approche f par le polynôme d’interpolation de Lagrange P _n de degré n tel que

P _n pt _i q “ fpt _i q, @i P v0, nw.

P _n p t q “

n

ÿ

i“0

L _i p t q f p t _i q

3 On a alors ż b

a

fptqdt « ż b

a

P _n ptqdt “

n

ÿ

i“0

f pt _i q ż b

a

L _i ptqdt.

Les formules de Newton-Cotes génériques : ż _b

a

f ptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q

Intégration numérique Méthodes de Newton-Cotes 29 mars 2016 33 / 48

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière de r a, b s : @ i P v 0, n w, t _i “ a ` ih avec h “ ^b´a _n .

2 On approche f par le polynôme d’interpolation de Lagrange P _n de degré n tel que

P _n pt _i q “ fpt _i q, @i P v0, nw.

P _n p t q “

n

ÿ

i“0

L _i p t q f p t _i q

3 On a alors ż b

a

fptqdt « ż b

a

P _n ptqdt “

n

ÿ

i“0

f pt _i q ż b

a

L _i ptqdt.

Les formules de Newton-Cotes génériques : ż _b

a

f ptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q

Méthodes de Newton-Cotes

1 Discrétisation régulière de r a, b s : @ i P v 0, n w, t _i “ a ` ih avec h “ ^b´a _n .

2 On approche f par le polynôme d’interpolation de Lagrange P _n de degré n tel que

P _n pt _i q “ fpt _i q, @i P v0, nw.

P _n p t q “

n

ÿ

i“0

L _i p t q f p t _i q

3 On a alors ż b

a

fptqdt « ż b

a

P _n ptqdt “

n

ÿ

i“0

f pt _i q ż b

a

L _i ptqdt.

Les formules de Newton-Cotes génériques : ż _b

a

f ptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q

Intégration numérique Méthodes de Newton-Cotes 29 mars 2016 33 / 48

Méthodes de Newton-Cotes

ż _b

a

fptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q avec α i “ ż _b

a

L _i ptqdt

En posant α i “ hAw _i , on a

n A w ₀ w ₁ w ₂ w ₃ w ₄ nom ordre

1 1{2 1 1 trapèzes 1

2 1{3 1 4 1 Simpson 3

3 3 { 8 1 3 3 1 Simpson (3/8) 3

4 2{45 7 32 12 32 7 Villarceau 5

Simpson : ż _b

a

f ptqdt «

b ´ a 6

ˆ

f paq ` 4f p a ` b

2 q ` f pbq

˙

Méthodes de Newton-Cotes

ż _b

a

fptqdt «

n

ÿ

i“0

α i f pt _i q avec α i “ ż _b

a

L _i ptqdt

En posant α i “ hAw _i , on a

n A w ₀ w ₁ w ₂ w ₃ w ₄ nom ordre

1 1{2 1 1 trapèzes 1

2 1{3 1 4 1 Simpson 3

3 3 { 8 1 3 3 1 Simpson (3/8) 3

4 2{45 7 32 12 32 7 Villarceau 5

Simpson : ż _b

a

f ptqdt « b ´ a 6

ˆ

f paq ` 4f p a ` b

2 q ` f pbq

˙

Intégration numérique Méthodes de Newton-Cotes 29 mars 2016 34 / 48

Méthodes de Newton-Cotes

Definition 3.1

On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est d’ordre n si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Theorem 5

Les formules de Newton-Cotes à n ` 1 points sont d’ordre n si n est impair et d’ordre n ` 1 sinon.

Attention

Du au phénomène de Runge, ces formules ne sont pas "fiables" pour

des ordres élevés.

Méthodes de Newton-Cotes

Definition 3.1

On dit qu’une formule d’intégration (ou formule de quadrature) est d’ordre n si elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Theorem 6

Les formules de Newton-Cotes à n ` 1 points sont d’ordre n si n est impair et d’ordre n ` 1 sinon.

Attention

Du au phénomène de Runge, ces formules ne sont pas "fiables" pour des ordres élevés.

Intégration numérique Méthodes de Newton-Cotes 29 mars 2016 35 / 48

Méthodes composites

Les méthodes composites sont basées sur la relation de Chasles.

Soit px _k q _kPv0,nw une discrétisation régulière de l’intervalle ra, bs : x _k “ a ` kh avec h “ p b ´ a q{ n. On a alors

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

Méthodes composites des points milieux

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

On note m _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k} . ż _{x k}

x k´1

fpx qdx « hfpm _k q

Theorem 7

ż _b

a

f p x q dx “ h

n

ÿ

k “1

f p m _k q ` Op h q.

Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 37 / 48

Méthodes composites des points milieux

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

On note m _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k} . ż _{x k}

x k´1

fpx qdx « hfpm _k q

Theorem 8

ż _b

a

f p x q dx “ h

n

ÿ

k“1

f p m _k q ` Op h ² q.

Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)

Méthodes composites des points milieux

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

On note m _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k} . ż _{x k}

x k´1

fpx qdx « hfpm _k q

Theorem 9

ż _b

a

f p x q dx “ h

n

ÿ

k“1

f p m _k q ` Op h ² q.

Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 37 / 48

Méthodes composites des points milieux : Exercice

Exercise 3.1

Soit f une fonction définie sur l’intervalle ra, bs. Ecrire la fonction

Q UAD PM permettant de calculer une approximation de l’intégrale

de f sur ra, bs par la méthode composite des points milieux.

Méthodes composites des trapèzes

ż b a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż x _k x k´1

f px qdx .

ż _{x k}

x _{k ´1}

f px qdx « hp f p x _k´1 ` f p x _k q

2 q

Theorem 10

ż b a

f px qdx “ h

n

ÿ

k“1

p f px _{k ´1} q ` f px _k q

2 q ` Ophq.

Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 39 / 48

Méthodes composites des trapèzes

ż b a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż x _k x k´1

f px qdx .

ż _{x k}

x _{k ´1}

f px qdx « hp f p x _k´1 ` f p x _k q

2 q

Theorem 11

ż b a

f px qdx “ h

n

ÿ

k“1

p fpx _k´1 q ` f px _k q

2 q ` Oph ² q.

Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)

Méthodes composites des trapèzes

ż b a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż x _k x k´1

f px qdx .

ż _{x k}

x _{k ´1}

f px qdx « hp f p x _k´1 ` f p x _k q

2 q

Theorem 12

ż b a

f px qdx “ h

n

ÿ

k“1

p fpx _k´1 q ` f px _k q

2 q ` Oph ² q.

Erreur d’ordre 2 (par rapport à h.)

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 39 / 48

Méthodes composites des trapèzes : Exercice

Exercise 3.2

Soit f une fonction définie sur l’intervalle ra, bs. Ecrire la fonction

Q UAD T RAPEZE permettant de calculer une approximation de l’in-

tégrale de f sur ra, bs par la méthode composite des trapèzes.

Méthodes composites de Simpson

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

On note m _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k} . ż _{x k}

x k´1

f px qdx « h

6 pf px _{k ´1} q ` 4f pm <sub>k</sub> q ` f px _k qq

Theorem 13

ż _b

a

f p x q dx “ h 6

n

ÿ

k“1

p f p x _k´1 q ` 4f p m <sub>k</sub> q ` f p x _k qq ` Op h q.

Erreur d’ordre 4 (par rapport à h.)

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 41 / 48

Méthodes composites de Simpson

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

On note m _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k} . ż _{x k}

x k´1

f px qdx « h

6 pf px _{k ´1} q ` 4f pm <sub>k</sub> q ` f px _k qq

Theorem 14

ż _b

a

f p x q dx “ h 6

n

ÿ

k“1

p f p x _k´1 q ` 4f p m <sub>k</sub> q ` f p x _k qq ` Op h ⁴ q.

Erreur d’ordre 4 (par rapport à h.)

Méthodes composites de Simpson

ż _b

a

f pxqdx “

n

ÿ

k “1

ż _{x k}

x k´1

f px qdx .

On note m _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k} . ż _{x k}

x k´1

f px qdx « h

6 pf px _{k ´1} q ` 4f pm <sub>k</sub> q ` f px _k qq

Theorem 15

ż _b

a

f p x q dx “ h 6

n

ÿ

k“1

p f p x _k´1 q ` 4f p m <sub>k</sub> q ` f p x _k qq ` Op h ⁴ q.

Erreur d’ordre 4 (par rapport à h.)

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 41 / 48

Méthodes composites de Simpson : Exercice

Exercise 3.3

Soit f une fonction définie sur l’intervalle ra, bs. Ecrire la fonction

Q UAD S IMPSON permettant de calculer une approximation de l’in-

tégrale de f sur ra, bs par la méthode composite de Simpson.

Ordres (numériques) des méthodes composites

F IGURE – Ordre de l’erreur des méthodes composites

Exercise 3.4

Ecrire un programme Matlab permettant d’obtenir cette figure sa- chant qu’ici fpxq “ sinpx q, a “ 0 et b “ π.

Intégration numérique Méthodes composites 29 mars 2016 43 / 48

Autres méthodes

Il existe un grand nombre de méthodes d’intégration numérique :

‚ Méthode de Gauss-Legendre

‚ Méthode de Gauss-Tchebychev

‚ Méthode de Gauss-Laguerre

‚ Méthode de Gauss-Hermitte

‚ Méthode de Gauss-Lobatto

‚ Méthode de Romberg...

Intégrales multiples

On veut approcher, en utilisant la formule de Simpson, l’intégrale

I “ ż b

a

ż d c

f px , y qdydx

gpxq “ ż d

c

f px , y qdy « gpx ˜ q “ d ´ c 6

ˆ

f px, cq ` 4f px , c ` d

2 q ` f px , d q

˙ .

On a I “

ż b a

gpxqdx « b ´ a 6

ˆ

gpaq ` 4gp a ` b

2 q ` gpbq

˙

« b ´ a 6

ˆ

gpaq ` ˜ 4˜ gp a ` b

2 q ` gpbq ˜

˙

Intégration numérique Intégrales multiples 29 mars 2016 45 / 48

Intégrales multiples : formule de Simpson 2D

On pose α “ ^{a`b</sup> <sub>2</sub> et β “ <sup>c`d} ₂

I « b ´ a 6

d ´ c 6

¨

˝

f pa, c q ` 4f pa, βq ` f pa, dq

`4pf pα, cq ` 4fpα, βq ` f pα, d qq

`fpb, cq ` 4f pb, βq ` fpb, dq

˛

‚

Intégrales multiples : méthodes composites

1 Discrétisation régulière de ra, bs : @k P v0, nw, x _k “ a ` kh _x avec h _x “ ^b´a _n .

2 Discrétisation régulière de rc, ds : @l P v0, mw, y _l “ a ` lh _y avec h y “ ^d´c _m .

3 Relation de Chasles : ż _b

a

ż _d

c

f p x, y q dydx “

n

ÿ

k“1 m

ÿ

l“1

ż _{x k}

x _{k ´1}

ż _{y l}

y _l´1

f p x , y q dydx.

4 Formule de Simpson 2D : ş _b

a

ş _d

c f px , y qdydx

“ h x h y

36

n

ÿ

k “1 m

ÿ

l“1

¨

˝

fpx _k´1 , y _l´1 q ` 4f px <sub>k´1</sub> , β <sub>l</sub> q ` f px _k´1 , y _l q

`4pf pα <sub>k</sub> , y <sub>l´1</sub> q ` 4f pα _k , β _l q ` f pα _k , y _l qq

`f px <sub>k</sub> , y <sub>l´1</sub> q ` 4f px _k , β l q ` f px _k , y _l q

˛

‚

avec α _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k</sup> et β <sub>l</sub> “ <sup>y l´1</sup> <sub>2</sub> <sup>`y l} .

Intégration numérique Intégrales multiples 29 mars 2016 47 / 48

Intégrales multiples : méthodes composites

1 Discrétisation régulière de ra, bs : @k P v0, nw, x _k “ a ` kh _x avec h _x “ ^b´a _n .

2 Discrétisation régulière de rc, ds : @l P v0, mw, y _l “ a ` lh _y avec h y “ ^d´c _m .

3 Relation de Chasles : ż _b

a

ż _d

c

f p x, y q dydx “

n

ÿ

k“1 m

ÿ

l“1

ż _{x k}

x _{k ´1}

ż _{y l}

y _l´1

f p x , y q dydx.

4 Formule de Simpson 2D : ş _b

a

ş _d

c f px , y qdydx

“ h x h y

36

n

ÿ

k “1 m

ÿ

l“1

¨

˝

fpx _k´1 , y _l´1 q ` 4f px <sub>k´1</sub> , β <sub>l</sub> q ` f px _k´1 , y _l q

`4pf pα <sub>k</sub> , y <sub>l´1</sub> q ` 4f pα _k , β _l q ` f pα _k , y _l qq

`f px <sub>k</sub> , y <sub>l´1</sub> q ` 4f px _k , β l q ` f px _k , y _l q

˛

‚

avec α _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k</sup> et β <sub>l</sub> “ <sup>y l´1</sup> <sub>2</sub> <sup>`y l} .

Intégrales multiples : méthodes composites

1 Discrétisation régulière de ra, bs : @k P v0, nw, x _k “ a ` kh _x avec h _x “ ^b´a _n .

2 Discrétisation régulière de rc, ds : @l P v0, mw, y _l “ a ` lh _y avec h y “ ^d´c _m .

3 Relation de Chasles : ż _b

a

ż _d

c

f p x, y q dydx “

n

ÿ

k“1 m

ÿ

l“1

ż _{x k}

x _{k ´1}

ż _{y l}

y _l´1

f p x , y q dydx.

4 Formule de Simpson 2D : ş _b

a

ş _d

c f px , y qdydx

“ h x h y

36

n

ÿ

k “1 m

ÿ

l“1

¨

˝

fpx _k´1 , y _l´1 q ` 4f px <sub>k´1</sub> , β <sub>l</sub> q ` f px _k´1 , y _l q

`4pf pα <sub>k</sub> , y <sub>l´1</sub> q ` 4f pα _k , β _l q ` f pα _k , y _l qq

`f px <sub>k</sub> , y <sub>l´1</sub> q ` 4f px _k , β l q ` f px _k , y _l q

˛

‚

avec α _k “ ^{x k ´1} ₂ ^{`x k</sup> et β <sub>l</sub> “ <sup>y l´1</sup> <sub>2</sub> <sup>`y l} .

Intégration numérique Intégrales multiples 29 mars 2016 47 / 48

Plan

1 Polynômes d’interpolation de Lagrange

2 Dérivation numérique

3 Intégration numérique Méthodes simplistes

Méthodes de Newton-Cotes Méthodes composites Autres méthodes Intégrales multiples

4 Résolution de systèmes linéaires